【正文】 ∫ ∫x ( t ) x 39。 )(d )(d)(2d )(d3d )(d 22tft tftyt tyt ty ????)(d )(d)(2d )(d3d )(d 22tft tftyt tyt ty ?????解： ttfttfttyttyty d)(d)(d)(2d)(3)( ?????? ?????)( ty???32)(tf ? ?第 112 頁(yè) ■ ▲ 解法二 解 2： 該方程含 f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。 解： 將方程寫為 y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t) ∫ ∫y ( t ) y 39。 y ( t )∑ ∑∫ ∫ 3423f ( t )設(shè)輔助變量 x(t)如圖 x(t) x’(t) x”(t) x”(t) = f(t) – 2x’(t) –3x(t) ,即 x”(t) + 2x’(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x’(t)+ 3x(t) 根據(jù)前面，逆過(guò)程，得 y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3f(t) 第 109 頁(yè) ■ 例 4由框圖寫差分方程 例 4： 已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。 ? 把復(fù)雜信號(hào)分解為眾多基本信號(hào)之和，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性： 多個(gè)基本信號(hào)作用于線性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個(gè)基本信號(hào)所引起的響應(yīng)之和。 具體地說(shuō)：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。 第 103 頁(yè) ■ ▲ 1. 連續(xù)系統(tǒng)的基本單元 f 1 ( t )∑f 2 ( t )f 1 ( t ) f 2 ( t )f ( t )∫? ?? t xxf d)(af ( t )或aa f ( t ) ? ?tf ? ?Ttf ?T? ?tf 1? ?tf 2? ? ? ?tftf 21? 延時(shí)器 ? 加法器 ? 積分器 ? 數(shù)乘器 ? 乘法器 第 104 頁(yè) ■ ▲ 2. 離散系統(tǒng)的基本單元 f 1 ( k )∑f 2 ( k )f 1 ( k ) f 2 ( k )af ( k )或aa f ( k )? 加法器 ? 遲延單元 ? 數(shù)乘器 f ( k )Df ( k 1 )第 105 頁(yè) ■ ▲ 3. 系統(tǒng)模擬 實(shí)際系統(tǒng) → 方程 → 模擬框圖 → 實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)（模擬系統(tǒng)） → 指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì) 例 1 例 2 例 3 例 4 方程 ←→ 框圖用變換域方法和梅森公式簡(jiǎn)單，后面討論。 線性、時(shí)變，一階 非線性、時(shí)不變，二階 非線性、時(shí)變，一階 第 102 頁(yè) ■ ▲ 二 ．系統(tǒng)的框圖描述 ? 連續(xù)系統(tǒng)的基本單元 ? 離散系統(tǒng)的基本單元 ? 系統(tǒng)模擬 上述方程從 數(shù)學(xué)角度 來(lái)說(shuō)代表了某些運(yùn)算關(guān)系： 相乘、微分（差分）、相加運(yùn)算 。 （ 1） y(k) + (k – 1)y(k – 1) = f(k) （ 2） y(k) + y(k+1) y(k – 1) = f2(k) （ 3） y(k) + 2 y(k – 1) = f(1 – k)+1 解： 判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關(guān)系項(xiàng)，則是線性的。 由 n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為 n階系統(tǒng)。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱為 差分方程的階數(shù) 。 上述方程就稱為 y(k)與 f(k)之間所滿足的差分方程。 第 100 頁(yè) ■ ▲ 2. 離散系統(tǒng)的解析描述 例： 某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為 β元 /元，求第 k個(gè)月初存折上的款數(shù)。 第 99 頁(yè) ■ ▲ 機(jī)械減振系統(tǒng) MxCkf ( t )其中， k為彈簧常數(shù)， M為物體質(zhì)量， C為減振液體的阻尼系數(shù)， x為物體偏離其平衡位置的位移， f(t)為初始外力。)0(dddd22CCSCCCuuuutuRCtuLC，二階常系數(shù)線性微分方程。 ? 系統(tǒng)分析方法概述 167。 第 94 頁(yè) ■ ▲ 由題中條件，有 y1(t) =y1zi(t) + y1zs(t) = e –t + cos(πt)， t0 （ 1） y2(t) = y2zi(t) + y2zs(t) = –2e –t +3 cos(πt)， t0 （ 2） 根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性， y2zi(t) = 2y1zi(t)， y2zs(t) =3y1zs(t)，代入式（ 2）得 y2(t) = 2y1zi(t) +3 y1zs(t) = –2e –t +3 cos(πt)， t0 （ 3） 式 (3)– 2 式 (1)，得 y1zs(t) = –4et + cos(πt)， t0 由于 y1zs(t) 是因果系統(tǒng)對(duì)因果輸入信號(hào) f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng) t0， y1zs(t)=0；因此 y1zs(t)可改寫成 y1zs(t) = [–4et + cos(πt)]ε(t) (4) 第 95 頁(yè) ■ ▲ f1(t) →y 1zs(t) = [–4et + cos(πt)]ε(t) 根據(jù) LTI系統(tǒng)的微分特性 ttyttf zsd)(dd)(d 11 ? = –3δ(t) + [4et –πsin(πt)]ε(t) 根據(jù) LTI系統(tǒng)的時(shí)不變特性 f1(t–1) →y 1zs(t – 1) ={ –4e –(t–1) + cos[π(t–1)]}ε(t–1) 由線性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入 f3(t) = +2f1(t–1)， ttfd)(d 1y3zs(t) = + 2y1(t–1) = –3δ(t) + [4e –t–πsin(πt)]ε(t) + 2{–4e –(t–1) + cos[π(t–1)]}ε(t–1) ttyd)(d 1第 96 頁(yè) ■ ? 系統(tǒng)的 數(shù)學(xué)模型 ： 系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。 ttfd)(d 1解 設(shè)當(dāng) x(0–) =1，輸入因果信號(hào) f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為 y1zi(t)、 y1zs(t)。 第 93 頁(yè) ■ 綜合舉例 例 某 LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為 x(0–)。 請(qǐng)看下面證明過(guò)程 系統(tǒng)不滿足均勻性 系統(tǒng)不具有疊加性 第 90 頁(yè) ■ ▲ 證明齊次性 設(shè)信號(hào) f(t)作用于系統(tǒng)，響應(yīng)為 y(t) )1(0 )(5)(10d )(d ???? ttAetArt tAr原方程兩端乘 A： )2(0 )(5)(10d )(d ???????? ?? ttAetrt trA(1),(2)兩式矛盾 。 第 89 頁(yè) ■ 微分方程描述系統(tǒng)的線性判斷 判斷下述微分方程所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng) ? 0 )(5)(10d )(d ???? ttftyt ty分析：根據(jù)線性系統(tǒng)的定義，證明此系統(tǒng)是否具有齊次性 和 可加性 。故為非線性系統(tǒng)。故為非線性系統(tǒng)。)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。 第 86 頁(yè) ■ ▲ (3) 令 g (t) = f(t –td) , T[{0}， g (t) ] = g (– t) = f(– t –td) 而 yzs (t –td) = f [–( t – td)]，顯然 T[{0}， f(t –td)] ≠ yzs (t –td) 故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。 第 84 頁(yè) ■ LTI系統(tǒng)微分特性證明 f(t) → yzs(t) f(t △ t) → yzs(t △ t) 根據(jù)時(shí)不變性質(zhì)，有 利用線性性質(zhì)得 對(duì)零狀態(tài)系統(tǒng) tttftf???? )()(tttyty zszs???? )()(△ t →0 得 ttyttf zsd)(dd)(d ?第 85 頁(yè) ■ 判斷時(shí)不變系統(tǒng)舉例 例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？ （ 1） yzs(k) = f (k) f (k –1) （ 2） yzs (t) = t f (t) （ 3） y zs(t) = f (– t) 解 (1) 令 g (k) = f(k –kd) T[{0}， g (k)] = g(k) g (k –1) = f (k –kd) f (k–kd –1 ) 而 yzs (k –kd) = f (k –kd) f (k–kd –1) 顯然 T[{0}， f(k –kd)] = yzs (k –kd) 故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。 如 yzs(k) = f(k) + f(k1)是穩(wěn)定系統(tǒng)；而 ? ??? tzs xxfty d)()( 是不穩(wěn)定系統(tǒng)。 第 83 頁(yè) ■ ▲ 7. 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng) 一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì) f(.)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng) yzs(.)也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為 有界輸入有界輸出穩(wěn)定 ，簡(jiǎn)稱 穩(wěn)定 。 若信號(hào)的自變量不是時(shí)間，如位移、距離、亮度等為變量的物理系統(tǒng)中研究因果性顯得不很重要。 輸出不超前于輸入 。 ① 微分特性 ： 若 f (t) → yzs(t) ， 則 f ’(t) → y ’ zs (t) ② 積分特性 ： 若 f (t) → yzs(t) ， 則 ?? ????? t zst xxyxxf d)(d)(證明 第 81 頁(yè) ■ ▲ 6. 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) ? 因果系統(tǒng)： 指零狀態(tài)響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在激勵(lì)之前的系統(tǒng)。) = T [ {0}， {x(0)}] ③ 零輸入線性 ： T[{0},{ax1(0) +bx2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}] 舉例 1 舉例 2 第 79 頁(yè) ■ ▲ 5. 時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng) )( tft tTO O)( ty zstO)( 0tty zs ?0t?時(shí)不變系統(tǒng) ： 指 滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)。) = T [{ f () = T [{ f () }, {0}] +bT[{ f2 () + yzi( ① 可分解性 ： y () }有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài) {x(0)}有關(guān)。)+by2() +bf2()+y2() +f2() → y2() → y1() → a y() → y() = T[ f ( ) y ( ) → y( 第 77 頁(yè) ■ ▲ 4. 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) ? 線性系統(tǒng) ： 指 滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)。 第 76 頁(yè) ■ ▲ 3. 單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng) ?單輸入單輸出系統(tǒng)： 系統(tǒng)的輸入、輸出信號(hào)都只有一個(gè)。 含有記憶元件 (電容、電感等 )的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。 第 75 頁(yè) ■ ▲ 2. 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng) 動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 也稱為 記憶系統(tǒng)。 ? 混合系統(tǒng) ： 系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)一個(gè)是連續(xù)信號(hào)，一個(gè)為離散信號(hào)。常用的分類有： ? 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) ? 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng) ? 單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng) ? 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) ? 時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng) ? 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) ? 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng) 第 74 頁(yè) ■ ▲