【正文】 ( ) , () 0 , m in( ( ) , ( ) ) m a x( ( ) , ( ) )( ) ( )XXYX f x x f x a ba x b g x g xY g X Yf h y h y yfyg a g b g a g bh y x y g x??????? ? ? ??? ? ? ??? ?????? ? ?推 論 ： 設當 時 或 。( ) 0 ( 39。( )Y X Xf y f h y h y f h y h y? ? ? ?39。( ) 0hy ?且：( ) ( ( ) ) 39。( ) , () 0 , XYf h y h y yfy ??? ? ? ?????? 其他m i n ( ( ) , ( ) ) m a x ( ( ) , ( ) )( ) ( )g g g gh y x y g x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?其 中 ， ，39。( ) 0 )( ) XX f x x g x g xY g X Y? ? ? ? ? ? ? ??定 理 ： 設 ， 或 。( )YYf y F y??1[ ( ) ( )] , 02 0 , 0f y f y yyy? ? ? ??? ?? ??85 ( ) , 39。 83 例：設 Y=2X,Z=X2,求 Y,Z的概率分布。 82 一般，若已知 X的概率分布， Y=g(X)，求 Y的 概率分布的過程為： ? ?12 , , , ,( ) , ( ) ( ) 。Yy F y??當 時， 16 ( ) 1Yy F y??當 時， 0 1 6 y??當 時,11, 0 1 68 1 62 0 , yyy?? ? ? ??? ??? 其他()( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 39。 解： Y的所有可能取值為 0,1 即找出 (Y=0)的等價事件 (X=0)； (Y=1)的等價事件 (X=1)或 (X=1) 81 例：設隨機變量 X具有概率密度 求 Y=X2的概率密度。 5 隨機變量的函數分布 問題：已知隨機變量 X的概率分布， 且已知 Y=g(X)，求 Y的概率分布。 在自然現象和社會現象中，大量隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布。? ? ? ?? ? ? ? / ! , 0 , 1 , 2 ,ktP N t k e t k k? ??? ? ?解： 1? ?00Tt F t??當 時 ，? ? ? ? ? ?1TF t P T t P T t? ? ? ? ?? ? ? ?? ?0 1 0 1 tTt F t P N t e ??? ? ? ? ? ?當 時 ，? ? ? ? ? ?? ? ? ?8182 1 8 | 1 0 810PTP T T e P TPT ???? ? ? ? ? ??73 ? 正態(tài)分布 定義： 設 X的概率密度為 其中 為常數，稱 X服從參數為 的正態(tài)分布 (Gauss分布 )， 記為 可以驗算： 22()21( ) 2xf x e x??????? ? ? ? ? ? ?，2( , )XN ??( ) 1f x dx???? ??+ ( )f x d x????22 tI e dt?? ???? ?記2212xtte d t????????? ?????? ?令 2212te d t??? ???? ?22()2 2xyI e d x d y???? ??22200rd re dr? ? ?? ?? ?? 2I ??? ( ) 1f x dx???????2,??2,??74 稱 μ 為位置參數 (決定對稱軸位置 ) σ 為尺度參數 (決定曲線分散性 ) m ax21 ( )12 ( )23 ( ) 0~ ( , )xf x xffl i m f xXN???????? ? ?????關 于 對 稱0??fx? 1? x5??5?????????fxx??075 X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。 1 , 1 2() 30 , xfx ? ? ? ??????? 其他2( 0) ,3PX ??2(1 0 , )3Yb2821021( 2 )33P Y C? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?( 0)PX? 解： X在區(qū)間 (1,2)上均勻分布 設 10個數中有 Y個數大于 0， 則： 71 ? 指數分布 定義：設 X的概率密度為 其中 λ 0為常數，則稱 X服從參數為 λ的 指數分布 。 解： 2()3P X k?? ， 0 1( ) 2 9 3 60 cxf x x????? ? ???? 其他? ? 1 ( )f t d t????? ?1? ? ? ? ( )F x P X x??2? ? 2 ( ) ( ) 4 . 53P X k F k k? ? ? ? ?3 使160329c dt dt????23 c??13c??010103 0 01 0 131 1 3312 3 639 1 6xxxd t xd t xd t d t xx????????? ? ???? ? ? ?????????0 03 0 11 3 1 3( 2 3 ) / 9 3 61 6xxxxxxx???????? ? ??? ? ? ?????69 幾個重要的連續(xù)量 ? 均勻分布 定義： X具有概率密度 稱 X在區(qū)間 (a,b)上服從 均勻分布 ， 記為 X～ U(a,b) 1() clca c c l blP c X c l d t cb a b a?? ? ? ?? ? ? ? ? ????設 與 無關0 ( ) 1 xaxaF x a x bbaxb??? ??? ? ???????1 ( , )()0 x a bfxba? ??? ???? 其他??fx0 b xa1ba???Fx0 b xa170 例：在區(qū)間 (1,2)上隨機取一數 X，試寫出 X的概率 密度。( )xxF x x F x P x X x xf x F x li m li mxx??? ? ? ? ?? ? ?()fx 的性質：1) ( ) 0fx ?+2 ) ( ) 1f x d x??? ??? ? 211 2 2 112 ( ) ( ) ( ) 0xxx x x xP x X x f t d t P X a?? ? ? ? ? ??3) 對于任意的實數 ，4 ) ( ) 39。 4 連續(xù)型隨機變量及其 概率密度 定義： 對于隨機變量 X的分布函數 若存在 非負的函數 使對于任意實數 有： ( ),fx( ) ( )xF x f t d t?? ?( ),Fx,x()fx其中 稱為 X的概率密度函數，簡稱 概率密度 。1 2 2 1 0 ( ) ( ) ( )P x X x F x F x? ? ? ? ?()Fx 的幾何意義：1 ) 0 ( ) 1Fx??xX()Fx 的性質：2 ) ( ) ( ) 0 ( ) 1F x F F? ? ? ? ? ?單調不減，且 ，65 例： 解： ? ?0 0( ) 0 11 1xF x P X x q xx???? ? ? ? ??? ??p X 0 1 q p ( 1 )P X p?? ( 1 ) 1 ( ) 1P X p x F x? ? ? ?比較 與當 時，? ? ? ?1X F x P X ?求 的概率分布函數 及 的值。 解： 63 ? ?10 , , 1 , knkkknnpeC p p npk?? ?????? ? ?二項分布與泊松分布有以下 近似公式：當時其中！64 167。 A={接受該批 }。即“小概率事件”在大量試驗中“至少有一次發(fā)生”幾乎是必然的。 ( 3 , )Y b p? ? 331 ( ) ( 1 ) , 0 ,1 , 2 , 3k k kP Y k C p p k?? ? ? ?? ? 2232 ( 2 ) ( 1 )P Y C p p? ? ? 解：這是三重貝努利試驗 60 例：某人獨立射擊 n次，設每次命中率為 p， 0p1，設命中 X次， (1) 求 X的概率分布 律； (2) 求至少有一次命中的概率。的 概 率 為 ：? ? ? ? ? ? ? ?3 808004 1 0 . 0 1 0 . 9 9 0 . 0 0 8 7kkkkP Y C ??? ? ? ??59 例：某人騎了自行車從學校到火車站，一路上 要經過 3個獨立的交通燈，設各燈工作獨 立，且設各燈為紅燈的概率為 p， 0p1， 以 Y表示一路上遇到紅燈的次數。 以 表 示 事 件 “ 第 人 維 護 的 臺 中 發(fā) 生 故 障 不 能 及 時 維 修 ” ， 則 知 80 臺 中 發(fā) 生 故 障 不按 第 一 種 方 法 。 試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。 55 例： 1. 獨立重復地拋 n次硬幣，每次只有兩個可能的結果： 正面，反面， 如果是不放回抽樣呢？ ,AA,AA? ? 12P ?出現正面? ? 16PA ?? ? 12PA ? n次，設 A={得到 1點 }，則每次試驗 只有兩個結果： 52張牌中 有放回 地取 n次，設 A={取到紅牌 }，則 每次只有兩個結果： 56 設 A在 n重貝努利試驗中發(fā)生 X次，則 并稱 X服從參數為 p的 二項分布 ，記 ( ) ( 1 ) 0 1k k n knP X k C p p k n?? ? ? ? ???， ， ，()X b n p，31 2 3( 0 ) ( ) ( 1 )P X P A A A p? ? ? ?31 2 3( 3 ) ( )P X P A A A p? ? ?2 2 3 21 2 3 1 2 3 1 2 3 3( 2 ) ( ) ( 1 )P X P A A A A A A A A A C p p ?? ? ? ?1 1 3 11 2 3 1 2 3 1 2 3 3( 1 ) ( ) ( 1 )P X P A A A A A A A A A C p p ?? ? ? ? ( ) ( 1 ) , 0 , 1 , 2 , ,k k n knP X k C p p k n?? ? ? ?一般0 1 ( ) 1nn k k n knkp q C p q q p??? ? ? ?