八年級(jí)幾何輔助線專題訓(xùn)練(參考版)
2025-03-27 02:14本頁面
【正文】 （3）我們可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，思路同（2）過D作，三角形BDM和CDH中，由（1）中已經(jīng)得出的，我們做的角，因此兩三角形全等（ASA）．那么，三角形MDN和NDH中，已知的條件有，一條公共邊ND，要想證得兩三角形全等就需要知道，因?yàn)椋虼?，因?yàn)?，那么，因此，這樣就構(gòu)成了兩三角形全等的條件．三角形MDN和DNH就全等了．那么，三角形AMN的周長(zhǎng)．因?yàn)?，因此三角形AMN的周長(zhǎng)．解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系：；此時(shí)．圖 1NMADCB（2）猜想：結(jié)論仍然成立．證明：如圖2，延長(zhǎng)AC至E，使，連接DE∵，且∴又是等邊三角形E圖 2NMADCB∴在與中H圖 3NMADCB∴（SAS）∴，∴在與中∴（SAS）∴故的周長(zhǎng)而等邊的周長(zhǎng)∴（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若，則（用x、L表示）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；題目中線段的轉(zhuǎn)換都是根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)的，當(dāng)題中沒有明顯的全等三角形時(shí)，我們要根據(jù)條件通過作輔助線來構(gòu)建于已知和所求條件相關(guān)的全等三角形。那么，三角形NCD中，在三角形DNM中，因此三角形DMN是個(gè)等邊三角形，因此，三角形AMN的周長(zhǎng)，三角形ABC的周長(zhǎng)，因此．（2）如果，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。時(shí),求AB及PD的長(zhǎng)?！唷鱀MN≌△DEN (AAS)，∴MA=FE的周長(zhǎng)為AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6應(yīng)用：已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．（圖1）（圖2）（圖3）解：（1）∵，∴（SAS）；∴，∵，∴，為等邊三角形∴，∴（2）圖2成立，圖3不成立。 DM=DE DM=DE =60176。又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC∠MDN=120176?！螦CD=180176。=90176?！唷螹BD=∠MBC+∠DBC=60176。由于 CD⊥AB，有∠CDA＝90176?！螮CD＝∠DCA＝45176。(2)若AB=2，求四邊形DECF的面積。證法一：如圖1，在AC上截取，連結(jié)FG ∵，AF為公共邊，∴∴， FBEACD圖 12143G∵，AD、CE分別是、的平分線∴∴∴∵及FC為公共邊∴∴∴證法二：如圖2，過點(diǎn)F分別作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H FBEACD圖 22143HG∵，AD、CE分別是、的平分線∴可得，F(xiàn)是的內(nèi)心∴，又∵∴ ∴可證∴ 五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù). 證明：將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例2 D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60176。CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的
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