【正文】 傅里葉變換法 信號與系統(tǒng) 對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法 周期信號 ?????????????ntn Ωnntn ΩnT n ΩHFthFtfthtyjj e)(j]e*)([)(*)()(若 ??????10 )(c o s2)( n nnT tn ΩAAtf ?)(je)(j)(j ???? HH ?則可推導出 ???????10 )]([c o s|)(j|)0(2)( n nn n Ωtn Ωn ΩHAHAty ????????ntn ΩnT Ftfje)(例 信號與系統(tǒng) 頻域分析例 例： 某 LTI系統(tǒng)的 ?H(j?)?和 θ (?)如圖， 若 f(t)= 2 + 4cos (5t) + 4cos (10t)，求系統(tǒng)的響應。 y(t) = h(t)﹡ ej ? t 信號與系統(tǒng) 二、一般信號 f(t)作用于 LTI系統(tǒng)的響應 ej ?t H(j ?) ej ?t ?21 F(j ?) ej ?t d ? F(j ?)H(j ?) ej ?t d ? 齊次性 ? ??? ?? ? de)(jπ2 1 j tF ? ??? ??? ? de)(j)(jπ2 1 j tFH可加性 ‖ f(t) ‖ y(t) =F –1[F(j ?)H(j ?) ] Y(j ?) = F(j ?)H(j ?) ?21信號與系統(tǒng) 頻域分析法步驟： LTI h ( t ) =②傅氏 變換④傅氏 反變換f ( t )①傅氏 變換 ＝y(tǒng) ( t )F ( j ω ) H ( j ω ) Y ( j ω )③*頻率響應 H(j?)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的傅里葉變換 Y(j?)與激勵 f(t)的傅里葉變換 F(j?)之比，即 )(j)(j)(j???FYH ? )]()(j[)(j e)(j)(je)(j)(j ?????????? fyFYHH ????H(j?)?稱為 幅頻特性 （或 幅頻響應 ）； θ (?)稱為 相頻特性 （或 相頻響應 ）。 ??????ntn ΩnFtfje)(對周期信號： 對非周期信號： ? ???? ?? ? de)(jπ2 1)( j tFtf其基本信號為 ej ? t 基本信號 e j ? t作用于 LTI系統(tǒng)的響應 一般信號 f(t)作用于 LTI系統(tǒng)的響應 頻率響應 H(j?)的求法 無失真?zhèn)鬏斉c濾波 信號與系統(tǒng) 一 、 基本信號 e j ?t作用于 LTI系統(tǒng)的響應 設 LTI系統(tǒng)的沖激響應為 h(t)，當激勵是角頻率 ω的基本信號 ej ?t時，其響應 tt hhty ????? ???? jj)(j ede)(de)()( ??? ?? ????????而上式積分 正好是 h(t)的傅里葉變換，記為 H(j ?)，稱為系統(tǒng)的 頻率響應函數(shù) 。 0 1 1f ( t )t14 4??解： 周期信號 f(t)也可看作一時限非周期信號 f0(t)的周期拓展。 信號與系統(tǒng) 周期信號的傅里葉變換 周期信號： f(t)←→ 傅里葉級數(shù) Fn 離散譜 周期信號的傅里葉變換如何求？與傅里葉級數(shù)的關系？ ? ? 葉變換統(tǒng)一的分析方法：傅里非周期周期??????tf非周期信號： f(t)←→ 傅里葉變換 F(jω) 連續(xù)譜 正、余弦的傅里葉變換 一般周期信號的傅里葉變換 傅里葉系數(shù)與傅里葉變換 信號與系統(tǒng) 一、 正、余弦的傅里葉變換 ? ?? ?tttttt0000jj0jj0eej21s i nee21c os????????????已知 1←→2πδ( ω) 由頻移特性得 e j ω0 t ←→ 2πδ( ω–ω0 ) e –j ω0 t ←→ 2πδ( ω+ω0 ) ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 0 01c o s 2 π δ 2 π δ π δ π δ2t? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????同理 ? ? ? ?0 0 0s i n j π δ j π δt? ? ? ? ?? ? ? ? ?信號與系統(tǒng) 頻譜圖 ? ?0 0 0c o s π δ () δ ()t? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0 0 0s i n j π δ j π δt? ? ? ? ?? ? ? ? ?0??0? ?? ?π? ?π? ??jF00c o s :t? 頻 譜 圖0s i n :t? 頻 譜 圖0??0? ?? ?π? ?π? ??jF0?0?0??? ???2?2??0信號與系統(tǒng) 二、一般周期信號的傅里葉變換 ??????ntjn ΩnT Ftf e)(?? ?? 22de)(1TTtjn ΩTn ttfTF?? ?????????????nnTntn ΩnT n ΩFFFtf )δ(π2)(je)(j ??(1) 說明： (1) 周期信號 fT(t)的傅氏變換由沖激序列組成，沖激函數(shù)僅存在于諧波頻率處； (2) 譜線的幅度不是有限值，因為 F(jω)代表頻譜密度。 ( t )t2 2 0 11t2 2( 1 ) ( 1 )( 2)f ( t )0解 : f (t) = ?(t+2) – 2 ?(t) + ?(t –2) F2(jω)= F [f (t)] = e j2ω– 2 + e – j2ω= 2cos (2ω) – 2 F (jω) = 222 )2(c o s22)(j)(j???? ??F注意 : dε(t)/dt = ?(t) ←→ 1 ε(t) ← → 1/(j ω) 信號與系統(tǒng) 結論 : 若 f (n)(t)←→ Fn(jω)， and f(∞)+ f(∞) = 0 則 f (t)←→ F (jω) = Fn(jω)/ (jω)n 信號與系統(tǒng) 九、頻域的微分和積分 (Differentiation and Integration in frequency domain) 若 f (t) ←→ F(jω) 則 (–jt)n f (t) ←→ F(n)(jω) ? ?????? ? xxFtfttf d)(j)(j1)δ()0(π其中 ? ???? ?? d)(jπ2 1)0( Ff例 1 例 2 信號與系統(tǒng) 頻域微分積分特性舉例 1 例 1: f (t) = tε(t) ←→ F (jω)=? ?? j1)π δ ()ε( ???t解 : ?????? ??????? j1)π δ (dd)ε(j tt21)(δj π)ε(?? ????tt注意 : tε(t) =ε(t)﹡ ε(t) ←→ ?????? ???????? ????? j1)π δ (j1)π δ (錯誤 ! 因為 ?(?)?(?) 和 (1/j?)?(?) 無定義。試求其頻譜函數(shù),為矩形脈沖，脈寬為其中 τtg τ? ? ? ?為的頻譜已知矩形脈沖 ωGtg j??? ? ???????? 2j ????? SaG解： 因為 ? ? ? ?? ?tttEgtf 00 jj ee21 ??? ???? ? ? ?為頻譜根據(jù)頻移性質， ?jFtf? ? )][ j (21)][ j (21j 00 ????? ?? ???? EGEGF信號與系統(tǒng) ? ? ? ??????? ???????? ??2Sa22Sa2 00???????? EE0?二，向左、右各平移將包絡線的頻譜一分為???π20?0?00??2?E? ??jF( b ) 矩形調幅信號的頻譜? ? )][ j (21)][ j (21j 00 ????? ?? ???? EGEGF信號與系統(tǒng) 七、卷積性質 (Convolution Property) 時域卷積： 若 f1(t) ←→ F1(jω)， f2(t) ←→ F2(jω) 則 f1(t)﹡ f2(t) ←→ F1(jω)F2(jω) 頻域卷積： 若 f1(t) ←→ F1(jω)， f2(t) ←→ F2(jω) 則 f1(t) f2(t) ←→ F1(jω)﹡ F2(jω) π21證明 舉例 信號與系統(tǒng) 時域卷積定理的證明 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? d2121 ??? ? ??? tfftftf F [f1(t)﹡ f2(t)] 所以 交換積分次序 ? ? ? ? ??? ? dde j21 ?????? ?? ??????? ?? ttff t? ? ? ? ??? ?? dej j21 ?????? Ff 利用時移特性 ? ? ? ? ttff t ded j21 ???? ???????? ? ?????? ??f1(t)﹡ f2(t) ←→ F1(jω)F2(jω) 信號與系統(tǒng) 卷積定理舉例 例 : ?)(js in2????????? ?Ftt解 : )S a (2)(2 ???tg由對稱性得 )(π2)S a (2 2 ???? gt)(π)S a ( 2 ?gt ??)(*)(2π)]([*)]([ ππ2 1s i n 22222ωgωgωgωgt t ??????????22 2 0 ωg 2 ( ω )* g 2 ( ω )F (j ω )π2 2 0 ω信號與系統(tǒng) 八、時域的微分和積分 (Differentiation and Integration in time domain) 若 f (t) ←→ F(jω) 則 )(j)(j)()( ?? Ftf nn ?????j)(j)δ()0(πd)( FFxxft ??????? ???? ?? ttfFF d)()(j)0( 0??證明 : f(n)(t) = ?(n)(t)﹡ f(t) ←→(j ω)n F(jω) f(1)(t)= ?(t)﹡ f(t) ←→ ?????? j)(j)δ()0(π)(j]j1)δ([ π FFF ???例 1 例 2 已知 f 39。 信號與系統(tǒng) 六、頻移特性 (Frequency Shifting Property) 若 f (t) ←→ F(jω) 則 證明 : 其中 ω0為實常數(shù)。 )(je)( 0j0 ?? Fttf t????證明 : F [ f (t – t0 ) ] ? ??? ??? tttf t de)( j0 ?? ??? ????? 00 jjede)( tttf ??????)(je 0j ?? Ft??例 1 例 2 例 3 信號與系統(tǒng) 時移特性舉例 例 : 圖示 f(t)的頻譜 F(jω) = ? 解 : f1(t) = g6(t –5) , f2(t) = g2(t –5) g6(t – 5) ←→ g2(t – 5) ←→ 所以 F(jω) = ?? 5je)3Sa (6 ??? 5je)Sa (2 ???? 5je)]S a (2)3S a (6[ ??0f ( t )t2 1214 6 8‖ 0 t2214 6 8f1( t )+ 0 t2214 6 8f2( t )信號與系統(tǒng) 時移尺度舉例 例 2 : 已知 f (t)←→ F( jω), 求 f (at – b) ←→ ? 解 : f (t – b)←→ e jωb F( jω) f (at – b) ←→ ?