【正文】 特征值與特征向量理論的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學領(lǐng)域，而且在力學、物理、科技方面都有十分廣泛的應(yīng)用，值得我們深入探究 . 南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文 22 參考文獻 [1]邱啟榮 .線性代數(shù) [M].中國科學院文獻情報中心， 2020 [2]黃有度 .矩陣理論與應(yīng)用 [M].中國科學大學出版社， 2020 [3]羅家洪 .矩陣分析引論 [M].華南理工大學， 2020 [4]史榮昌 .矩陣分析 [M].北京理工大學出版社， 1996 [5]戴華 .矩陣特征值反問題的若干進展 [M].南京航空大學出版社， 1995 [6]朱鳳娟 .特征值和特征向量逆問題的研究 [M]. 濱州學院出版社， 2020 [7]陳龍玄 .四元數(shù)矩陣的特征值和特征向量 [M].煙臺大學出版社， 1993 [8]邵逸民 .矩陣的公共特征值和特征向量研究 [M].太元師范學 院出版社， 2020 南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文 23 致 謝 本論文是在我的指導(dǎo)老師黃玉才老師的悉心指導(dǎo)下完成的 .黃老師嚴肅的科學態(tài)度 ,嚴謹?shù)闹螌W精神 ,精益求精的工作作風 ,深深地感染和激勵著我 .從一開始論文題目的選擇到寫作的最終完成 ,黃老師都始終給予我細心的指導(dǎo)和不懈的支持 .黃老師在論文學業(yè)上給我以精心指導(dǎo) ,在此謹向黃老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意 .此外 ,我還要感謝我的同學們 ,由于你們的幫助和支持 ,我才能克服一個個的困難和疑惑 ,直到本文順利完成 .在論文即將完成之際 ,我的心情無法平靜 ,從開始進 入課題到論文的順利完成 ,這都與黃老師精心的指導(dǎo)分不開 . 最后 ,我還要感謝幫助我的老師和同學 ,正是由于你們的幫助和支持 ,我才能克服一個又一個的困難和疑惑 ,直至本文的順利完成 ,衷心的謝謝你們！ 。它的特征方程是 02 22 ??? kn?? ，特征根是 222,1 knn ????? 現(xiàn)在分三種情況討論 (1) 022 ??kn ，這時對應(yīng)于介質(zhì)阻尼相對不太大的情形。 如果令 nmkmc 2,2 ?? ? ，則方程（ ）就變?yōu)? 02 222 ??? xkdtdxndt xd 的形式。上述方程也稱為常系數(shù)齊次方程組 ()的特征方程式，它的根稱為矩陣 A 的特征根 . 我們已經(jīng)知道，求解方程組 AYdxdY? 歸結(jié)為求矩陣 A 的特征根和對應(yīng)的特征向量 . 下面來看矩陣 A 的特征根均為單根的情況 設(shè)特征根為 n??? , 21 ? ，這時 ????????????????nATT???00211? 方程組（ ）變?yōu)? 南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文 17 ???????????????????????????????????????????????nnn zzzdxdzdxdzdxdz???21212100??? （ ） 易見方程組（ ）有 n 個解 ? ? ? ? ? ????????????????????????????????????????????????????1000,0010,00012121 ????xZexZexZ nxx ?? 把這個解代回變換（ ）之中，便得到方程組（ ）的個解 ? ? ),2,1(,21niTetttexY ixnxiii ?? ????????????????? ?? 這里 iT 是矩陣 T 第 i 列向量，它恰好是矩陣 A 關(guān)于特征根 ? 的特征向量，并且由線性方程組 ? ? 0?? ii TEA ? 所確定 . 例 試求方程組 ???????????????????zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx353 的通解 . 解 它的系數(shù)矩陣是 ???????????????311151113A 的特征方程是 南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文 18 ? ? 0311151113d e t ???????????????????????? EA 即 0363611 23 ???? ??? 所以矩陣 A 的特征根為 6,3,2 321 ??? ??? 。 一般地，不能指望通過有限次旋 轉(zhuǎn)變換把原矩陣 A 化為對角陣，因為 1?kA 中的零元素（在前面變換中得到的）可能在 kA 中成為非零元素，盡管如此，仍可以證明： ? ?ikA ?diag? 當 ??k 時 其中 1? 是矩陣 A的特征值，但沒有一定的大小排列順序 . 例 用雅可比方法求矩陣 ??????????????210121012A 的特征值與特征向量 . 解 ： 首先取 2,1 ?? ji ,由于 22211 ??aa ,故取 4??? ,所以 ???????????????? ???1000212102121121 PP ??????????????????????2212121302101111 APPAT 再取 3,1 ?? ji 由 221 )21(22t an ?????? 得 88 os,45 in ?? ?? 所以 ?????????? ??0102P 南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文 11 ?????????????????222 APPA T 繼續(xù)做下去 ,直到非對角線元素趨于零 ,進行九次變換后 ,得 ???????????4 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 7 5 9A 9A 的對角線元素就是 A的特征值，即 4 1 4 2 ,0 0 0 0 ,5 8 7 5 321 ??? ??? 相應(yīng)的特征向量為 ?????????????????????????????????? ??,321 ??? 相應(yīng)的特征值的精確值 22,2,22 321 ????? ??? 相應(yīng)的特征向量為 ???????????????????????????????? ???????????????????212121,21021,212121321 ??? 由此可見，雅可比方法變換九次的結(jié)果已經(jīng)相當精確了 . QR 法求特征值與特征向量 QR 算法也是一種迭代算法 ,是目前計算任意實的非奇異矩陣全部特征值問題的最有效的方法之一 .該方法的基礎(chǔ)是構(gòu)造矩陣序列 ? ?KA ,并對它進行 QR 分解 . 由線性代數(shù)知識知道 ,若 A 為非奇 異方陣 ,則 A 可以分解為正交矩陣 Q 與上三角形矩陣 R 的乘積 ,即 QRA? ,而且當 R 的對角線元素符號取定時 ,分解式是唯一的 . 若 A 為奇異方陣 ,則零為 A 的特征值 .任取一數(shù) p 不是 A 的特征值 ,則 pIA? 為非奇南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文 12 異方陣 .只要求出 pIA? 的特征值 ,就很容易求出 A 的特征值 ,所以假設(shè) A 為非奇異方陣 ,并不妨礙討論的一般性 . 設(shè) A 為非奇異方陣 ,令 AA?1 ,對 1A 進行 QR 分解 ,即把 1A 分解為正交矩陣 1Q 與上三角形矩陣 1R 的乘積 111 RQA? 做矩陣 111112 QARA T?? 繼續(xù)對 2A 進行 QR 分解