畢業(yè)論文--平面自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析(參考版)
2025-01-19 21:22本頁(yè)面
【正文】 stability 1 引言 20 世紀(jì)以來 ,隨著大量的邊緣科學(xué)諸如電磁流體力學(xué)、化學(xué)流體力學(xué)、動(dòng)力氣象學(xué)、海洋動(dòng)力學(xué)、地下水動(dòng)力學(xué)等等的產(chǎn)生和發(fā)展 ,在自然科學(xué)（如物理、 化學(xué)、生物、天文）和社會(huì) 科學(xué)（如工程、經(jīng)濟(jì)、軍事）中的大量問題都可以用微分方程來描述 ,尤其當(dāng)我們描述實(shí)際對(duì)象的某些特性隨時(shí)間（空間）而演變的過程 ,分析它的變化規(guī)律 ,預(yù)測(cè)它的未來形態(tài)時(shí) ,要建立對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型 ,通常要用到微分方程模型 ,而穩(wěn)定性模型的對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過程 ,而建模的目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過程的變化趨勢(shì)、平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定 .因此 ,用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 ,對(duì)穩(wěn)定性模型的研究起著很重要的作用 .微分方程的穩(wěn)定性理論將平衡點(diǎn)（奇點(diǎn) ） 分為結(jié)點(diǎn)（臨界結(jié)點(diǎn)或星形結(jié)點(diǎn)、兩向結(jié)點(diǎn)或正常結(jié)點(diǎn)、單向結(jié)點(diǎn)）、鞍點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心等類型 .奇 點(diǎn)是平面自治系統(tǒng)的一類特殊的軌線，一般來說 ,奇點(diǎn)及其附近的軌線的性態(tài)是比較復(fù)雜的 ,熟練掌握平面自治系統(tǒng)奇點(diǎn)類型對(duì)于研究系統(tǒng)的相圖有重要的意義 .本文將探討平面自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 ,并結(jié)合 Maple 軟件分析其相圖 . 2 2 預(yù)備知識(shí) 基本概念及基本定理 基本概念 定義 1 右端不顯含自變量 t 的微分方程組 ? ?? ?,dxdtdydtf x yg x y? ????? ??? (1)是二階自治方程 (系統(tǒng) ). 定義 2 代數(shù)方程組 ? ?? ?,0,0f x yg x y??????? 的實(shí)根 00,x x y y??組成的點(diǎn) ? ?0 0 0,P x y 稱為二階自治方程 (1)的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn) . 注 二維常系數(shù)線性自治系統(tǒng)的一般形式為 dx ax bydtdy cx dydt? ?????? ???? (2) 它的系數(shù)矩陣 abAcd???????的特征方程是 ? ? ? ?2 0ab a d a d b ccd? ????? ? ? ? ? ? ? (3) 將特征方程改寫為 2 0pq??? ? ? ，其中 ? ? ,p a d q ad bc? ? ? ? ?. 當(dāng) A 非奇異時(shí) ,系統(tǒng) (2)有惟一奇點(diǎn) ? ?0,0O ,稱為初等奇點(diǎn) .方程 (3)的根即為矩陣 abAcd???????的特征根 . 3 關(guān)于非線 性系統(tǒng)? ?? ?,dx ax by x ydtdy cx dy x ydt??? ? ? ????? ? ? ??? (4) 的奇點(diǎn)與線性系統(tǒng) (2)的奇點(diǎn)有很大關(guān)系 . 基本定理 定理 1 (Perron 第一定理 ) 設(shè)系統(tǒng) (4)中的 ? ? ? ?,x y x y??與 滿足條件： ? ? ? ?0 , 0iO在 奇 點(diǎn) 的 鄰 域 內(nèi) 有 連 續(xù) 的 一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) ； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22, , , ,ii x y O r x y O r r x y??? ? ? ?, 則如果 ? ?0,0O 是對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng) (2)的焦點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)或鞍點(diǎn) ,那么 ? ?0,0O 也是非線性系統(tǒng) (4)的同類型奇點(diǎn) ,且具有相同的穩(wěn)定性 . 定理 2 (Perron 第二定理 ) 如果定理 1 中的條件 ??i 保持不變 ,而將條件? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11, , , 0 , 0ii x y O r x y O r O??? ? ?????加 強(qiáng) 為 ， 其 中 為 任 意 小 的 正 數(shù) ， 當(dāng)? ? ? ?為 對(duì) 應(yīng) 線 性 系 統(tǒng) 2 的 臨 界 或 退 化 結(jié) 點(diǎn) 時(shí) , 它 也 必 是 非 線 性 系 統(tǒng) 4 的 同 類 型 奇 點(diǎn) ，且具有相同的穩(wěn)定性 . 對(duì)于一般的非線性系統(tǒng) (1),可以用近似線性方法判斷其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 ,而對(duì)于任意高階的方程都可以化為一 階方程組來處理 . 系統(tǒng) (1)的線性近似系統(tǒng)為 (2),即 dx ax bydtdy cx dydt? ?????? ???? 假設(shè) 0ad bc??,即奇點(diǎn) ? ?0,0O 為初等奇點(diǎn) (又稱為一次奇點(diǎn) ).先討論線性系統(tǒng) (2)的平衡點(diǎn)的定性性質(zhì) . 由線性方程組理論知系統(tǒng) (2)的通解完全由它的系數(shù)矩陣 A 的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形確定 .設(shè) A的實(shí)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為 J,則存在非奇異實(shí)矩陣 P,使 1P AP J? ? .從而可利用非奇異線性坐標(biāo)變換 ,將系統(tǒng) (2)化為線性系統(tǒng)
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