【正文】 d)1( 1)1( 22.10,d)1( 3光滑曲線的閉與是不經(jīng)過其中計算 CzzzeCz? ?79 解 22 2442 zzzz ????? ,1124 ????1?z當(dāng) 時 , .0d42 )1c o s ( 21001 ??????? zzzzzz解答 80 利用柯西積分公式 ,11)( 121 內(nèi)解析在 Czzf ?? ,)( 1)( 22 內(nèi)解析在 Cizzzf ??? ? ? ?????C C C zzzzzzzzz 1 2 d)1( 1d)1( 1d)1( 1 222?? ? ???? 21 d)]([1d)1(12CC zizizzzzz)(2)0(2 21 iiffi ??????????? ????? 2122 ii .i??81 由復(fù)合閉路定理有則及為半徑作圓以為圓心及以分別及內(nèi)有兩個奇點在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez?????? ? ? ?????C C Czzzzzz ezzz ezzz e1 2d)1(d)1(d)1( 222,1)( 121 內(nèi)解析在 Cz ezfz??,)()( 22 內(nèi)解析在 Cizz ezfz??因此由柯西積分公式得 82 ? ? ? ?????C C Czzzzzz ezzz ezzz e1 2d)1(d)1(d)1( 222? ????????21d)(d)1(2CzCzziz izzezzze)(2)0(2 21 iiffi ????????????? ?????222ieii) ] .1c o s2(1[ s i n ???? i)2( iei ???。(69 本章主要內(nèi)容 有向曲線 復(fù)積分 積分存在的 條件及計算 積分的性質(zhì) Cauchy積分定理 原函數(shù) 的概念 復(fù)合閉路定理 Cauchy 積分公式 高階導(dǎo)數(shù)公式 積分公式及計算 70 注意 1. 復(fù)積分的基本定理； 2. 柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式 。),(39。39。39。 可在 內(nèi)取定點 和平行于坐標(biāo)軸的路徑來計算。39。39。39。 討論在單連通區(qū)域 內(nèi)已知解析函數(shù)的實部 ，求其虛部調(diào)和函數(shù) 。 ),( yxv ),( yxu),( yxu ),( yxv67 討論下面定理 4的反問題，即已知 是區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，利用函數(shù)在 內(nèi)解析的充分必要條 件，求出解析函數(shù) ，使得其實部 或者虛部在 內(nèi)為 。),(01cyx y ???? 2266 某區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)是否必是該區(qū)域某個解析函數(shù)的實部或虛部？ 當(dāng)區(qū)域是連通時，回答是肯定的。 ?yg ,)( cyg ? cyx yv ???? 22從而 ?)(zf cizciyxyix ????? 122于是 21)1( iif ??? .0?c進(jìn)一步由條件 可得 ?)(zfz1最后結(jié)果有 65 解法 2 在該右半平面 內(nèi)取點 ，由式 （ ）得 )0,1(),( 00 ?yxcdyyxudxxuyxvyxxy ???? ?? ),(39。)(39。解：求偏導(dǎo)數(shù)得 解法 1 由 C— R條件得： 64 兩邊對 求導(dǎo)，并且與上面所得的 比較有 yyv39。xyxyvx ?? 22222)(39。 xyxyux ???222 )(239。上，則在區(qū)域上，內(nèi)的一條線段且在上的解析函數(shù)，是區(qū)域設(shè))()( )()( )(),( )2(zgzfDzgzfDDzgzf???50 定理 任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù) ,它的實部和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù) . 證明 內(nèi)的一個解析函數(shù)，則區(qū)域為設(shè) Dyxivyxuzfw ),(),()( ???. , xvyuyvxu ???????????根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù) , 因此 , ),( ),( 數(shù)具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)與 yxvyxu51 yxvxyv??????? 22 ,0 2222?????? y ux u得,0 2222?????? y vx v同理 . ),( 是調(diào)和函數(shù)因此 yxu. , 222222yxvyuxyvxu?????????????求導(dǎo)分別關(guān)于 yxxvyuyvxu , , ???????????再由二階導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性 .),( 是調(diào)和函數(shù)因此 yxv52 內(nèi)是否為解析函數(shù)？在、內(nèi)的兩個調(diào)和函數(shù)任給區(qū)域 ),(),( ),(),( DyxivyxuyxvyxuD?即：區(qū)域 D 內(nèi)解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù) . 人們常常要問： x y iyxzf 2)( 22 ???例如：的稱為函數(shù)內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和在們把使我內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域設(shè) ),( ),( , ),( yxuyxvDivuDyxu?共軛調(diào)和函數(shù) . 53 現(xiàn)在會提出如下問題： 或者已知調(diào)和函數(shù) v(x,y) 時，是否存在調(diào)和函數(shù) u(x,y) ，使得 f (z)=u＋ iv 是 D上的解析函數(shù) ? 已知 u(x,y)是區(qū)域 D上的調(diào)和函數(shù)，是否存在u(x,y)的共 軛 調(diào)和函數(shù) v(x,y)，使得函數(shù) f (z)=u＋ iv是 D上的解析函數(shù) ? 回答是肯定的，以下用 舉例 的方法加以 說明 . 54 3. 計算實例 解 例 1 . 3),( 23解析函數(shù)函數(shù)，并求以其實部的為全平面上的調(diào)和證明 yxyyxu ??,6 xyxu ????因為 ,6 22yx u ????,33 22 xyyu ???? ,6 22yyu ???,0 2222?????? y ux u于是 . ),( 為調(diào)和函數(shù)故 yxu55 ,6 xyxuyv ???????因為??? yxyv d6),(3 2 xgxy ???),(3 2 xgyxv ??????yuxv?????? 又 ,33 22 xy ???)(3 2 xgy ??? ,33 22 xy ????? xxxg d3)( 2,3 cx ??) ( 為任意常數(shù)c,3),( 23 cxyxyxv ???得解析函數(shù) ).3( 32323cxyxiyxyw?????這個函數(shù)可以化為 ).()( 3 czizfw ???56 ,6 xyxu ????因為,33 22 xyyu ????yuixuzf??????? )(ixyxy )(36 22 ????0?y上式中，令23 )( ixxf ??，則換為將上式中 zx).()( 3 czizfw ???)( )( 3 cxixf ??注：此處用到解析函數(shù)的唯一性定理。下面研究其實部函數(shù)和虛部函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。23)1(:.d)2(1 32??????zzCzzzC其中求積分 ,0 2 )2( 1 32 ??? zzzz 和有兩個奇點函數(shù),23)1( ??z 2, ?z僅包含奇點 ,1