【正文】 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)。但是這種截短后補(bǔ)零的方法不能提高頻率分辨率?！?說明： 柵欄效應(yīng)與頻率分辨率是不同的兩個(gè)概念。要提高頻率分辨率， 就必須對(duì)原始信號(hào)截取的長(zhǎng)度加長(zhǎng)（對(duì)模擬信號(hào)，就是增加采樣時(shí)間 Tp的長(zhǎng)度） 。?減小截?cái)嘈?yīng)方法：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)但譜估計(jì)只適用于不需要相位信息的譜分析場(chǎng)合 。所以，在 DFT變換區(qū)間 (即截取長(zhǎng)度 )N一定時(shí)，只能以降低譜分析分辨率為代價(jià)，換取譜間干擾的減小。l為了減小譜間干擾，應(yīng)用其它形狀的窗函數(shù) w(n)代替矩形窗。?　　　　 由于上述兩種影響是由對(duì)信號(hào)截?cái)嘁鸬?，因此稱之為 截?cái)嘈?yīng) 。在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾 (簡(jiǎn)稱譜間干擾 )，特別是強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣可能湮沒弱信號(hào)的主譜線，或者把強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣誤認(rèn)為是另一頻率的信號(hào)的譜線，從而造成假信號(hào)，這樣就會(huì)使譜分析產(chǎn)生較大偏差。 ?　　 序列截?cái)嗪髮?duì)譜分析的影響主要表現(xiàn)在如下兩個(gè)方面：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 　 (2)顯然，泄露使頻譜變模糊，使譜分辨率降低。(1)加矩形窗前后的頻譜 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 其頻譜為????x(n)的頻譜 X(ejω)如圖 (a)所示。矩形窗函數(shù)的幅度譜 圖中， ? |ω|2π/N的部分稱為主瓣，其余部分稱為旁瓣。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)例：時(shí)域補(bǔ)加零值點(diǎn)后對(duì)頻域的影響第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)柵欄效應(yīng)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 為了把原來被 “柵欄 ”擋住的頻譜分量檢測(cè)出來 :l對(duì)有限長(zhǎng)序列，可以在原序列尾部補(bǔ)零；l對(duì)無限長(zhǎng)序列，可以增大截取長(zhǎng)度及 DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度，從而使頻域采樣間隔變小，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)和采樣點(diǎn)位置，使原來漏掉的某些頻譜分量被檢測(cè)出來。(2)由于柵欄效應(yīng)，有可能漏掉 (擋住 )大的頻譜分量。這就好像從 N個(gè)柵欄縫隙中觀看信號(hào)的頻譜情況，僅得到 N個(gè)縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。 ? 因此，理論上必須滿足 Fs≥2fc(fc為連續(xù)信號(hào)的最高頻率 )。采樣速率 Fs必須滿足采樣定理，否則會(huì)在 ω=π(對(duì)應(yīng)模擬頻率 f=Fs/2)附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。4.(3)柵欄效應(yīng)混疊現(xiàn)象 單位圓與非單位圓采樣 ? 這樣就能準(zhǔn)確地測(cè)定出極點(diǎn)頻率。例如，語音信號(hào)處理中，常常需要知道系統(tǒng)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率，如果極點(diǎn)位置離單位圓較遠(yuǎn)，則其單位圓上的頻譜就很平滑，如 圖 (a)所示，這時(shí)很難從中識(shí)別出極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率。例如，對(duì)于窄帶信號(hào)，往往只希望對(duì)信號(hào)所在的一段頻帶進(jìn)行譜分析，這時(shí)便希望采樣能密集地在這段頻帶內(nèi)進(jìn)行，而帶外部分可完全不予考慮。設(shè)最后截取長(zhǎng)度為 iM，則 XiM(k0)表示 ω=［ 2π/(iM)］ k0點(diǎn)的譜線強(qiáng)度。而其他 k值時(shí)， XM(k)=0，當(dāng)然， X(i)與 XM(im)? 對(duì)應(yīng)點(diǎn)頻率是相等的　所以，只要截取　　　的整數(shù)個(gè)周期進(jìn)行 DFT，就可得到它的頻譜結(jié)構(gòu)，達(dá)到譜分析的目的?！?,n′=0,m－ 1。1,所以可用 X(k)表示　　　的頻譜結(jié)構(gòu)。我們知道單位圓上的 Z變換就是序列的傅里葉變換，即第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 對(duì)周期為 N的周期序列　　　，由 ()式知道，其頻譜函數(shù)為其中：由 DFT的隱含周期性知，截取　　的主值序列，并進(jìn)行 N點(diǎn) DFT，得到： ?　 2． 如果對(duì)序列 x(n)進(jìn)行 N點(diǎn) DFT得到 X(k)，則 X(k)是在區(qū)間［ 0， 2π］上對(duì)X(ejω)的 N點(diǎn)等間隔采樣，　頻譜分辨率就是采樣間隔2π/N。Hz，要求：　用快速算法 FFT計(jì)算時(shí)，選用 N=1024點(diǎn)。應(yīng)當(dāng)注意，這種提高譜分辨率的條件是必須滿足時(shí)域采樣定理，甚至采樣速率 Fs取得更高?！?如果 fc不變，要求譜分辨率提高 1倍，最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時(shí)間是多少？ ?解：　　為使用 DFT的快速算法 FFT，希望 N符合 2的整數(shù)冪，為此選用 N試確定最小記錄時(shí)間 TpHz，信號(hào)最高頻率 fc=　　 【 例 s。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)因此 Tp知道 fc后就能確定采樣頻率 這里 , 某信號(hào)的波形如圖 如果我們事先不知道信號(hào)的最高頻率，可以根據(jù)信號(hào)的時(shí)域波形圖來估計(jì)它。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)()? Tp和 N選擇： 譜分辨率 F=Fs/N，如果保持采樣點(diǎn)數(shù) N不變，要提高頻譜分辨率 (減小 F)，就必須降低采樣頻率，采樣頻率的降低會(huì)引起譜分析范圍變窄和頻譜混疊失真。頻率分辨率用頻率采樣間隔 F描述， F表示譜分析中能夠分辨的兩個(gè)頻譜分量的最小間隔。l譜分析范圍為［ 0,l為減少這種截?cái)嗾`差，可適當(dāng)加長(zhǎng) Tp，增加采樣點(diǎn)數(shù) N或用窗函數(shù)處理后再進(jìn)行 DFT。l可見： 低頻部分近似理想低通頻響特性，而高頻誤差較大，且整個(gè)頻響都有波動(dòng)。lH(kF)=T 此時(shí)頻域采樣間隔 F=1/NT=采樣點(diǎn)數(shù) N=Tp/T=32。s(即采樣頻率 Fs=4s， 所以要截取一段 Tp， 理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng) ha(t)及其頻響函數(shù) Ha(f)如圖 (a)、 (b)所示（圖 (a)中只畫出 ha(t)所截取的一段）。 Hz的兩個(gè)頻率分量在此頻譜圖中就分辨不出來。N11 spFNTTF ===第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)? T為采樣時(shí)間間隔（單位： s）；? Fs為采樣頻率（單位： Hz）；? Tp為截取連續(xù)時(shí)間信號(hào)的樣本長(zhǎng)度（又稱記錄長(zhǎng)度，單位： s）；? F為譜線間距，又稱頻譜分辨率（單位： Hz） ,是 指可分辨兩頻率的最小間距 。x(n)長(zhǎng)度 N為：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)2）連續(xù)信號(hào)頻譜與離散信號(hào)頻譜關(guān)系x(n)的傅里葉變換 X(ejω)與 xa(t)的傅里葉變換 Xa(jΩ)滿足如下關(guān)系：def將 ω=ΩT代入上式，得到 :第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)由 x(n)的 N點(diǎn) DFT的定義有 x(n)＝ 最高頻率為 fc， 因此，在下面分析中，假設(shè)xa(t)是經(jīng)過預(yù)濾波和截取處理的有限長(zhǎng) 帶限信號(hào) 。由上述可見，用 DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析必然是近似的，其近似程度與信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取長(zhǎng)度有關(guān)。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 對(duì)于持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)的信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)太多 ,因此，按采樣定理采樣時(shí)，上述兩種情況下的采樣序列 x(n)=xa(nT)均應(yīng)為無限長(zhǎng)，不滿足 DFT的變換條件?！　?然而，若信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限長(zhǎng)，則其頻譜無限寬；若信號(hào)的頻譜有限寬，則其持續(xù)時(shí)間必然為無限長(zhǎng)。1． 為了利用 DFT對(duì) xa(t)進(jìn)行頻譜分析， 先對(duì) xa(t)進(jìn)行時(shí)域采樣，得到 x(n)=xa(nT)，再對(duì)x(n)進(jìn)行 DFT，得到的 X(k)則是 x(n)的傅里葉變換 X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］上的 N點(diǎn)等間隔采樣 。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 如果 N+M12m， 不同之處是，序列中補(bǔ)零處不補(bǔ)零，而在每一段的前邊補(bǔ)上前一段保留下來的（ M1） 個(gè)輸入序列值， 先將 x(n)分段，每段 N個(gè)點(diǎn)，這是相同的。省略運(yùn)行程序畫出 h(n)、 x(n)和 y(n)的波形如圖所示。%================================== ?xn,% 產(chǎn)生 x(n)的 Lx個(gè)樣值 ?xn=cos(pi*n/10)+cos(2*pi*n/5)?！　　　　?% 產(chǎn)生 h(n)，其后補(bǔ)零是為了繪圖好看 ?LxN)］ 。hn1=［ hnN)。%Lx 為信號(hào)序列 x(n)長(zhǎng)度 ? M=10。N=5。Lx=41。對(duì) x(n)進(jìn)行分段，每段長(zhǎng)度為M=10。h是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)向量； x是輸入序列向量； y是系統(tǒng)的輸出序列向量（ h與 x的卷積結(jié)果）； M是由用戶選擇的輸入序列 x的分段長(zhǎng)度，缺省 M時(shí)，默認(rèn)輸入序列 x的分段長(zhǎng)度M=512。x， M)l ?MATLAB中重疊相加法實(shí)現(xiàn)線性卷積的計(jì)算的函數(shù)l假設(shè) h(n)=R5(n)， x(n)=[cos(πn/10) ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)【 例 】 =i＋ 1，返回 (2)。并計(jì)算 　　　　　　　　　 　重疊區(qū)相加非重疊區(qū)不加(6)(2)　　， n =這樣，可邊輸入邊計(jì)算邊輸出，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理。重疊相加法卷積示意圖 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 l2）把分段卷積結(jié)果疊加起來。1) 重疊相加法第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)h(n)與 x(n)的線性卷積可表示為()每段長(zhǎng)度取 M， 設(shè)序列 h(n)長(zhǎng)度為 N， 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)顯然，在要求實(shí)時(shí)處理時(shí)，直接套用上述方法是不行的。因此要求存儲(chǔ)容量大，運(yùn)算時(shí)間