【正文】 1 ,hy a?則 ? ?? ?? ?22212y a baea????????? ?222112ybaYf y ea??????????????即 ? ?22~ , .Y N a b a???兩個重要結論：正態(tài)隨機變量的線性變換 仍是 正態(tài)隨機變量，即
。 21 ,1hyy??則 ? ? ? ?? ? ? ?39。 s inYX?解 X在 取值時 在 取值， 0,2???????s inYX? ? ?0,1當 時， ? ? 0YFy ?當 時， 1y ? ? ? ? ?s i n 1YF y P Y X y? ? ? ?0y?當 時 01y??? ? ? ? ? ?s i nYF y P Y y P X y? ? ? ?? ?a r c s i nP X y??? ?a r c s i n y f x d x??? ?0 a r c s i n2080 y xd x d x???????? ?a r c s in 222204 a r c sin4yyx????因此，所求的概率密度為 ? ? 228 a r c s in, 0 1 ,10 , .Yyyfy y?????? ???? 其 他 下面給出一個定理，在滿足定理條件時可直接用它求出隨機變量函數(shù)的概率密度 . 定理 設 X是一個取值于區(qū)間 [a,b]，具有概率密度 f(x)的連續(xù)型隨機變量 ,又設 y=g(x)處處可導，且對于任意 x, 恒有 或恒有 ，則 Y=g(X)是一個連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為 0)( ?? xg 0)( ?? xg()[ ( ) ] ,()0,XYdh yf h y yfy dy??????? ??? 其 它其中 ， ),(m in xgbxa ???? ),(m a x xgbxa ????x=h (y) 是 y=g (x) 的反函數(shù) . 此定理的 證明與前 面的解題 思路類似 例 3 設隨機變量 X的概率密度為 ? ? 28,020,Xxxfx??????? ??? 其 他求 的概率密度。 2 1 。 3?作兩條線，當生產過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報 .表明生產出現(xiàn)異常 . ? ?~ 0 , 1 ,XN設 若數(shù) 滿足條件 αu? ? , 0 1αP X u α α? ? ? ?? ? ?aP X u α? ? ?則稱點 為 αu 標準正態(tài)分布的 上側 分位數(shù) . α標準正態(tài)分布的上側 分位數(shù) a)(x?αzαz?練習 設隨機變量 ，若 ，求 ? ?~ 0 ,1XN ? ?0 . 0 2 5 0 . 0 2 5P X u?? 解 ? ?0 . 0 2 5P X u? ? ?0 . 0 2 51 P X u? ? ?? ?0 .0 2 51 u? ? ?? ?0 . 0 2 5 1 0 . 0 2 5u? ? ? 0 .9 7 5?查表得 0 .0 2 5 1 . 9 6u ?看一個應用正態(tài)分布的例子 : 例 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在 以下來設計的 .設男子身高 X～N(170,62),問車門高度應如何確定 ? 解 設車門高度為 h cm,按設計要求 P{X≥ h}≤ 或 P{X h}≥ ， 下面我們來求滿足上式的最小的 h . P(X h ) ?求滿足 的最小的 h . 因為 X～ N(170,62), )1,0(~6 1 7 0 NX ?所以 . 故 P(X h)= 1 7 0 1 7 066XhP ?????????1706h ??????????查表得 ()= 6170?h因而 = , 即 h=170+ 184 ?設計車門高度為 184厘米時，可使 男子與車門碰頭 機會不超過 . 四、小結 這一節(jié)，我們介紹了連續(xù)型隨機變量及三種重要分布 .即均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布 . 其中正態(tài)分布 的應用極為廣泛，在本課程中我們一直要和它打交道 . 后面第五章中，我們還將介紹為什么這么多隨機現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布 . X已知隨機變量 只可能去 1, 0, 1, 2這四個值，相應的概率依次為 1 3 5 7, , ,2 4 8 1 6c c c c確定常數(shù) ，并計算 c{ 1 0 }P X X??解 1167854321 ???? cccc 1637?c{ 1 , 0 }{ 1 0 }{ 0 }P X XP X XPX??? ? ??1823 2514cc? ? ??? ?? ?01????XPXP3．某人投籃的命中率為 ，連續(xù)投籃 5次，求至少投中 3次的概率 . ~ ( 5 , 0 . 8 )XB解：設 表示 5次投籃中投中的次數(shù)，則 X{ 3 } { 3 } { 4 } { 5 }P X P X P X P X? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 55514452335 CCC ???9 4 2 0 ?5. 某射手有 5發(fā)子彈，其每次射擊的命中率均為 ，若命中目標就停止射擊，若未命中就繼續(xù)射擊下去，直到子彈用完 . 求他所耗用的子彈的總數(shù)的分布律 . X解：耗用的子彈的總數(shù)為 ? ? ??XP? ? ????XP? ? 2 ????XP? ? 3 ????XP? ? 0 0 0 45 ?????XP6. 某電話交換臺的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為 4的泊松分布，求： （ 1）每分鐘恰有 8次呼喚的概率； （ 2）每分鐘的呼喚次數(shù)超過 10次的概率 . 解：設 表示每分鐘收到的呼喚次數(shù)，則 X ~ ( 4 )XP448944{ 8 } { 8 } { 9 } 0 . 0 2 9 8!!kkkkP X P X P X e ekk??????? ? ? ? ? ? ? ???4114{ 1 0 } 0 . 0 0 2 8 4 0!kkP X ek???? ? ??第四節(jié) 隨機變量的函數(shù)的分布 問題的提出 離散型隨機變量的函數(shù)的分布 連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布 小結 一、問題的提出 在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù) 更感興趣 . 比如，已知圓軸截面直徑 d 的分布， 求截面面積 的分布 . 24dA ??在比如 ，已知 t=t0 時刻噪聲電壓 V 的分布， t0t0求功率 ( R 為電阻 ） 的分布等 . 2W V R? 設隨機變量 X 的分布已知， Y=g (X) (設g 是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的 . 下面進行討論 . 二、離散型隨機變量函數(shù)的分布 例 1 設 求 Y= 2X + 3 的分布律 . X Pk 1 2 5 0 .2 0 .5 0 .3解： 當 X 取值 1， 2， 5 時 ， Y 取對應值 5， 7， 13， 而且 X取某值與 Y取其對應值是兩個同時發(fā)生的事件 ，兩者具有相同的概率 . 故 Y Pk 5 7 13 0 .2 0 .5 0 .3一般地，若 X是離散型隨機變量 ， X 的分布律為 (1)如果 g ( x k) 中有一些是相同的，把它們作適當并項 . Pk X 12 np p p12 nx x xY Pk 12 np p p? ? ? ? ? ?12 ng x g x g x則 (2) 的排列順序必須為升序。 2 1 . 7 6 3 1 . 5 5P X P X P X? ? ? ?解 ? ? ? ? ? ?1 1 . 2 4 1 . 2 4PX ? ? ? ? ?? ?1 1 .2 4? ? ?1 0 . 8 9 2 5 0 . 1 0 7 5? ? ?? ? ? ? ? ?2 1 . 7 6 1 1 . 7 6P X P X? ? ? ?? ?1 1 .7 6? ? ? 1 0 . 9 6 0 8 0 . 0 3 9 2? ? ?? ? ? ? ? ?3 1 . 5 5 1 . 5 5 1 . 5 5P X P X? ? ? ? ?? ? ? ?1 . 5 5 1 . 5 5? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 . 5 5 1 1 . 5 5 2 1 . 5 5 1? ? ? ? ? ? ? ?若 X～ N(0,1), 則 ? ? ? ? ? ? ? ?1 P X b P X b b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 P a X b P a X b P a X bP a X b b a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?31P X a P X a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?4 P X c P c X c? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1c c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ?21c? ? ?練習 設隨機變量 ? ?2~ 1 , 2 ,XN ? 求 = 。2101 ??? ? ? dtet? ?? ??? 0 22210? ?212121 2 2 ??? ? ????? dte t?? ? ? ? ? ? 。 下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布 標準正態(tài)分布 參數(shù) ?＝ 0， ?2＝ 1的正態(tài)分布稱為 標準正態(tài)分布，記作 X~N(0, 1)。 3. 正態(tài)分布 A B A， B間真實距離為 ?，測量值為 X。 解 }{)( tTPtF ??當 t ≤0時， 0)( ?tF當 t 0時， }{)( tTPtF ?? }{1 tTP ???=1 {在 t時刻之前無汽車過橋 } }0{1 ??? tXP te ???? 1于是 ??????? ?000)(39。XX? ? ?則 有 或1 2 .X? ? ?則 有(1)方程有實根的概率為 ? ? ? ?21P X P X? ? ? ?31231166dx dx??????1 2 1 .6 6 2? ? ?? ?1 , 3 360,xfx? ? ? ??? ??? 其 他24 4 2 Xy X? ? ? ?? ?1 , 3 360,xfx? ? ? ??? ??? 其 他(2)因為 X為連續(xù)型隨機變量，所以方程有重根的概率為 ? ? ? ?2 1 0 0 0P X P X? ? ? ? ? ? ?(3)方程無實根的概率為 ? ? 12 1 3 112 6 6 2P X d x?? ? ? ? ? ??2. 指數(shù)分布 ?????? ??0x,00x,e)x(f x＝則稱 X服從參數(shù)為 ?的指數(shù)分布 ,簡記 )x(fx0?????? ?0,00,1)(xxexFx?＝Exponential distribution 定義 若隨機變量 X的概率密度為 其中 為常數(shù)， 0? ?為 ， 其分布函數(shù)為 ? ?~XE ?例 1 隨機變量 X服從參數(shù)為 ，試計算 (1)X取值大于 100的概率； (2)若要求 ，問 x應在什么范圍內？ ? ? 0 .1P X x??解 X的概率密度函數(shù)為 ? ? .0 1 5 , 00 , 0xexfxx?? ?? ???(1) ? ? ? ? ? ?100100 1 100 1P X P X f x dx??? ? ? ? ? ? ?100 0 . 0