高三數(shù)學(xué)模擬考試題(20)(含解析)新人教a版(參考版)
2025-04-07 05:02本頁面
【正文】 （﹣1）=2a﹣b，．由于a，b不同時為零，所以，故結(jié)論成立．（3）因為f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x為奇函數(shù)，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，又f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y﹣3=0．所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因為所以f（x）在上是増函數(shù)，在上是減函數(shù)，由f（x）=0解得x=177。=，整理得：=，即λ2+μ2=1+λμ，則λ，μ滿足的條件為；②由λ≥0，μ≥0，知λ2+μ2=1+λμ≥1（當(dāng)且僅當(dāng)λ=0或μ=0時取“=”），由λ2+μ2=1+λμ≤1+，得到λ2+μ2≤2（當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ時取“=”），則λ2+μ2的取值范圍為[1，2]．點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．18．（16分）已知美國蘋果公司生產(chǎn)某款iphone手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1只還需另投入16美元．設(shè)蘋果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iphone手機x萬只并全部銷售完，每萬只的銷售收入為R（x）萬美元，且R（x）=（1）寫出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬只）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時，蘋果公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．考點：函數(shù)與方程的綜合運用． 專題：應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1）利用利潤等于收入減去成本，可得分段函數(shù)解析式；（2）分段求出函數(shù)的最大值，比較可得結(jié)論．解答： 解：（1）利用利潤等于收入減去成本，可得當(dāng)0＜x≤40時，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x2+384x﹣40；當(dāng)x＞40時，W=xR（x）﹣（16x+40）=∴W=；（2）當(dāng)0＜x≤40時，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，∴x=32時，Wmax=W（32）=6104；當(dāng)x＞40時，W=≤﹣2+7360，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=50時，Wmax=W（50）=5760∵6104＞5760∴x=32時，W的最大值為6104萬美元．點評：本題考查分段函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．19．（16分）設(shè)f（x）=x3，等差數(shù)列{an}中a3=7，a1+a2+a3=12，記Sn=，令bn=anSn，數(shù)列的前n項和為Tn．（Ⅰ）求{an}的通項公式和Sn；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．考點：等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的前n項和；等差關(guān)系的確定；數(shù)列遞推式． 專題：計算題；證明題．分析：（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的公差為d，代入到a3=7和a1+a2+a3=12求出a1和d即可求出數(shù)列的通項公式，把通項公式代入到Sn=中并根據(jù)f（x）=x3得到sn的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=anSn=（3n﹣2）（3n+1），所以==（﹣），得到bn的前n項和Tn=（1﹣）＜得證；（Ⅲ）由（Ⅱ）分別求出T1，Tm和Tn，因為T1，Tm，Tn成等比數(shù)列，所以，分別討論m和n都為正整數(shù)且1＜m＜n即可得到存在并求出此時的m和n的值即可．解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12．解得a1=1，d=3∴an=3n﹣2∵f（x）=x3∴Sn==an+1=3n+1．（Ⅱ）bn=anSn=（3n﹣2）（3n+1）∴∴（Ⅲ）由（2）知，∴，∵T1，Tm，Tn成等比數(shù)列．∴即當(dāng)m=1時，7=，n=1，不合題意；當(dāng)m=2時，=，n=16，符合題意；當(dāng)m=3時，=，n無正整數(shù)解；當(dāng)m=4時，=，n無正整數(shù)解；當(dāng)m=5時，=，n無正整數(shù)解；當(dāng)m=6時，=，n無正整數(shù)解；當(dāng)m≥7時，m2﹣6m﹣1=（m﹣3）2﹣10＞0，則，而，所以，此時不存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列．綜上，存在正整數(shù)m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列．點評：考查學(xué)生靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式解決數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)列的遞推式得到數(shù)列的通項公式，以及掌握等比數(shù)列性質(zhì)的能力．20．（16分）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同時為零的常數(shù)），導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．（1）當(dāng)時，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范圍；（2）求證：函數(shù)y=f′（x）在（﹣1，0）內(nèi)至少有一個零點；（3）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y﹣3=0，關(guān)于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；奇偶性與單調(diào)性的綜合． 專題：計算題；證明題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想．分析：（1）當(dāng)時，f′（x）==，由二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論可得答案；（2）因為f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f39
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