【正文】 通過(guò)上面兩個(gè)例題分析可知，求解帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)范圍問(wèn)題，可以假設(shè)磁場(chǎng)無(wú)限大，把有界磁場(chǎng)變成無(wú)界磁場(chǎng)，畫(huà)出帶電粒子的可能運(yùn)動(dòng)軌跡，確定帶電粒子的運(yùn)動(dòng)范圍后，根據(jù)題設(shè)要求再補(bǔ)畫(huà)邊界線，就可以得到所求的范圍。APQBMNH圖7而從此刻開(kāi)始，隨著速度的增大，電子打到B板上的點(diǎn)逐漸向左移動(dòng)，一直到電子的速度達(dá)到最大，此時(shí)電子打在圖6中大圓與B板相交的位置M，這樣電子打在B板上的范圍是MN段。設(shè)電子運(yùn)動(dòng)的最大軌跡半徑為，洛侖茲力提供向心力：，所以APQBMNH圖6代入數(shù)據(jù)得，即在圖5的基礎(chǔ)上再加上與直線AP平行且間距為d的直線BQ，AP與BQ相當(dāng)于磁場(chǎng)的兩條邊界線，如圖6所示，只需畫(huà)出半徑分別是d和2d的兩個(gè)特殊圓，所求范圍即可求得。分析：本題中帶電粒子的速度方向相同，速度大小不同，仍然是在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。所以帶電粒子打到邊界線上的范圍應(yīng)是線段PN的長(zhǎng)度，圖42. 同源異速同向帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)例2. 如圖4所示，A、B為水平放置的足夠長(zhǎng)的平行板，板間距離為，A板上有一電子源P，Q點(diǎn)為P點(diǎn)正上方B板上的一點(diǎn)，在紙面內(nèi)從P點(diǎn)向Q點(diǎn)發(fā)射速度在0～范圍內(nèi)的電子。解：如圖3所示， P點(diǎn)在以為圓心的圓上，過(guò)O點(diǎn)作PQ的垂線OM，在直角三角形OMP中，則粒子能到達(dá)邊界線最下面的點(diǎn)的軌跡圓是以為圓心的圓，該圓正好與邊界線PQ相切，N為切點(diǎn)。圖3PQMN需要注意的是打到邊界線上的最上邊的點(diǎn)是大圓（虛線）與PQ的交點(diǎn)，打到最下面的點(diǎn)是小圓與PQ的切點(diǎn)。我們可以假設(shè)磁場(chǎng)沒(méi)有邊界PQ，很容易就得出所有帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的范圍，不同的帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r是相同的，從O點(diǎn)向各個(gè)方向發(fā)射帶電粒子，O為這些軌跡圓周的公共點(diǎn)，帶電粒子能運(yùn)動(dòng)到的范圍是以O(shè)點(diǎn)為圓心，為半徑的大圓(虛線)，如圖2所示。現(xiàn)從點(diǎn)O以同一速率將相同的帶負(fù)電粒子向紙面內(nèi)各個(gè)不同的方向射出，它們均做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求帶電粒子打在邊界PQ上的范圍。下面舉例說(shuō)明。解決這類問(wèn)題一般都要畫(huà)出解題示意圖，但往往由于有界磁場(chǎng)限制了思路而不能準(zhǔn)確畫(huà)出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。從同一離子源射出的帶電粒子進(jìn)入有邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，更能考查學(xué)生的理解能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力。　　從以上分析討論看出，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是利用磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向。顯然，符合條件的最小磁場(chǎng)區(qū)域應(yīng)是圓OA1相交的部分?！　〗馕觯河深}意可得電子在磁場(chǎng)中做半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。〔例題〕在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)原點(diǎn)不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖所示。再如圓環(huán)形磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題可參考（二）、（三）的分析方法求解。　?。?）由圖6看出，在軌跡半徑和運(yùn)動(dòng)方向偏轉(zhuǎn)角一定的情況下，可實(shí)現(xiàn)此偏轉(zhuǎn)的最小磁場(chǎng)圓即為以PQ為直徑的圓?！　　　　　‘?dāng)粒子沿圖6所示軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)、方向偏轉(zhuǎn)角最大。2．帶電粒子不對(duì)準(zhǔn)磁場(chǎng)圓心射入磁場(chǎng)特別地當(dāng)時(shí)，即粒子速度方向改變。　　物理關(guān)系：　　，　　　　，　　　　如圖5所示，磁場(chǎng)圓半徑為R，粒子軌跡圓半徑為r，帶電粒子從P點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)磁場(chǎng)圓心O射入，由幾何知識(shí)容易證明粒子從Q點(diǎn)飛出的速度方向的反向延長(zhǎng)線必過(guò)磁場(chǎng)圓心O點(diǎn)。（三）有圓柱面邊界的磁場(chǎng)（磁場(chǎng)方向與圓柱軸線平行）　　聯(lián)立③④式解得　　 故有　　……………③　　　　　　　　聯(lián)立①②式解得　　　　要使粒子不從右邊界射出，應(yīng)有　　由牛頓第二定律得　　解析：根據(jù)題意畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4?！　∪袅Ｗ忧『貌粡挠疫吔缟涑?，這些粒子在磁場(chǎng)中所能到達(dá)的區(qū)域的面積是多少？　　總結(jié)：這類問(wèn)題要特別注意粒子能否出另一邊界的臨界條件?！　×Ｗ舆\(yùn)動(dòng)方向改變?！　t有　　幾何關(guān)系：PQ1=2r1　　則有（二）有平行雙平面邊界的磁場(chǎng)（只討論粒子垂直邊界進(jìn)入磁場(chǎng)）若帶電粒子從P點(diǎn)射入時(shí)速度大小變化而方向一定時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡、軌跡半徑、出磁場(chǎng)的位置都隨之變化，但運(yùn)動(dòng)時(shí)間和偏轉(zhuǎn)方向不變，所有可能軌跡的圓心應(yīng)分布在PO及其延長(zhǎng)線上。總結(jié)：這類問(wèn)題中要特別注意出入磁場(chǎng)的速度方向關(guān)于邊界對(duì)稱的特點(diǎn)?！　‘?dāng)＞900時(shí)，＜ 1800，軌跡為一段劣弧，圓心在磁場(chǎng)外?！　‘?dāng)＝900時(shí)，θ＝1800，軌跡為半圓周，圓心在線段PQ的中點(diǎn)?！　‘?dāng)＜900時(shí)，θ＞1800，軌跡為一段優(yōu)弧，圓心在磁場(chǎng)中?！　　　t有如圖2，直線MN右側(cè)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)?！《щ娏Ｗ釉谟薪绱艌?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)若粒子從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所用時(shí)間為t，則 　得　　　　軌道半徑為r、運(yùn)動(dòng)周期為T，則　一、帶電粒子在無(wú)界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（以下所畫(huà)都是垂直磁場(chǎng)方向的截面圖）基于考綱要求，本文只討論帶電粒子（不計(jì)重力）在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中垂直磁場(chǎng)方向的幾種運(yùn)動(dòng)情況。要想在有限的考試時(shí)間內(nèi)快速準(zhǔn)確求解這類問(wèn)題，需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的綜合分析能力。綜上所述，運(yùn)動(dòng)的帶電粒子垂直進(jìn)入有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若僅受洛侖茲力作用時(shí)，它一定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這類問(wèn)題雖然比較復(fù)雜，但只要準(zhǔn)確地畫(huà)出軌跡圖，并靈活運(yùn)用幾何知識(shí)和物理規(guī)律，找到已知量與軌道半徑R、周期T的關(guān)系，求出粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度或距離以及運(yùn)動(dòng)時(shí)間不太難?？梢?jiàn)在兩磁場(chǎng)區(qū)粒子運(yùn)動(dòng)半徑相同，如圖13所示，三段圓弧的圓心組成的三角形ΔO1O2O3是等邊三角形，其邊長(zhǎng)為2R。求：（1） 中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d。左側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右，電場(chǎng)寬度為L(zhǎng)；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)的速度大小為V，根據(jù)動(dòng)能定理，有abcdSo圖11設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有由前面分析可知，要回到S點(diǎn)，粒子從a到d必經(jīng)過(guò)圓周，所以半徑R必定等于筒的外半徑r，即R=。如果該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中）解析：如圖11所示，帶電粒子從S點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的電場(chǎng)作用下加速，沿徑向穿過(guò)狹縫a而進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng)。（2）當(dāng)粒子以V2的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場(chǎng)且軌道與外圓相切時(shí)，則以V1速度沿各方向射入磁場(chǎng)區(qū)的粒子都不能穿出磁場(chǎng)邊界，如圖9所示。解析：（1）要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切,軌跡如圖8所示。試計(jì)算（1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。如圖7所示，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場(chǎng)圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。綜上可得正確答案是A、B。解析:由左手定則判得粒子在磁場(chǎng)中間向上偏，而作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，很明顯，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大于某值r1時(shí)粒子可以從極板右邊穿出，而半徑小于某值r2時(shí)粒子可從極板的左邊穿出，現(xiàn)在問(wèn)題歸結(jié)為求粒子能在右邊穿出時(shí)r的最小值r1以及粒子在左邊穿出時(shí)r的最大值r2，由幾何知識(shí)得：粒子擦著板從右邊穿出時(shí)，圓心在O點(diǎn)，有：r12＝L2+(r1L/2)2得r1=5L/4，又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m,∴V5BqL/4m時(shí)粒子能從右邊穿出。帶電粒子在長(zhǎng)足夠大的長(zhǎng)方形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)要注意臨界條件的分析。=2d，又由r=mV/Be得m=2dBe/V又∵AB圓心角是30176。OB為半徑。則電子的質(zhì)量BABdVV300O圖5是 ，穿透磁場(chǎng)的時(shí)間是( )。
由得R=，帶電粒子的圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題在高考試題中多次出現(xiàn)：如94年全國(guó)高考物理試題第31題、2002年全國(guó)高考理科綜合試題第27題等。它在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O″，半徑為R。二、帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)例圓心為O、半徑為r的圓形區(qū)域中有一個(gè)磁感強(qiáng)度為B、方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蚶锏膭驈?qiáng)磁場(chǎng)，與區(qū)域邊緣的最短距離為L(zhǎng)的O＇處有一豎直放置的熒屏MN，今有一質(zhì)量為m的電子以速率v從左側(cè)沿ＯＯ＇方向垂直射入磁場(chǎng)，越出磁場(chǎng)后打在熒光屏上之P點(diǎn)，如圖3所示，求O＇P的長(zhǎng)度和電子通過(guò)磁場(chǎng)所用的時(shí)間。一、帶電粒子在半無(wú)界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)OBSVθP圖1例（1983年高考試題）一個(gè)負(fù)離子，質(zhì)量為m，電量大小為q，以速率V垂直于屏S經(jīng)過(guò)小孔O射入存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)的真空室中(如圖1).磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向與離子的運(yùn)動(dòng)方向垂直,并垂直于圖1中紙面向里.(1)求離子進(jìn)入磁場(chǎng)后到達(dá)屏S上時(shí)的位置與O點(diǎn)的距離.(2)如果離子進(jìn)入磁場(chǎng)后經(jīng)過(guò)時(shí)間t到達(dá)位置P,證明:直線OP與離子入射方向之間的夾角θ跟t的關(guān)系是。帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，解這類問(wèn)題既要用到物理中的洛侖茲力、圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何中的圓及解析幾何知識(shí)。在歷年的高考試題中幾乎年年都有這方面的考題?！　＝　　又有＝　　則＝mv2　　電子在磁場(chǎng)中沿圓弧ab運(yùn)動(dòng)，圓心為C，半徑為R。為了讓電子束射到屏幕邊緣P，需要加磁場(chǎng)，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度θ，此時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多少？磁場(chǎng)區(qū)的中心為O，半徑為r。電子束經(jīng)過(guò)電壓為U的加速電場(chǎng)后，進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，如圖所示?！　?．顯像管　　存在磁場(chǎng)時(shí)，由力的平衡得　　電流I受到的安培力　　（2）設(shè)磁場(chǎng)存在時(shí)的氣體流速為，則磁流體發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)　?。?）不存在磁場(chǎng)時(shí)，由力的平衡得。　?。?）磁流體發(fā)電機(jī)發(fā)電導(dǎo)管的輸入功率P?！　。?）不存在磁場(chǎng)時(shí)電離氣體所受的摩擦阻力F多大；發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)電離氣體流速隨磁場(chǎng)有無(wú)而不同。發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)有電阻率為的高溫、高速電離氣體沿導(dǎo)管向右流動(dòng)，并通過(guò)專用管道導(dǎo)出。圖1中的長(zhǎng)方體是發(fā)電導(dǎo)管，其中空部分的長(zhǎng)、高、寬分別為、前后兩個(gè)側(cè)面是絕緣體，上下兩個(gè)側(cè)面是電阻可略的導(dǎo)體電極，這兩個(gè)電極與負(fù)載電阻相連。　　　　利用等離子氣體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，受洛倫茲力上下偏轉(zhuǎn)聚集到兩極板產(chǎn)生電勢(shì)差，對(duì)外供電。已知流體的電阻率為ρ，不計(jì)電流表的內(nèi)阻，則可求得流量為（　　）現(xiàn)于流量計(jì)所在處加磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于前后兩面。流量計(jì)的兩端與輸送流體的管道相連接（圖中虛線）。　?。?1全國(guó)）電磁流量計(jì)廣泛應(yīng)用于測(cè)量可導(dǎo)電流體（如污水）在管中的流量（在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)管內(nèi)橫截面的流體的體積）?！　?．電磁流量計(jì)　　即當(dāng)Rd時(shí)，t1可忽略不計(jì)?！　≡贒形盒中回旋的總時(shí)間為 　　（3）在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間為　　可解得 又　　設(shè)質(zhì)子在電場(chǎng)中加速的次數(shù)為n，則　　高頻電源的頻率　　質(zhì)子的回旋周期　　（2）設(shè)質(zhì)子加速后最大速度為v，由牛頓第二定律有　　解析：　　（3）試推證當(dāng)Rd時(shí)，質(zhì)子在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間相對(duì)于在D形盒中回旋的時(shí)間可忽略不計(jì)（質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，不考慮磁場(chǎng)的影響）。求此加速器所需的高頻電源頻率f和加速電壓U。質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q。氮13是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氧16獲得的，反應(yīng)中同時(shí)還產(chǎn)生另一個(gè)粒子，試寫(xiě)出該核反應(yīng)方程?！　?．回旋加速器　　解析：粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理有，粒子通過(guò)速度選擇器有，進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)后，洛侖茲力提供向心力有，而聯(lián)立?！　∠聢D是一個(gè)質(zhì)譜儀原理圖，加速電場(chǎng)的電壓為U，速度選擇器中的電場(chǎng)為E，磁場(chǎng)為B1，偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)為B2，一電荷量為q的粒子在加速電場(chǎng)中加速后進(jìn)入速度選擇器，剛好能從速度選擇器進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得直徑為d，求粒子的質(zhì)量?！　≈饕糜诜治鐾凰?，測(cè)定粒子的質(zhì)量和比荷，主要由粒子源、加速電場(chǎng)、偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)等組成，有單聚焦質(zhì)譜儀、雙聚焦質(zhì)譜儀、飛行時(shí)間質(zhì)譜儀、串列加速質(zhì)譜儀，四極桿質(zhì)譜儀等。 由可知，當(dāng)rr0時(shí)，vv0，F(xiàn)合0，粒子會(huì)向上極板偏轉(zhuǎn)；　?。?）半徑為r的粒子，在剛進(jìn)入?yún)^(qū)域II時(shí)受到合力為：　　得：　?。?）設(shè)半徑為r的粒子的質(zhì)量為m、帶電量為q、被加速后的速度為v，則 　　電場(chǎng)強(qiáng)度方向豎直向上?！　≡O(shè)區(qū)域II內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，則　　（3）討論半徑r≠r2的粒子剛進(jìn)入?yún)^(qū)域II時(shí)向哪個(gè)極板偏轉(zhuǎn)?！　。?）試求圖中區(qū)域II的電場(chǎng)強(qiáng)度；半徑為r0的粒子，其質(zhì)量為m0、電量為q0，剛好能沿O1O3直線射入收集室。電離后，粒子緩慢通過(guò)小孔O1進(jìn)入極板間電壓為U的水平加速電場(chǎng)區(qū)域I，再通過(guò)小孔O2射入相互正交的恒定勻強(qiáng)電場(chǎng)、磁場(chǎng)區(qū)域II，其中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向如圖。　?。?6重慶）有人設(shè)想用下圖所示的裝置來(lái)選擇密度相同、大小不同的球狀納米粒子?！　∮烧坏膭驈?qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)組成，帶電粒子必須滿足唯一的速度大小和方向才能通過(guò)，否則會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，由得，即只有的粒子才能通過(guò)?！　∨c磁場(chǎng)有關(guān)的六種儀器的高考試題解析　　現(xiàn)代儀器很多都要用到磁場(chǎng)，利用帶電粒子在磁場(chǎng)中受洛倫茲力運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的軌跡來(lái)偏轉(zhuǎn)、分析、選擇粒子，而帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)又是高考的重點(diǎn)，所以把帶電粒子的運(yùn)動(dòng)和與磁場(chǎng)有關(guān)的儀器結(jié)合起來(lái)成為高考命題者追求的目標(biāo)，下面就近幾年來(lái)常考的幾種題型歸類如下：　　4． 　　2．　　參考答案：　　5．如圖所示真空中寬為d的區(qū)域內(nèi)有強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向如圖，質(zhì)量m帶電q的粒子以與CD成θ角的速度V0垂直射入磁場(chǎng)中；要使粒子必能從EF射出則初速度V0應(yīng)滿足什么條件？EF上有粒子射出的區(qū)域？