畢業(yè)論文--平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性分析(參考版)
2025-06-10 09:07本頁面
【正文】 stability 1 引言 20 世紀以來 ,隨著大量的邊緣科學諸如電磁流體力學、化學流體力學、動力氣象學、海洋動力學、地下水動力學等等的產(chǎn)生和發(fā)展 ,在自然科學（如物理、 化學、生物、天文）和社會科學（如工程、經(jīng)濟、 軍事）中的大量問題都可以用微分方程來描述 ,尤其當我們描述實際對象的某些特性隨時間（空間）而演變的過程 ,分析它的變化規(guī)律 ,預測它的未來形態(tài)時 ,要建立對象的動態(tài)模型 ,通常要用到微分方程模型 ,而穩(wěn)定性模型的對象仍是動態(tài)過程 ,而建模的目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢、平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定 .因此 ,用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 ,對穩(wěn)定性模型的研究起著很重要的作用 .微分方程的穩(wěn)定性理論將平衡點（奇點 ） 分為結(jié)點（臨界結(jié)點或星形結(jié)點、兩向結(jié)點或正常結(jié)點、單向結(jié)點）、鞍點、焦點、中心等類型 .奇點是平面自治系統(tǒng)的一 類特殊的軌線，一般來說 ,奇點及其附近的軌線的性態(tài)是比較復雜的 ,熟練掌握平面自治系統(tǒng)奇點類型對于研究系統(tǒng)的相圖有重要的意義 .本文將探討平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性 ,并結(jié)合 Maple 軟件分析其相圖 . 2 2 預備知識 基本概念及基本定理 基本概念 定義 1 右端不顯含自變量 t 的微分方程組 ? ?? ?,dxdtdydtf x yg x y? ????? ??? (1)是二階自治方程 (系統(tǒng) ). 定義 2 代數(shù)方程組 ? ?? ?,0,0f x yg x y??????? 的實根 00,x x y y??組成的點 ? ?0 0 0,P x y 稱為二階自治方程 (1)的平衡點或奇點 . 注 二維常系數(shù)線性自治系統(tǒng)的一般形式為 dx ax bydtdy cx dydt? ?????? ???? (2) 它的系數(shù)矩陣 abAcd???????的特征方程是 ? ? ? ?2 0ab a d a d b ccd? ????? ? ? ? ? ? ? (3) 將特征方程改寫為 2 0pq??? ? ? ，其中 ? ? ,p a d q ad bc? ? ? ? ?. 當 A 非奇異時 ,系統(tǒng) (2)有惟一奇點 ? ?0,0O ,稱為初等奇點 .方程 (3)的根即為矩陣 abAcd???????的特征根 . 3 關(guān)于非線性系統(tǒng)? ?? ?,dx ax by x ydtdy cx dy x ydt??? ? ? ????? ? ? ??? (4) 的奇點與線性系統(tǒng) (2)的奇點有很大關(guān)系 . 基本定理 定理 1 (Perron 第一定理 ) 設系統(tǒng) (4)中的 ? ? ? ?,x y x y??與 滿足條 件： ? ? ? ?0 , 0iO在 奇 點 的 鄰 域 內(nèi) 有 連 續(xù) 的 一 階 偏 導 數(shù) ； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22, , , ,ii x y O r x y O r r x y??? ? ? ?, 則如果 ? ?0,0O 是對應線性系統(tǒng) (2)的焦點、結(jié)點或鞍點 ,那么 ? ?0,0O 也是非線性系統(tǒng) (4)的同類型奇點 ,且具有相同的穩(wěn)定性 . 定理 2 (Perron 第二定理 ) 如果定理 1 中的條件 ??i 保持不變 ,而將條件? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11, , , 0 , 0ii x y O r x y O r O??? ? ?????加 強 為 ， 其 中 為 任 意 小 的 正 數(shù) ， 當? ? ? ?為 對 應 線 性 系 統(tǒng) 2 的 臨 界 或 退 化 結(jié) 點 時 , 它 也 必 是 非 線 性 系 統(tǒng) 4 的 同 類 型 奇 點 ，且具有相同的穩(wěn)定性 . 對于一般的非線性系統(tǒng) (1),可以用近似線性方法判斷其平衡點的穩(wěn)定性 ,而對于任意高階的方程都可以化為一階方程組來處理 . 系統(tǒng) (1)的線性近似系統(tǒng)為 (2),即 dx ax bydtdy cx dydt? ?????? ???? 假設 0ad bc??,即奇點 ? ?0,0O 為初等奇點 (又稱為一次奇點 ).先討論線性系統(tǒng) (2)的平衡點的定性性質(zhì) . 由線性方程組理論知系統(tǒng) (2)的通解完全由它的系數(shù)矩陣 A 的若爾當標準形確定 .設 A的實若爾當標準形為 J,則存在非奇異實矩陣 P,使 1P AP J? ? .從而可利用非奇異線性坐標變換 ,將系統(tǒng) (2)化為線性系
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