【正文】 二 36 (B) 7, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 18, 20, 21 。 二 12 (B) 1, 2, 3, 6(2,4,8), 9, (B) 留作業(yè) 每周四交作業(yè) (C) 課下提高題：有時間盡量做 三 . (A)一 8。 即存在正交矩陣 Q和對角陣 ?, 使得 100Q A Q????????? ? ? ???????21nTiit r t r Aa????? ? ????例 3. 設(shè) ??0, ??Rn, 求 A=??T的特征值和特征向量 . ? ? 1r ??1Q A Q? ??再求 |E ? A3|. 即存在正交陣 Q和對角陣 ?, 使得 1 00TQ A Q???????? ? ???????? ?? ?31 3 3111TQ E A Q E????????? ? ? ? ? ??????? ? 333 1 TE A E ??? ? ? ? ? ? ?例 3. 設(shè) ??0, ??Rn, 求 A=??T的特征值和特征向量 . ? ? TT T TAA? ? ? ?? ? ?所以實對稱矩陣可以正交相似對角化 , 解： ?是 A的特征值 ??f, f(?)是f(A)的特征值 A?? ??f, f(A)?f(?) 167。,21 0 1??? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?(4E–A)x =0的基礎(chǔ)解系 ?2=(1, 1, 0)T, ?3=(2, 0, 1)T. A的特征值為 ?1= –2, ?2= ?3= 4. (–2E–A)x =0的基礎(chǔ)解系 ?1= (1, –1, –2)T. 1 1 2 1 1 24 1 1 2 0 0 02 2 4 0 0 0EA? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?解 (4E–A)x = ? , 一個非零解為 ?2=(0, 1, –1/2)T , 設(shè)另一解為 ?3??2 , 3112 00 1 1 / 2 ??????????????3=(5, 1, 2)T , 再 單位化 , 516 301 2 16 5 302 1 26 5 300.Q????????????2 0 00 4 0 .0 0 4??????? ????1 .Q A Q? ??Q不唯一 正交特征向量組的幾何含義 : 1 2 1 3 2 3,? ? ? ? ? ?? ? ??1垂直于 ?2,?3所在平面 , ?2,?3為平面上任意兩個垂直的向量 . ? 例 16. 設(shè) 3階實對稱陣 A的特征多項式 (?–1)2(?–10), ?3 = (1, 2, ?2)T是對應(yīng)于 ?=10的特征向量 . 求 A. 解 : 對應(yīng)于 ?=1兩個線性無關(guān)的 特征向量 ?1,?2 將正交向量組 ?1, ?2, ?3單位化得正交矩陣 都與 ?3正交 , 解 x1+2x2?2x3=0 因為 ?2 ??3,?1, Q = 2 / 3 2 / 3 1 / 31 / 3 2 / 3 2 / 32 / 3 1 / 3 2 / 3??????? ???, 設(shè) ? = 1 0 00 1 00 0 10????????, 由 QTAQ=Q?1AQ=?可得 A = Q?QT 2 2 22 5 42 4 5???????????. = 167。,21 0 1??? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?(4E–A)x =0的基礎(chǔ)解系 ?2=(1, 1, 0)T, ?3=(2, 0, 1)T. A的特征值為 ?1= –2, ?2= ?3= 4. (–2E–A)x =0的基礎(chǔ)解系 ?1= (1, –1, –2)T. 1 1 2 1 1 24 1 1 2 0 0 02 2 4 0 0 0EA? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?解 (4E–A)x = ? , 一個非零解為 ?2=(0, 1, –1/2)T , 設(shè)另一解為 ?3??2 , 3112 00 1 1 / 2 ??????????????3=(5, 1, 2)T , 再 單位化 , 516 301 2 16 5 302 1 26 5 300.Q????????????2 0 00 4 0 .0 0 4??????? ????1 .Q A Q? ??Q不唯一 ? 例 15. 把 正交相似對角化 . 3 1 21 3 22 2 0A????? ????解 : |?E–A| = (?+2)(?–4)2. 167。T? ??， ，再 單位化 , 即得 ? ?1 1 16 2 31 1 11 2 3 6 2 32163, , .0Q q q q????? ? ? ??????2 0 00 4 0 .0 0 4?????? ? ? ???? 1T .Q A Q Q A Q?? ? ? ?例 15. 把 正交相似對角化 . 3 1 21 3 22 2 0A????? ????例 15. 把 正交相似對角化 . 3 1 21 3 22 2 0A????? ????解 : |?E–A| = (?+2)(?–4)2. 167。,21 0 1??? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?(4E–A)x =0的基礎(chǔ)解系 ?2=(1, 1, 0)T, ?3=(2, 0, 1)T. A的特征值為 ?1= –2, ?2= ?3= 4. (–2E–A)x =0的基礎(chǔ)解系 ?1= (1, –1, –2)T. 1 1 2 1 1 24 1 1 2 0 0 02 2 4 0 0 0EA? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?解 (4E–A)x = ? , 解 : 所以 A的特征值為 ?1= –2, ?2= ?3= 4. (–2E–A)x =0的基礎(chǔ)解系 ?1= (1, –1, –2)T. (4E–A)x =0的基礎(chǔ)解系 ?2=(1, 1, 0)T, ?3=(2, 0, 1)T. 167。 實對稱矩陣的相似對角化 第四章 矩陣的特征值和特征向量 例 15. 把 正交相似對角化 . 3 1 21 3 22 2 0A????? ????解 : |?E–A| = (?+2)(?–4)2. 167。 實對稱矩陣的相似對角化 第四章 矩陣的特征值和特征向量 T T T T T T( ) ( ) .x Ax x A x Ax x x x x x??? ? ? ?從而 另一方面 , .)()( TTTT xxxxAxxAxx ?? ???兩式相減得 則存在 非零復(fù) 向量 x≠? , 滿足 Ax = ?x, T( ) 0 .xx????又因為 x≠?, 故 .0||1 12T ??? ? ?? ?niniiii xxxxx因此 ,0?? ?? 可見 ?為實數(shù) . 設(shè)復(fù)數(shù) ?為實對稱陣 A的特征值 , 證明 : 定理 . 設(shè) ?1, ?2是實對稱矩陣 A的兩個不同 的特征值 , p1, p2是對應(yīng)與它們的 特 征向量 , 則 p1與 p2正交 . 定理 . 實對稱矩陣 對應(yīng)于 不同 特征值 的 特 征向量彼此 正交 . 證明 : 設(shè) ?1??2, ?p1, p2 ?0, =?1 p1, Ap2=?2 p2 167。 T)( A (4) AB = A B。 (2) A?B = A?B 。 實對稱矩陣的相似對角化 167。 方陣可相似對角化的條件 (1學(xué)時 ) 167。 方陣的特征值和特征向量 (1學(xué)時 ) 167。 方陣可相似對角化的條件 求 |?E–A| = 0的根 有重根嗎 ? 無 A可以相似對角化 有 r(?iE?A) = n?ni? 否 A不能相似對角化 是 求 n個線性無關(guān)的 特征向量 ?1, …, ?n, 令 P = (?1, …, ?n) P –1AP=diag(?1,…, ?n) 167。 方陣可相似對角化的條件 第四章 矩陣的特征值和特征向量 解 : 例 13續(xù) ,求可逆陣 P和對角陣 ?, 使得 P–1AP = ?. 并求出 Ak . 2 1 1 0 2 04 1 3A?????? ?????1 0 10 1 0 ,4 1 1P??????????2 0 00 2 00 0 1???????????使得 P–1AP = ?. ? Ak =(P?P–1)k =P?kP–1 P–1AP =? ? A =P?P–1 ? ?? ?1 1 13 3 34 1 123 3 32 0 10 2 0 0 1 02 2 1