[理學(xué)]10第四章復(fù)變ppt(參考版)
2025-02-21 19:33本頁面
【正文】 例 1 求積分 1 O 4 3 函數(shù) [解 ] 處處解析，且 在圓環(huán)域 內(nèi) 在此圓環(huán)域內(nèi) . 95 故 ，從而 因此， 其中 c1 是 f(z) 在 圓環(huán)域 內(nèi) 洛朗展開 式中 z 的負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù) . 96 函數(shù) 內(nèi)解析， 例 2 求積分 [解 ] 在 在此圓環(huán)域 內(nèi)， 把它在圓環(huán)域內(nèi)展開得 故 c?1??2, 所以，原式＝ 97 例 3 求積分 [解 ] 。 [解 ] 在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)： 與 泰勒展式與洛朗展式的關(guān)系 92 的展開式有三個(gè)： O ?i i 因此 , f (z)在以 i 為中心的圓環(huán)域 (包括圓域 )內(nèi) 1) 在 中的泰勒展開式； 2) 在 中的洛朗展開式； 中的洛朗展開式； 3) 在 f (z)在以 i 為中心的圓環(huán)域內(nèi)展開式有兩個(gè)： 1) 在 中的洛朗展開式； 2) 在 中的洛朗展開式。 [解 ] (3) 在 3| z | +?內(nèi)展開，得 91 注意到 泰勒展式可以看作是洛朗展式的一種 特例，因此，一個(gè)函數(shù) f (z) 可以在奇點(diǎn)展開 為洛朗級(jí)數(shù)，也可以在解析點(diǎn)展開。 [解 ] (1) 在 | z | 1內(nèi)展開，得 89 在以 z = 0 為中心、由 例 求函數(shù) 它的奇點(diǎn)互相隔開的不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式。 iv) 1|z2|+?； 83 [解 ] 先把 f (z)用部分分式表示： i) 在 0|z1|1 內(nèi)，由于 |z1|1，所以 84 ii) 在 1|z1|+?內(nèi)，由于 ，則 ，有 [解 ] 先把 f (z)用部分分式表示： 85 iii) 在 0|z2|1內(nèi)，由于 ，則 [解 ] 先把 f (z)用部分分式表示： 86 iv) 在 1|z2|+?內(nèi)，由于 ，則 ，有 [解 ] 先把 f (z)用部分分式表示： 87 例 2 把 [解 ] 因原函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處解析，又 內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)。 注 同泰勒展式一樣的，洛朗展式是唯一的 . 77 由于計(jì)算系數(shù)很麻煩，一般不采用 . 洛朗展式的計(jì)算 直接展開法 間接展開法 78 x y O 1 x y O 1 2 x y O 2 在圓環(huán)域： 例 函數(shù) iii) 2|z|+?； i) 0|z|1； ii) 1|z|2； 內(nèi)處處解析 , 試把 f (z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛 朗級(jí)數(shù)。 ( f (z)在以 z0 為中心的圓環(huán)域： 內(nèi)的 洛朗 (Laurent)展開式 , 它右端的級(jí)數(shù)稱為 f (z) 在此圓環(huán)域內(nèi)的 洛朗級(jí)數(shù) 。 因此， f (z) 在 內(nèi)也可以展開為級(jí)數(shù) 72 在圓環(huán)域 內(nèi)處處解析的函數(shù) f (z), 是否能展開成形如 ()的級(jí)數(shù)（含負(fù)冪項(xiàng)）？？ 定理 設(shè) f (z)在圓環(huán)域 這里 C 為在圓環(huán)域內(nèi)繞 z0 的任何一條閉曲線。 69 在圓環(huán)域 , 原級(jí)數(shù)才收斂。 67 注 f (z)在 解析等價(jià)于 f (z)在 的鄰域內(nèi)可以 展開成冪級(jí)數(shù) 定理 (泰勒展開定理 ) 為 D 內(nèi)的一點(diǎn) , 設(shè) d = d {z0, D邊界 }, 則當(dāng) |zz0| d 時(shí) , 設(shè) f (z) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析 , z0 z0 R1 R2 167。 例 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)
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