【正文】 設(shè)在 z平面上有 N個(gè)極點(diǎn)，圍線 c將他們分成兩部份： N1個(gè) c 內(nèi)極點(diǎn) z1k和 N2個(gè) c外極點(diǎn) z2k， 12 111211R e s [ ( ) , ] R e s [ ( ) , ]NNnnkkkkX z z z X z z z????????12N N N??條件： 的分母的階次比分子的階次高二階以上 1() nX z z ?例 11( ) ,1X z z aaz ????111() 1nnn zzX z za z z a???????0 , 。對于任意一個(gè)有理函數(shù)就屬于這種情況，因?yàn)榭梢詫τ欣砗瘮?shù)求得一個(gè)部分項(xiàng)展開，而相對應(yīng)單個(gè)項(xiàng)的序列非常容易辨認(rèn)： 3) 部分分式展開法 ()Xz121 1 112()()()( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]nnBzXzAzX z X z X z X zx n Z X z Z X z Z X z? ? ??? ? ? ?? ? ? ?0000()()()MMk N M kkkkkNNk M N kkkkkb z z b zBzXzAza z z a z????????? ? ?????101101( 1 )()( 1 )MkkNkkb c zXza d z?????????是一種等效表示，這樣的函數(shù)在 z平面非零區(qū)域有 M個(gè)零點(diǎn)，N個(gè)極點(diǎn)；若 MN，在 z=0處還有 MN個(gè)極點(diǎn)；若 NM，在z=0處還有 NM個(gè)零點(diǎn)，表示成如下形式最方便： ck是非零值零點(diǎn)， dk是非零值極點(diǎn) 兩邊乘以 并對 求值，系統(tǒng) 就能夠由下式求得 11() 1Nkk kAXzdz ??? ??1( 1 ) ( )kkk zdA d z X z? ???1(1 )kdz???若 MN且極點(diǎn)都是一階的，則可以表示成 ： kzd? kA例 11( ) ,112( 1 ) ( 1 )42X z zzz??????1211() 11( 1 ) ( 1 )42AAXzzz??????根據(jù)收斂域分析，序列是右序列，極點(diǎn)都為一階，所以可以表示為 111412121( 1 ) ( ) 141( 1 ) ( ) 22zzA z X zA z X z????? ? ? ?? ? ?可求 1112()11( 1 ) ( 1 )42Xzzz???????11( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )42nnx n u n u n? ? ?由于序列是右邊序列，所以 ? 若 ,那么應(yīng)該表示為： MN?101()1M N Nr krrk kAX z B zdz??????????可以用長除法直至余式的階數(shù)低于分母的階數(shù)，然后使用上述方法確定 Ak 例 121212( ) , 131122zzX z zzz??????????1 2 1 21 2 1 11 2 ( 1 )()3 1 11 ( 1 ) ( 1 )2 2 2z z zXzz z z z? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ?120 111 ( 1 )( 1 )2AABzz ??? ? ???M=N，且極點(diǎn)均為一階 ? B0用長除法求得，根據(jù)收斂域可知序列是右序列 2 1 2 12131 2 122z z z z? ? ? ?? ? ? ?2132zz????151z ? ?11151( ) 21( 1 ) ( 1 )2zXzzz????????此時(shí)，第二項(xiàng) MN，可用上述方法確定 Ak 11111121121111 5 11 2 912( 1 ) ( 1 )251( 1 ) 2 81( 1 ) ( 1 )2zzzAzzzzAzzz?????????????? ???? ? ? ? ????????????????? ?? ? ? ?????????1198( ) 21 ( 1 )( 1 )2Xzzz ??? ? ???因此： 1( ) 2 ( ) 9 ( ) ( ) 8 ( )2nx n n u n u n?? ? ?序列 X(z)有多重極點(diǎn) ? X(z)有一個(gè) s階級點(diǎn) z=di, 其余都是一階級點(diǎn)且 110 1 1111()1 ( 1 )( 1 ) ( )11[ ( 1 ) ( ) ]( ) ! ( )1 ( )[ ( ) ]( ) !1 , 2 , ,kiiM N N s sr kmr mr k mkikkzdsmsmsmi smizdsmsmi s m mzdACX z B zd z d zA d z X zdC d z X zd s m d zd X zC z ds m dz zms?????? ? ????????????? ? ??????? ??? ? ?????????????? ??????? ? ?或 MN?1 2 11( ) , 4( 1 2 ) ( 1 4 )X z zzz??????121 1 1 2() ( 1 4 ) 1 2 ( 1 2 )A C CXzzzz???? ? ????已知 求 x(n) 11244121 1221221012211( 1 4 ) ( ) 4( 1 2 )1 1 1[ ( ) ( 1 2 ) ] 2( 2) 1 ! 2 1 411[ ( ) ( 1 2 ) ] 1( 2) 0 ! 1 4zzzzzzdz dA z X zzddC X z zzC X zzzz??????????????? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?????? ? ? ? ? ???? ? ???1 1 1 214 2 1()( 1 4 ) 1 2 ( 1 2 )( ) [ 4 4 2 2 ( 1 ) 2 ] ( )( 4 3 2 2 ) ( )n n nn n nXzzzzx n n u nn u n????? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?4) 留數(shù)定理法 1( ) ( ) ,1( ) ( ) , ( , )2nnncX z x n z R z Rx n X z z dz c R Rj?????? ?????? ? ?????圍線積分，積分是沿曲線 c進(jìn)行的，曲線 c是收斂域 中 一條逆時(shí)針的封閉曲線。這種分析往往涉及求序列的 z變換，再將該代數(shù)表達(dá)式經(jīng)過某種運(yùn)算處理后，求 z反變換得到處理后的序列 ? 已知序列的 z變換及其收斂域，求序列稱為求 z反變換 1) 觀察法 2)長除法 (冪級數(shù)展開法 ) 3)部分式展開法 4) 留數(shù)定理法 1) 觀察法 ? 本方法就是由某些熟悉的，或憑觀察就能辨認(rèn)出來的變換對所構(gòu)成。 ? 無限長雙邊序列 11( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )32nnx n u n u n? ? ? ? ?利用上面的結(jié)果 1( ) ( )3n un?1( ) ( 1 )2n un? ? ?111,1 313zz ???111,1 212zz ?????1112 ( )1 1 1 112( ) ,1 1 1 1 321 1 ( ) ( )3 2 3 2zzX z zz z z z???? ? ? ? ?? ? ? ?? 兩個(gè)零點(diǎn) ? 兩個(gè)極點(diǎn) ? 收斂域 10,12zz??11,32zz? ? ?1132z??Re [ ]zI m [ ]zX1213? 0112X一般性討論 1）有限長序列 12()()0x n n n nxno th e r s???? ??21( ) ( )nnnnnX z x n z???? ?1212120 , 0 , 00 , 0 , 00 , 0 , 0n n zn n zn n z? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?收斂域：有限項(xiàng)，只考慮 0 和 ，其余地方都收斂 無負(fù)冪項(xiàng) 無正冪項(xiàng)（因果序列） 同時(shí)有正、負(fù)冪項(xiàng) ?2）無限長右邊序列 1110( ) ( ) ( ) ( )n n nn n nn n n n nX z x n z x n z x n z? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?RzRz??? ? ?? ? ? 因果序列，無正冪項(xiàng) 非因果序列，有正冪項(xiàng) 因此，收斂域?yàn)椋? 有限長序列 0 z? ?