【正文】 其方法是：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 另也可借助空間向量求這三種角的大小 . 4． 與幾何體的側面積和體積有關的計算問題，根據基本概念和公式來計算，要重視方程的思想和割補法、等積轉換法的運用 5． 平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題，要對照翻折（或展開）前后兩個圖形，分清哪些元素的位置（或數量）關系改變了，哪些沒有改變 . 。其解法是作垂線、找射影； 二面角 0176。其方法是平移法和補形法；直線與平面所成角的范圍是 0176。 22． 解析： 主要 考察立體幾何中的位置關系、體積． (Ⅰ )證明：連結 BD ，則 BD // 11BD ， ∵ ABCD 是正方形，∴ AC BD? ． ∵ CE? 面 ABCD ，∴ CE BD? ． 又 C?AC CE ，∴ BD? 面 ACE ． ∵ AE? 面 ACE ，∴ BD AE? ， ∴ 11BD AE? ． （ Ⅱ ）證明：作 1BB 的中點 F，連結 AF CF EF、 、 ． ∵ EF、 是 1BB1CC、 的中點，∴ CE 1BF， ∴四邊形 1BFCE 是平行四邊形， ∴ 1CF// BE ． ∵ ,EF是 1BB1CC、 的中點，∴ //EF BC ， 又 //BC AD ，∴ //EF AD ． ∴四邊形 ADEF 是平行四邊形， AF? //ED ， ∵ AF CF C? ， 1B E ED E? ， ∴平面 //ACF 面 1BDE ． 又 AC? 平面 ACF ， ∴ //AC 面 1BDE ． （ 3） 1 22ABDS A B A D? ? ? ?． 1 1 23 3 3A B D E E A B D A B D A B DV V S CE S CE? ? ? ?? ? ? ? ? ?． （四） 創(chuàng) 新 試題 １．如圖，正三棱柱 ABC— A1B1C1 中， D 是 BC的中點， AA1=AB=1. （ I）求證： A1C//平面 AB1D； （ II）求二面角 B— AB1— D 的大??； （ III）求點 c 到平面 AB1D 的距離 . 創(chuàng)新試題解析答案 1． 解法一（ I）證明： 連接 A1B，設 A1B∩ AB1 = E，連接 DE. ∵ ABC— A1B1C1 是正三棱柱，且 AA1 = AB， ∴四邊形 A1ABB1 是正方形， ∴ E 是 A1B 的中點， 又 D 是 BC 的中點， ∴ DE∥ A1C. 2,4,6 共 28 頁 第 27 頁 ∵ DE? 平面 AB1D， A1C? 平面 AB1D， ∴ A1C∥平面 AB1D. （ II）解：在面 ABC 內作 DF⊥ AB 于點 F，在面 A1 ABB1 內作 FG⊥ AB1 于點 G，連接DG. ∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC， ∴ DF⊥平面 A1ABB1， ∴ FG 是 DG 在平面 A1ABB1 上的射影， ∵ FG⊥ AB1， ∴ DG⊥ AB1 ∴∠ FGD 是二面角 B— AB1— D 的平面角 設 A1A = AB = 1，在正△ ABC 中， DF= .43 在△ ABE 中， 8 2343 ??? BEFG ， 在 Rt△ DFG 中， 36ta n ?? FGDFF G D ， 所以，二面角 B— AB1— D 的大小為 .36arctan （ III）解：∵平面 B1BCC1⊥平面 ABC，且 AD⊥ BC， ∴ AD⊥平面 B1BCC1，又 AD ? 平面 AB1D，∴平面 B1 BCC1⊥平面 AB1D. 在平面 B1BCC1 內作 CH⊥ B1D 交 B1D 的延長線于點 H， 則 CH 的長度就是點 C 到平面 AB1D 的距離 . 由△ CDH∽△ B1DB，得 .5511 ??? DB CDBBCH 即點 C 到平面 AB1D 的距離是 .55 解法二： 建立空間直角坐標系 D— xyz，如圖， （ I）證明： 連接 A1B，設 A1B∩ AB1 = E，連接 DE. 設 A1A = AB = 1， 則 ).0,0,21(),21,4 3,41(),1,2 3,0(),0,0,0(1 CEAD ? ),21,43,41(),1,23,21(1 ?????? DECA .//,2 11 DECADECA ???? DABCADABDE 111 , 平面平面 ??? ， 共 28 頁 第 28 頁 .// 11 DABCA 平面? （ II）解： )1,0,21(),0,23,0( 1 ?BA?， )1,0,21(),0,23,0( 1 ???? DBAD， 設 ),(1 rqpn ? 是平面 AB1D 的法向量，則 0,0 111 ???? DBnADn 且 ， 故 )1,0,2(,02 31 ?????? nrrpq 得?。? 同理，可求得平面 AB1B 的法向量是 ).0,1,3(2 ??n 設二面角 B— AB1— D 的大小為 θ ，515||||c os 21 21 ??? nn nn??， ∴二面角 B— AB1— D 的大小為 .515arccos （ III）解由（ II）得平面 AB1D 的法向量為 )1,0,2(1 ?n ， 取其單位法向量 ).0,0,21(),51,0,52( ?? DCn 又 ∴點 C 到平面 AB1D 的距離 .55|| ??? nDCd 五、 復習建議 1． 位置關系的判斷，根據概念、性質和定理進行判斷，認定是正確的，要能證明；認定上不正確的，只需舉反例 .注意作圖輔助說明 . 2． 證明空間線面平行與垂直，是必考題型，解題時要由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證明思路 . 3． 空間圖形中的角與距離，先根據定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機統(tǒng)一 .解題時注意各種角的范圍 .異面直線所成角的范圍是 0176。 ∴ AO = BO = DO；∵ CA = CB = CD， CO 是公共邊 ， ∴△ COA≌△ COB≌△ COD； ∴∠ COA=90176。23,3,22,2 ?????? AFDFBMADABBF 3,53s in,54c os ????? ? A D FSD F AD F A 得 設 B 到面 AEF 的距離為 h，由 32, ???? hVV A D FBA B FD 得 設直線 BM 和平面 ADE 所成角為 94sin, ?? BMh?? 94arcsin?? 。 ∵ CD?平面 ABCD，且 CD?AD，故 CD?PD ．又∵ FG∥ PD∴FG?CD，故 ?EGF 為平面 PCD 與平面 ABCD 所成二面角的平面角，即 ?EGF=45?，從而得?ADP=45?， AD= Rt?PAE?Rt?CBE，得 PE= F 是 PC 的中點，∴ EF?PC. 由 CD?EG， CD?FG，得 CD?平面 EFG，∴ CD?EF，即 EF?CD， 故 EF?平面 PCD． 20．解法一： （ 1）如圖，以 C 為原點， CA、 CB、 CE 所在的射線為 x、 y、 z 軸建立空間直角坐標系 . 不妨設 BD=1，則 E（ 0， 0， 2）， A（ 2， 0， 0）， D（ 0， 2， 1）， B（ 0， 2， 0） 由 M 是 AD 的中點，得 M )21,1,1( )0,2,2(),23,1,1( ???? ABEM 共 28 頁 第 25 頁 ABEMABEM ??? 得0 （ 2） )2,0,2(),1,2,2( ???? AEAD 設面 ADE 的法向量 n=（ x， y， z） 由 )1,21,1(,0,0 ????? nA D EnAEnAD 的一個法向量為易求平面 又94,c o s)21,1,1( ?????? BMnBM ∴直線 BM 和平面 ADE 所成角為94arccos2 ??。新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 答案新疆王新敞特級教師 源頭學子小屋htp:/:/新疆 60176。aCBAA B C E D F 共 28 頁 第 23 頁 CD=4,AE=,∴ EF=,而 EF=AC=5 ∴∠ FED=300,即 AC 與平面 α所成的角為 300,∴選 (C) 12． 【答案】 C 解析：連接矩形 ABCD 的對角線 AC、 BD 交于 O，則 AO＝ BO＝ CO＝ DO，則 O 為四面體 ABCD 的外接球的圓心，因此四面體 ABCD 的外接球的半徑為 52，體積為 34 5 125()3 2 6???.選 C. 13新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 【答案】 ②③ 解析新疆王新敞特級教師 源頭學子小屋htp:/:/新疆 ①是假命題，直線 X、 Y、 Z 位于正方體的三條共點棱時為反例，②③是真命題，④是假命題，平面 X、 Y、 Z 位于正方體的三個共點側面時為反例新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 14新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 【答案】 －33 解 析新疆王新敞特級教師 源頭學子小屋htp:/:/新疆 在 OC 上取一點 C，使 OC=1，過 C 分別作 CA⊥ OC 交 OA于 A， CB⊥ OC 交 OB 于 B，則 AC=1， OA= 2 ， BC= 3 ， OB=2， Rt△ AOB 中， AB2=6，△ ABC 中，由余弦定理，得 cosACB=－33新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 答案新疆王新敞特級教師 源頭學子小屋htp:/:/新疆 －33 15新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 【答案】 60176。角新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 答案新疆王新敞特級教師 源頭學子小屋htp:/:/新疆 D 10． 【答案】 B 解析 ： 取 B1C1 的中點 M，連 B1C 交 BC1 于 O? ，取 O? C1 的中點 N，連 MN，則 MN 1BC? 又在正方體 ABCDA1B1C1D1 中 OM 平行于平面 ABC1D1. 則 O 到 平 面ABC1D1 距離轉化為 M 到平面 ABC1D1 的距離，即 MN= 42 ，故選 B 11． 【答案】 C 解析 ：如圖， AE⊥平面 α 于 E,CD⊥平面 α于 D,EF∥ AC,EF 交 CD 于 F,則∠ ABE=300,∠ CBD=450,由 此得??Pa39。 AO1,可得 A1H=34 。 7新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 【答案】 C 解析新疆王新敞特級教師 源頭學子小屋htp:/:/新疆 設 A1C1∩ B1D1=O1，∵ B1D1⊥ A1O1， B1D1⊥ AA1，∴ B1D1⊥平面 AA1O1，故平面 AA1O1⊥ AB1D1，交線為 AO1，在面 AA1O1 內過 A1作 A1H⊥ AO1 于 H，則易知 A1H 長即是點 A1 到平面 AB1D1 的距離，在 Rt△ A1O1A 中， A1O1= 2 ， AO1=3 2 ，由 A1O1 命題④是正確的，因為矩形必須是平行四邊形，有一組對邊平行，則確定了一個平面。 A1D 1C1B1A ED CB共 28 頁 第 22 頁 命題②是錯誤，因平面四邊形中的一個頂點在平面的上、下方向稍作運動，就形成了空間四邊形。 .E、 F 分別是 BC、 AC的中點 . （Ⅰ）求證： AC⊥ BD； （Ⅱ）如何在 AC 上找一點 M，使 BF∥平面 MED？并說明理由； （Ⅲ）若 CA = CB，求證：點 C 在底面 ABD 上的射影是線段 BD 的中點 . 22. （ 廣東省惠州市 2020 屆高三第二次調研 ） 正方體 1 1 1 1ABCDA B C D， 1AA=2 ， E 為棱 1CC 的中點 ． (Ⅰ ) 求證： 11BD AE? ； (Ⅱ ) 求證： //AC 平面 1BDE ； （ Ⅲ ） 求三棱錐 ABDE 的體積 ． 強化訓練 題答案 1． 【答案】 D 解析： 分類，第一類，四點共面，則有一個平面，第二類，四點不共面，因為沒有任何三點共線 ，則任何三點都確定一個平面，共有 4 個。 （ 1）證明： EM⊥ AB； （ 2）求直線 BM 和平面 ADE 所成角的 大小。則以 OC