【正文】 解：（1）單位階躍給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差:系統(tǒng)是Ⅰ型系統(tǒng)： Kp = ∞, ess = 0 （2）單位階躍擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差:系統(tǒng)誤差為 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，且滿足終值定理的使用條件。計(jì)算系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，同樣可以采用拉氏變換終值定理。 解：圖（a），Ⅰ型系統(tǒng)Kp = ∞， Kv =10/4 ，Ka = 0圖（b），Ⅱ型系統(tǒng) Kp = ∞， Kv = ∞ ，Ka = 10/4 擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 所有的控制系統(tǒng)除承受輸入信號(hào)作用外，還經(jīng)常處于各種擾動(dòng)作用之下。解：(1) 當(dāng) r(t) = t2/2 R(s) =1/s3解法一：解法二：e(t) = T(t－T) + T2 e－ t/T (2)　當(dāng) r(t) = 1(t) R(s) =1/s(3)　當(dāng) r(t) = t R(s) =1/s2(4)　當(dāng)r(t) = sinωt R(s) = ω/(s2 + ω2) 終值定理的條件不成立！ 控制系統(tǒng)的類型在一般情況下，系統(tǒng)誤差的拉氏變換為：不失一般性，開環(huán)傳函可寫為：N = 0 稱為 0 型系統(tǒng)；N = 1 稱為Ⅰ型系統(tǒng)；N = 2 稱為Ⅱ型系統(tǒng)。 E(s) = R(s) B(s) = R(s) H(s)C(s) 由此可見，從系統(tǒng)輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，可以直接或間接地表示從系統(tǒng)輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差。因而， E39。 由圖可知，R39。 　穩(wěn)態(tài)誤差的定義及一般計(jì)算公式　誤差的基本概念1. 誤差的定義 誤差的定義有兩種： ① 從系統(tǒng)輸入端定義，它等于系統(tǒng)的輸入信號(hào)與主反饋信號(hào)之差，即 E(s)=R(s) B(s) ② 從系統(tǒng)輸出端定義，它定義為系統(tǒng)輸出量的實(shí)際值與希望值之差。因此，系統(tǒng)在垂直線 s = 1的右邊有一個(gè)根。0 K 6(3)確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性例39 檢驗(yàn)多項(xiàng)式2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0是否有根在s 右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線 s = 1的右邊？解：1)（勞斯表見PPT）勞斯表中第一列元素均為正∴系統(tǒng)在s 右半平面沒有根，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2)分析參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響例38 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。得 s1=1 和 s2= 1 。 由于勞斯表中第一列元素的符號(hào)改變了兩次， ∴系統(tǒng)有兩個(gè)正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。此時(shí)，特征方程中存在對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱的根（實(shí)根，共軛虛根或共軛復(fù)數(shù)根）。 （s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程為： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0例37 設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。② 可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可為任意正數(shù)，再對(duì)新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。解：系統(tǒng)的勞斯表為（見PPT）第一種特殊情況：勞斯表中某行的第一列元素為零，而其余各項(xiàng)不為零，或不全為零。解：勞斯表（見PPT）第一列元素 符號(hào)改變了2次，∴系統(tǒng)不穩(wěn)定，且s 右半平面有2個(gè)根。(3)從第三行起各元素,是根據(jù)前二行的元素計(jì)算得到。表中: (1)最左一列元素按s 的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識(shí)作用，不參與計(jì)算。 1. 勞斯判據(jù) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：該方程式的全部系數(shù)為正，且由該方程式作出的勞斯表中第一列全部元素都要是正的；勞斯表中第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位于右半s平面上根的個(gè)數(shù)。但滿足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因?yàn)樯鲜絻H是必要條件。 , n)即閉環(huán)特征方程各項(xiàng)同號(hào)且不缺項(xiàng)。 , n）是系統(tǒng)的n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。然而對(duì)于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，常常希望使用一種直接判斷根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介紹勞斯代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。 根據(jù)穩(wěn)定的充要條件決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須知道系統(tǒng)特征根的全部符號(hào)。如果當(dāng) t→∞時(shí)， g(t)收斂到原來(lái)的平衡點(diǎn)，即有那么，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)自身固有特性，而與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)d(t)的影響下，其過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析　穩(wěn)定的概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件如果系統(tǒng)受到有界擾動(dòng)，不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)稱為大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)；如果系統(tǒng)受到有界擾動(dòng)，只有當(dāng)擾動(dòng)引起的初始偏差小于某一范圍時(shí)，系統(tǒng)才能在取消擾動(dòng)后恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，否則就不能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則稱為小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)。且離虛軸愈近，其作用愈顯著。閉環(huán)零點(diǎn)越靠近虛軸，這種作用將會(huì)越顯著。反之，則影響較大。 2）零點(diǎn)決定運(yùn)動(dòng)模態(tài)的比重。零點(diǎn)起微分加快作用。解：c(t) = 1 t + 10t ≈ 1 t主導(dǎo)極點(diǎn)是 s = 1 ，這時(shí)系統(tǒng)傳遞函數(shù)近似為例34 已知閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試求階躍響應(yīng)。找到了一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能就可以應(yīng)用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來(lái)近似估計(jì)。 應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可以把一些高階系統(tǒng)近似為一階或二階系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的近似評(píng)估。 根據(jù)上述，把系數(shù)很小的分量，遠(yuǎn)離虛軸衰減很快的分量常常忽略，高階系統(tǒng)就可用低階系統(tǒng)來(lái)近似估計(jì)。 當(dāng)某一極點(diǎn)越靠近零點(diǎn)，而遠(yuǎn)離其他極點(diǎn)和原點(diǎn)，則相應(yīng)系數(shù)越小，該瞬態(tài)分量的影響就越??；　 當(dāng)某一極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)，越靠近其他極點(diǎn)和原點(diǎn)，則相應(yīng)系數(shù)越大，該瞬態(tài)分量的影響就越大； 一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn)距離非常近，把這一對(duì)零極點(diǎn)稱為偶極子。　閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 1)高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由 pi ，z kwn決定，也即閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對(duì)值越大，相應(yīng)的分量衰減越快。取拉氏變換，并設(shè)全部初始條件為零，得到系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的時(shí)間表達(dá)式： 式中 　　　　　 ；bk =arccosz k ；Ak、Bk是與C(s)在對(duì)應(yīng)閉環(huán)極點(diǎn)上的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。對(duì)上式進(jìn)行因式分解，可以表示為式中0 z k 1 。 　高階系統(tǒng)的時(shí)域分析　高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示。 輸出速度反饋控制，是從高能量的輸出端向低能量的輸入端傳遞信號(hào)，無(wú)需增設(shè)放大器，并對(duì)輸入端噪聲有濾波作用，適合于任何輸出可測(cè)的控制場(chǎng)合。當(dāng)輸入端噪聲嚴(yán)重時(shí)，不宜選用比例－微分控制。 微分控制為系統(tǒng)提供了一個(gè)實(shí)零點(diǎn)，可以縮短系統(tǒng)的初始響應(yīng)時(shí)間，但在相同阻尼程度下，將比速度反饋控制產(chǎn)生更大的階躍響應(yīng)超調(diào)量。但是，二者改善系統(tǒng)性能的機(jī)理及其應(yīng)用場(chǎng)合是不同的。與比例微分控制不同的是，輸出量的速度反饋控制沒有附加零點(diǎn)的影響，兩者對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的改善程度是不同的。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：式中　　　　　　 為系統(tǒng)的有效阻尼比。c1(t) 有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。若令Z=1/Td，上式可以表示為比例－微分控制的二階系統(tǒng)有時(shí)稱為有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)?！? 上式表明，比例－微分控制的二階系統(tǒng)不改變系統(tǒng)的自然頻率，但是可以增大系統(tǒng)的有效阻尼比以抑制振蕩。 sp = 30% tp = 求解上述二式，得到 z = ，wn= (rad/s)。解: (1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較可得： K/T= wn2 1/T = 2z wn(2) K = 16，T = ( D= )例32 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。 △ = 5% △ = 2% 例31　單位負(fù)反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示 (1) 確定系統(tǒng)特征參數(shù)與實(shí)際參數(shù)的關(guān)系 。) ( t 179。 D 180。| c(t) c(165。sp173。 z = sp = % z = sp = % z = sp = % z = sp = % z 175。(3) 超調(diào)量sp ：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比表示。tr 越小,響應(yīng)越快。（不同于一階系統(tǒng)） 欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 用tr , tp , sp , ts 四個(gè)性能指標(biāo)來(lái)衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。整個(gè)過(guò)程不出現(xiàn)振蕩。(1)欠阻尼情況 欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩部分組成：穩(wěn)態(tài)分量為1，表明系統(tǒng)在1(t)作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差； 瞬態(tài)響應(yīng)是阻尼正弦項(xiàng)，其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率，而其幅值則按指數(shù)曲線衰減，兩者均由參數(shù)z和wn決定。阻尼比在不同的范圍內(nèi)取值時(shí)，二階系統(tǒng)的特征根在s 平面上的位置不同，二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)對(duì)應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。阻尼比取不同值時(shí)，二階系統(tǒng)根的分布3. 單位階躍響應(yīng)由式 ，其輸出的拉氏變換為式中s1，s2是系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根。(4) z = 0 時(shí)，特征根為一對(duì)幅值相等的虛根，位于s平面的虛軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無(wú)阻尼的等幅振蕩過(guò)程。(2) z=1時(shí)，特征根為一對(duì)等值的負(fù)實(shí)根，位于s 平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為臨界阻尼的。二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即 s 2 + 2zwn s + wn2 = 0其兩個(gè)特征根為： 上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比z 的不同取值，特征根有不同類型的值，或者說(shuō)在s平面上有不同的分布規(guī)律。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個(gè)參數(shù)表示的。167。對(duì)應(yīng)線性定常系統(tǒng)的重要性質(zhì) ，這時(shí)系統(tǒng)的輸出則為原來(lái)輸出的導(dǎo)數(shù)?！挝幻}沖響應(yīng) [R(s)=1] 它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這時(shí)輸出稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)，以h(t)標(biāo)志。表明過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差，一般叫做跟蹤誤差。 ② 響應(yīng)曲線的初始斜率等于1/T。） 的時(shí)間區(qū)間中始終不會(huì)超過(guò)其穩(wěn)態(tài)值，把這樣的響應(yīng)稱為非周期響應(yīng)。其典型結(jié)構(gòu)圖及傳遞函數(shù)為： 單位階躍響應(yīng)當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=1(t)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)稱作其單位階躍響應(yīng)。 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。(2)穩(wěn)態(tài)過(guò)程：時(shí)間 t 趨于無(wú)窮大時(shí)的響應(yīng)過(guò)程，穩(wěn)態(tài)過(guò)程表征輸出量最復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，用穩(wěn)態(tài)性能描述。 (3)求出系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變化的關(guān)系 C(s) = G(s)R(s) c(t) = L?1[C(s)] (4)根據(jù)時(shí)間響應(yīng)確定系統(tǒng)的性能，包括穩(wěn)定性快速性和準(zhǔn)確性等方面指標(biāo)，看這些指標(biāo)是否符合生產(chǎn)工藝的