【正文】 t appealed against the disciplinary action your employer has taken against you. However, if you win your case, the tribunal may reduce any pensat。3, bb? , for any nonzero real number . Some numeric methods that pute the eigenvalues of a matrix also determine a set of corresponding eigenvectors as a byproduct of the putation. ag an employment tribunal clai Emloyment tribunals sort out disagreements between employers and employees. You may need to make a claim to an employment tribunal if: you don39。s polynomial).[10] Efficient, accurate methods to pute eigenvalues and eigenvectors of arbitrary matrices were not known until the advent of the QR algorithm in 1961. [10] Combining the Householder transformation with the LU deposition results in an algorithm with better convergence than the QR algorithm.[11] For large Hermitian sparse matrices, theLanczos algorithm is one example of an efficient iterative method to pute eigenvalues and eigenvectors, among several other possibilities.[10] [edit] Computing the eigenvectors Once the (exact) value of an eigenvalue is known, the corresponding eigenvectors can be found by finding nonzero solutions of the eigenvalue equation, that bees a system of linear equations with known coefficients. For example, once it is known that 6 is an eigenvalue of the matrix ??????? 36 14A we can find its eigenvectors by solving the equation V6AV? ， that is ??????????????????? yxyx 636 14 This matrix equation is equivalent to two linear equations??? ?? ?? 6y3y6x 6xyx4that is??? ??? ?? 036 02 yx yx Both equations reduce to the single linear equation xy 2? . Therefore, any vector of the form ? ?39。 里昂，線性代數(shù)（第一版）【 M】 .北京：機(jī)械工業(yè)出版社， 2022. The eigenvalues of a matrix can be determined by finding the roots of the characteristic polynomial. Explicit algebraic formulas for the roots of a polynomial exist only if the degree is 4 or less. According to the Abel–Ruffini theorem there is no general, explicit and exact algebraic formula for the roots of a polynomial with degree 5 or more. It turns out that any polynomial with degree is the characteristic polynomial of some panion matrix of order . Therefore, for matrices of order 5 or more, the eigenvalues and eigenvectors cannot be obtained by an explicit algebraic formula, and must therefore be puted by approximate numerical methods. In theory, the coefficients of the characteristic polynomial can be puted exactly, since they 28 are sums of products of matrix elements。類似的計(jì)算表明，對(duì)應(yīng)的特征向量是非零的解決方案，那就是，任何載體的形式，任何非零實(shí)數(shù) b。例如，一旦它是已知的，圖 6是矩陣的特征值 我們可以找到它的特征向量，通過求解方程，也就是 ??????????????????? yxyx 636 14 該矩陣方程相當(dāng)于兩個(gè)線性方程組的??? ?? ?? 6y3y6x 6xyx4也就是??? ??? ?? 036 02 yx yx 兩個(gè)方程減少到單一的線性方程 xy 2? .因此，任何載體的形式，任何非零實(shí)數(shù)，是一個(gè)特征值與特征向量相匹配。是一個(gè)有效的迭代的方法，以計(jì)算特征值和特征向量獲得的一個(gè)例子，在一些其他的可能性。結(jié)合了Householder 變換。 在實(shí)踐中可行，因?yàn)橄禂?shù)將被污染的不可避免的舍入誤差，多項(xiàng)式的根可以是一個(gè)極為敏感的功能（例如由威爾金森的多項(xiàng)式系數(shù)） 直到 QR 算法在 1961年的來臨，高效，精確的方法來計(jì)算任意矩陣的特征值和特征向量。因此， 5個(gè)或更多的順序的矩陣的特征值和特征向量不能獲得通過明確的代數(shù)公式，因此，必須計(jì)算的近似數(shù)值方法 在理論上，可以精確計(jì)算的特征多項(xiàng)式的系數(shù)，因?yàn)樗鼈兪蔷仃囋氐目偤?，?算法，可以找到任何所需的精度。根據(jù)阿貝爾 魯菲尼定理 5個(gè)或 5個(gè)以上的多項(xiàng)式的根源是沒有一般情況下，明確和準(zhǔn)確的代數(shù)公式。在例題解析中運(yùn)用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，可以使問題更簡(jiǎn)單，運(yùn)算上更方便，是簡(jiǎn)化有關(guān)復(fù)雜問題的一種有效途徑 .本文就是通過大量的例子加以說明運(yùn)用特征值與特征向量的性質(zhì)可以使問題更加清楚，從而使高等代數(shù)中的大量習(xí)題迎刃而解，把特征值與特征 向量在解決實(shí)際問題中的優(yōu)越性表現(xiàn)出來 . 河北師范大學(xué)匯華學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）翻譯文章 27 矩陣的特征值可以確定所發(fā)現(xiàn)的特征多項(xiàng)式的根。陳建兵在《矩陣迭代法求矩陣特征值與特征向量初始向量選取的討論》中討論了初始向的選取問題 .特征值理論是線性代數(shù)中的一個(gè)重要的內(nèi)容，在方陣階數(shù)很高時(shí)計(jì)算起來 相當(dāng)?shù)姆爆崳w娜、呂劍峰在《特征值問題的 MATLAB實(shí)踐》中，從實(shí)際案例出發(fā)，利用 MATLAB軟件求解特征值問題的全過程 .汪慶麗在《用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量》中，研究了一種只要對(duì)矩陣作適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證了它方法的合理性，并闡述該方法的具體求解步驟 .岳嶸在《由特征值特征向量去頂矩陣的方法證明及應(yīng)用》中，研究了已知 n 階對(duì)稱矩陣 A 的 k個(gè)互不相等的特征值及 k1個(gè)特征向量計(jì)算出矩陣 A的計(jì)算方法 .張紅玉在《矩陣特征值的理論及應(yīng)用》中，討論了通過 n階方陣 A的特征值 得出一系列相關(guān)矩陣的特征值 ,再由特征值與正定矩陣的關(guān)系得出了正定矩陣的結(jié)論 .劉學(xué)鵬、楊軍在《矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用》一文中，很好的討論了矩陣的特征值和特征向量的一些特殊情況，以及在矩陣對(duì)角化方面的相關(guān)計(jì)算應(yīng)用 .馮俊艷、馬麗在《討論矩陣的特征值與行列式的關(guān)系》中，探究了利用矩陣的特征值解決行列式的問題 . 河北師范大學(xué)匯華學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 文獻(xiàn)綜述 26 在國內(nèi)外有很多關(guān)于特征值與特征向量的研究成果，并且有很多專家學(xué)者涉足此領(lǐng)域研究該問題 .吳江、孟世才、許耿在《淺談 線性代數(shù) 中“特征值與特征向量” 的引入》中從線性空間 V中線性變換在不同基下的矩陣具有相似關(guān)系出發(fā)，引入矩陣的特征值與特征向量的定義；郭華、劉小明在《特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用》中從方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合具體的例子闡述了特征值與特征向量在簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算中所起的作用；矩陣的特征值與特征向量在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中有重要作用，矩陣迭代法是求矩陣的第一階特征值與特征向量的一種數(shù)值方法 ,但是選取不同的初始向量使結(jié)果可能收斂于不同階的特征值與特征向量，而不一定收斂與第一階 ,陳建兵在《矩陣迭代法求矩陣特征值與特征向量初始向量選取的討論》中 討論了初始向量的選取問題 .特征值理論是線性代數(shù)中的一個(gè)重要的內(nèi)容；當(dāng)方陣階數(shù)很高時(shí)實(shí)際計(jì)算比較繁瑣，趙娜、呂劍峰在《特征值問題的 MATLAB實(shí)踐》中從實(shí)際案例入手，利用 MATLAB軟件討論了求解特征值問題的全過程 .汪慶麗在《用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量》中研究了一種只對(duì)矩陣作適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證其方法的合理性，并闡述此方法的具體求解步驟；岳嶸在《由特征值特征向量去頂矩陣的方法證明及應(yīng)用》中探究了已知 n階對(duì)稱矩陣 A的 k個(gè)互不相等的特征值及 k1個(gè)特征向量計(jì)算出 矩陣 A的計(jì)算方法；張紅玉在《矩陣特征值的理論及應(yīng)用》中討論了通過 n階方陣 A 的特征值得出一系列相關(guān)矩陣的特征值 ,再由特征值與正定矩陣的關(guān)系得出正定矩陣的結(jié)論；劉學(xué)鵬、楊軍在《矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用》一文中討論了矩陣的特征值和特征向量的一些特殊情況，以及在矩陣對(duì)角化方面的應(yīng)用；馮俊艷、馬麗在《討論矩陣的特征值與行列式的關(guān)系》中討論了利用矩陣的特征值解決行列式的問題等等。來證明特征值與特征向量在生活中幾方面的應(yīng)用。其次，了解他的相關(guān)性質(zhì)，并應(yīng)用到解題和相關(guān)的生活中。在生活中的幾個(gè)方面的應(yīng)用。 論文（設(shè)計(jì)）的主要內(nèi)容 特征值和特征向量的相關(guān)概念，性質(zhì)。主要是歸納研究出特征向量和特征值在不同類形的矩陣中，怎樣幫助解決相關(guān)試題?？傮w的思路很明確，有最基礎(chǔ)的知識(shí)，到相關(guān)書本上的應(yīng)用，最后來闡述在生活中現(xiàn)有的實(shí)例，來證明特征值與特征向量的重要性。第三部分，是舉出特征值與特征向量在生活的具體事例，來展示他的應(yīng)用性。而且特征值與特征向量是高等代數(shù)中一個(gè)重要的部分，并在理論和學(xué)習(xí)及實(shí)際生活，特別是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)方面都有很重要的作用 .本文主要討論并歸納了特征值與特征向量的性質(zhì)，通過實(shí)例展現(xiàn)特征值與特征向量的優(yōu)越性與便捷性，探討特征值與特征向量及其應(yīng)用有著非常重要的價(jià)值 . 正文共劃分為三個(gè)大部分，第一部分，是對(duì)特征值與特征向量概念、性質(zhì)的充分總結(jié)。 取 設(shè)在時(shí)刻 tk該動(dòng)物種群的第 i個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目為 ,443243 ?????????????????????ttttyx,243 ??? ttx 443 ??? tty2?],1[ LniLni? ,2,1 ni ??.nL],1[ LniLni????????????????)0()0(2)0(1)0(nxxxX ?)0(X,Lnktk ? ,2,1 ??k,)(kix ni ,2,1 ?? 12 令 則 X(k)即為時(shí)刻 tk該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量 .顯然，隨著時(shí)間的變化，該動(dòng)物種群的各年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目會(huì)發(fā)生變化 . 易知，時(shí)刻 tk 該動(dòng)物種群的第一個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目等于在時(shí)段 [tk1,tk]內(nèi)各年齡組中雌性動(dòng)物生育的雌性幼體的數(shù)目之和，即 （ ） 又 tk時(shí)刻該動(dòng) 物種群的第 i+1個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目等于 tk1 時(shí)刻第 i個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的存活量，即 （ ） 聯(lián)立（ ）和（ ）得 （ ） 即 （ ）