福建省高三理科數(shù)學(xué)質(zhì)量檢查(參考版)
2025-04-07 04:48本頁面
【正文】 .……………………………(12分)22．本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查化歸及數(shù)形結(jié)合的思想方法；考查分析問題、解決問題的能九滿分14分．解：(Ⅰ) = ………………………………………………………(2分)∵x=0時(shí)，f(x)取得極值，∴=0，……………………………………(3分)故 =0，解得a==1符合題意. …………………(4分) (Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x+1)x2 x，由f(x)= +b,得ln(x+1)x2+ xb=0，令φ(x)= ln(x+1)x2+ xb，則f(x)= +b在[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于φ(x)=0在[0，2]恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．………………………………………………………(5分) ，………………………………(8分)當(dāng)x∈(O，1)時(shí)， O，于是φ(x)在(O，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，2)時(shí)， 0，于是φ(x)在(1，2)上單調(diào)遞減．…………(8分) 依題意有 ∴l(xiāng)n3 1≤bln2 +.…………………………………………………………(9分)(Ⅲ) f(x)=ln(x+1)x2 –x的定義域?yàn)閧x|x 1}，………………………………(10分) 由(Ⅰ)知，……………………………………………(11分) 令=0得，x=0或x= (舍去)， ∴當(dāng)1x0時(shí)，0，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x0時(shí)，0，f(x)單調(diào)遞減.∴f(0)為f(x)在(1,+∞)上的最大值. …………………………………(12分)∴f(x)≤ f(0)，故ln(x+1)x2x≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立).…(13分)對(duì)任意正整數(shù)n，取x=0得，ln(+1) +，故ln().………………………………………………………………(14分)?！?10分)同理可證∠QRA≤45176。.…………………………(12分) 解法四：(Ⅰ)同解法一． (Ⅱ) ∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90176。…………………(10分) 同理可證∠QRN≤45176?！?12分)解法三：(Ⅰ)因?yàn)锳BCD為菱形，且AC與BD的交點(diǎn)在y軸上， 所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為 a， 即點(diǎn)C在直線x = a上，從而D到C的距離等于D到直線x = a的距 離．又ABCD為菱形，所以點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)D到直線x = a的距離 相等，即軌跡E為拋物線，方程為y2=4ax．…………………………(4分) 注意到ABCD為菱形，∴x≠O， 故軌跡E的方程為y2=4ax(x≠O)．……………………………………(5分)(Ⅱ) ∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90176。成立． …………………………(12分)解法二：(Ⅰ)設(shè)D(x，y)，由ABCD為菱形且AC、BD的交點(diǎn)在y軸上， ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(a，y)，∵A(a，0)，由|DA|=|DC|得 ， 化簡得y2=4ax．………………………………………………………(4分) 注意到ABCD為菱形，∴x≠O， 故軌跡E的方程為y2=4ax(x≠O)．……………………………………(5分)(Ⅱ)∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90176。結(jié)論成立；……………………………………(7分)(2)當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=k(x一a)， 由得 k2x2 (2ak2+4a)x + k2a2 = 0 記P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2 ＝2a+，x1 x2=a2. ．…………………………………(6分) 證明如下：(1)當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，177。＝（2x，y）=, ∴BP= ∵∴在棱BB1上存在一點(diǎn)P，當(dāng)BP的長為時(shí)，二面角PACB的大小為30176。．連結(jié)BD交AC于O 點(diǎn)，連結(jié)OP，∵ABCD為正方形，∴BO⊥AC，而OB為OP在平面AC上的射影，由三垂線定理得OP⊥AC， ∴∠BOP為二面角P—AC—B的平
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