異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角專題復習與提高(參考版)
2025-04-20 01:12本頁面
【正文】 .∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥∠AEP＝90176。點D、E分別在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求證：BC⊥ 平面PAC.(2)是否存在點E使得二面角A—DE—P為直二面角？并說明理由(1)證明 ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥∠BCA＝90176?；?0176。∴AB與α所成角為60176。.21．已知平面α外兩點A、B到平面α的距離分別為1和2，A、B兩點在α內(nèi)的射影之間距離為，求直線AB和平面α所成的角．解 (1)如圖(1)，當A、B位于平面α同側(cè)時，由點A、B分別向平面α作垂線，垂足分別為AB1，則AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝.過點A作AH⊥BB1于H，則AB和α所成角即為∠HAB.而tan∠BAH＝＝.∴∠BAH＝30176。知，△BCD是等邊三角形．因為E是CD的中點，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以PB⊥⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，則∠PBA＝60176。.，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E、F分別是AB、PD的中點．(1)求證：AF∥平面PEC；(2)求PC與平面ABCD所成的角的正切值；(3)求二面角P－EC－D的正切值．解：(1)證明：如圖，取PC的中點O，連接OF、OE，則FO∥DC，且FO＝DC，∴FO∥AE，又E是AB的中點，且AB＝DC，∴FO＝AE.∴四邊形AEOF是平行四邊形，∴AF∥OE.又OE?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC.(2)如圖，連接AC，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，即直線PC與平面ABCD所成的角的正切值為.(3)如圖，作AM⊥CE，交CE的延長線于M.連接PM，由三垂線定理得PM⊥CE，∴∠PMA是二面角P－EC－D的平面角．由△AME∽△CBE可得AM＝，∴tan∠PMA＝＝.∴二面角P－EC－D的正切值為.20. 如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60176。＝3，∴NH＝3sin60176。知∠MBC＝60176。解析：如圖，作BE⊥P
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