【正文】 ??令 Ak 表示所取的 5個數(shù)字中恰有 k 個不大于 4 則 55 46()1 0 1 0kkkPA k???? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ????533 )4(???kkAx mkAA mk ??? ,????533)()4(k kAPxP5535 4610 10kkk k???? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ????)3()4()4( 333 ????? xPxPxP555533554 6 3 71 0 1 0 1 0 1 0k k k kkkkk????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????)4()3( 33 ??? xx由于 ? 、 事件獨立性的應用 加法公式的簡化 ：若 事件 A1， A2， … ， An相互獨立 , 則 在可靠性理論上的應用 如圖， 5表示繼電器觸點 ,假設每個觸點閉合的概率為 p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求 L至 R是通路的概率。 所取的 5個數(shù)字中至少有 3個數(shù)字不大于 4 例 從 1,2, ,10十個數(shù)字中有放回地任取 5個 數(shù)字 , 求取出的 5個數(shù)字中按由小 到大排列 , 中間 的那個數(shù)等于 4 的概率 . ?1,1,4,4,5。 (2) 至少有一顆是 6點的概率 . 解 : 這是一個 4重貝努里試驗 , 擲每一顆骰子就是一個基本試驗 . 每次基本試驗中 6點出現(xiàn)的概率是 1/6,所以 (1) 恰有一顆是 6點的概率為 (2) 至少有一顆是 6點的概率為 1 4 1 1 3441 1 1 5( ) ( 1 ) ( ) ( )116 6 6 6?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?0 4 0 0 4 4441 1 1 5 51 ( ) ( 1 ) 1 ( ) ( ) 1 ( )006 6 6 6 6?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?例 八門炮同時獨立地向一目標各射擊一發(fā) 炮彈 ,若有不少于 2發(fā)炮彈命中目標時 ,目標就被擊 毀 .如果每門炮命中目標的概率為 , 求目標被 擊毀的概率 . 解： 設一門炮擊中目標為事件 A, P(A)= 設目標被擊毀為事件 B, 8 828( ) 0 . 6 0 . 4kkkPB k ??????????1 8081 0 . 6 0 . 4kkk k????????????則 解 : 設取出的 5個數(shù)按由小到大排列為 54321 xxxxx ????令 )4( 3 ?x 表示所求的事件 )3()4()4( 333 ????? xxx:)4( 3 ?x 1,1,2,3,3。 (4) 在相同條件下 ,試驗可以重復進行 . 則稱此試驗為獨立重復試驗或貝努里 (Bernoulli)試驗 。 (2) 每次基本試驗中每個結果出現(xiàn)的概率不變 。 定義 (n個事件的相互獨立性） 設有 n個事 A1,A2,… ,An,若對任何正整數(shù) m(2≤ m≤ n)以及 )()()),1212121mm iiiiiimAPAPAPAAAPniii???（（都有??????則稱這 n個事件相互獨立 . 若上式僅對 m=2成立 ,則稱這 n個事件兩兩獨立 . 注意 : 從直觀上講 ,n個事件相互獨立就是其中任何一個事件出現(xiàn)的概率不受其余一個或幾個事件出現(xiàn)與否的影響 . 有限個事件的獨立性 例 隨機投擲編號為 1 與 2 的兩個骰子事件 A 表示 1號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù) ,B 表示 2號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù) ,C 表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù) . 則 2/1)()()( ??? CPBPAP4/1)()()( ??? CAPBCPABP)()()()()()( APCPCPBPBPAP ???但 0)( ?ABCP)()()(8/1 CPBPAP??本例說明 : 不能由 A, B, C 兩兩獨立 A, B, C 相互獨立 ? Exercise (Birthdays).Let A=“Alice and Betty have the same birthday” B= “Betty and Carol have the same birthday” C= “Carol and Alice have the same birthday” .Each pair of events is independent but the three are not. 相互獨立事件的性質 性質 1: 如果 n個事件 nAAA , 21 ?相互獨立，則 )1( nmm ?? 個事件改為相應的對立事 將其中任何 件，形成新的 n個事件仍然相互獨立 . 性質 2: 如果 n個事件 nAAA , 21 ?相互獨立，則有 ?nini ini iiAPAPAP1 11))(1(1)(1)(? ??? ??????例 三個元件串聯(lián)的電路中 ,每個元件發(fā)生斷電的概率依次為 ,且各元件是否斷電相互獨立 ,求電路斷電的概率是多少 ? 解 設 A1,A2,A3分別表示第 1,2,3個元件斷電 , A表示電路斷電 , 則 A1,A2,A3相互獨立 ,A= A1+A2+A3, P(A)=P(A1+A2+A3)= )AAA(P1321 ???)A(P)A(P)A(P1 321??== 例 已知事件 A, B, C 相互獨立 ,證明 :事件 A 與 CB ? 也相互獨立 . 證 : ? ?? ?)()()( CBAPCBPCBAP ?????? ?? ?)()()()()()(ABCPACPABPBCPCPBP??????? ?)()()()( BCPCPBPAP ???)()( CBPAP ??事件 例 設每個人的血清中含肝炎病毒的概率為%, 求來自不同地區(qū)的 100個人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率 . 解 :設這 100 個人的血清混合液中含有肝炎病毒為 事件 A, 第 i 個人的血清中含有肝炎病毒為事件 Ai (i =1,2,… ,100 ). 則 ?1001??iiAA? ?)(11)( 1 0 01iiAPAP ?????)(1 100 ????若 Bn表示 n 個人的血清混合液中含有肝炎病毒，則 ?,2,110,)1(1)(????????nBP nn1)(l i m ??? nn BP注意 :不能忽視小概率事件 ,小概率事件遲早要發(fā)生． 一個元件 (或系統(tǒng) )能正常工作的概率稱為元件 (或系統(tǒng) )的可靠性 . 系統(tǒng)由元件組成 ,常見的元件連接方式： 串聯(lián) 并聯(lián) 1 2 2 1 系統(tǒng)的可靠性問題 設兩系統(tǒng)都是由 4 個元件組成 ,每個元件正常工作 的概率為 p , 每個元件是否正常工作相互獨立 .兩 系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性 . A1 A2 B2 B1 S1: )()()()( 212121211 BBAAPBBPAAPSP ???)2(2 2242 pppp ????A1 A2 B2 B1 S2: ????212 )()(iii BAPSP)()( 12 SPSP ?22 )2( pp ?? )2( 22 pp ??? ?222 pp ??例 某射手在相同條件下獨立地進行 5次射擊 ,每次擊中目標的概率是 ,求：概率最大的擊中目標次數(shù) . 解： 擊中目標次數(shù)可能取值為 0,1,2,3,4,5,設Bi(i=0,1,… ,5)表示擊中目標 i次 ,事件 Ai表示第 i次射中 ,(i=1,2,...,5), 則 Ai (i=1,2,...,5)相互獨立 , P(B0)= )AAAAA(P 54321=()5 = P(B1)= )(5432154321543215432154321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAP????=5 ()4 5005 )( ????4115 )( ????例 某射手在相同條件下獨立地進行 5次射擊 ,每次擊中目標的概率是 ,求：概率最大的擊中目標次數(shù) . 即 i5ii5i 0 . 6 )(1 0 . 6 C)P( B ?????(i=0,1,2,3,4,5) 類推得 P(B3) 2335 )( ????P(B4) 1445 )( ????P(B5) 0555 )( ????P(B2) 3225 )( ????解： 擊中目標次數(shù)可能取值為 0,1,2,3,4,5,設 Bi(i=0,1,… ,5)表示擊中目標 i次 ,事件 Ai表示第 i次射中 ,(i=1,2,...,5), 則 Ai (i=1,2,...,5)相互獨立 , 易計算：概率最大的擊中目標次數(shù)為 3. 一般地：設射擊次數(shù)為 n，每次射擊擊中目標 的概率為 p，則： 當（ n+1） p為整數(shù)時，概率 最大的擊中目標次數(shù)為 (n+1)p和 (n+1)p1。 A AB B 注意 : 判斷事件的獨立性一般有兩種方法 : ① 由定義判斷 ,是否滿足公式 。 問發(fā)端發(fā)的是 0的概率是多少 ? ) B A ( P ＝ ) A ( P ) A B ( P ) A ( P ) A B ( P ) A ( P ) A B ( P ? ＝ ＝ 解 ：設 A發(fā)射端發(fā)射 0， B 接收端接收到一個 “ 1”的信號 ． ????0 () 0 1 不清 () () () 1 () 1 0 不清 () () () 條件概率 小 結 縮減樣本空間 定義式 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 練習 1 的概率品，它是乙車間生產(chǎn)從中任取一件恰好是次全廠產(chǎn)品的次品率，求，別為各車間產(chǎn)品的次品率分，全廠的每個車間的產(chǎn)量分別占車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，某廠由甲，乙，丙三個)2()1(%2%4%5%40%35%25課堂練習 練習２ 的概率”信號“”時，發(fā)報臺確實發(fā)出收到信號“”，求當收報臺”和“收到信號“和收報臺分別以概率”時又若發(fā)出信號為“”，”和“收到信號“和臺分別以概率收報”時當發(fā)出信號“由于通信受到干擾”，”和“發(fā)出信號“和發(fā)報臺分別以***,*,*,*????練習３ 袋中有十只球 ,其中九白一紅 ,十人 依次從袋中各取一球 (不放回 )，問第一個人 取得紅球的概率是多少？第二、第三、 … 、 最后一個人取得紅球的概率各是多少？ 練習 4 盒中裝有 5個產(chǎn)品 ,其中 3個一等品 ,2個二等品 , 從中不放回地取產(chǎn)品 ,每次 1個 ,求 : （ 1）取兩次，兩次都取得一等品的概率 （ 2）取兩次，第二次取得一等品的概率 （ 3）取三次，第三次才取得一等品的概率 （ 4）取兩次，已知第二次取得一等品，求 : 第一次取得的是二等品的概率 解答 : （ 1） )(21 AAP次取到一等品表示第設 iA i)()( 121 AAPAP? 4253 ?? 103?)()()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP ?101334152 ????提問： 第三次才取得一等品的概率 , 是 ?)()( 321213 AAAPAAAP 還是（ 2）直接解更簡單 5/3)(2 ?AP（ 3） )( 2AP )( 2121 AAAAP ?? )()( 2121 AAPAAP ??)()( 121 AAPAP? )()( 121 AAPAP?42534352 ????53?（ 2） (4) )(21 AAP53103 ???)()(221APAAP?)()()(2212APAAPAP ??課件制作：應用數(shù)學系 概率統(tǒng)計課程組 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 事件的獨立性與相關性 兩個事件的獨立性與相關性 有限個事件的獨立性 相互獨立事件的性質 Bernoulli概型 引例 箱中裝有 10件