【正文】 由此即得： ()11( ) ( ) ( ) ( ) ( 。 ( ) ) ( )ejN m mSjl ljlp c p p q N p q dn?? ? ? ? ? ???? ?? ? ? ???? ? 中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 19 頁 ()11( 。 ( ) ) ( )ejN m mSjl ljlc p p q N p q dn?? ? ? ? ???? ?????? ? ()11( 。但為簡單起見，下面不妨對未知量、給定量兩者都進(jìn)行離散插值，且對函數(shù)值和法向?qū)?shù)值采用同樣的插值函數(shù)。原則上說，只有未知量是必須利用型函數(shù)插值的，邊界給定量可以不進(jìn)行插值離散化，而直接利用精確給定函數(shù)。以二維位勢問題為例，首先假設(shè)把整個邊界劃分為 eN 個單元，即1eNjj??? ??在每個單元上對邊界變量采用一定的插值函數(shù)（也稱形函數(shù)）插值，例如可采用只保證相鄰單元間未知量本身連續(xù)的 Lagrange 插值： () 11( ) ( ) ( )m mll N? ? ? ? ??? ? () 11( ) ( ) ( )m mll Nnn??? ? ????? ? （ ） 其中 ? 是單元上的局部坐標(biāo)，一般情況下 ? ?1,1??? ； m 為單元節(jié)點(diǎn)數(shù)， l 為單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)序號， ()mlN 為相應(yīng)的插值函數(shù)。 （ ） 幾種常見的方法 下面簡單介紹幾種邊界元方法適用的方法 位勢問題的邊界元法簡介 邊界元法是基于邊界積分方程，采用與有限元法類似的分元、離散思想建立起來的。 對 Flamant 問題，方程 ()中的 L 是用來量化yu值的常量。從而能夠看出邊界上，施加載荷時的一些性質(zhì)。 相面對 ()中的另外的一個方程進(jìn)行討論，令 =0y ，可以得到 : ? ?1= 。對半無限區(qū)域 0y? ，該函數(shù)的值在 ? 和0 之間， 即有： arctan / 0yx? ??， y? （ ） 特別的，當(dāng) y=0 時，有： 0 , = 0a r c ta n = 0 0 , = 0xyyx xy????如 果如 果 （ ） 把這些結(jié)果代入（ ）的第一個方 程可得： ? ?1 2= , 0 , = 04xyu F x yG? ? ?1 2= + , 0 , = 04xyu F x yG? （ ） 可以看出半平面表面位移在 x 方向的分量為一個定值，不隨著方向去改變。這樣我們就可以建立下面的函數(shù)： 該函數(shù)定義如下： a r c ta n ta nyyA rc kxx ??? （ ） 為了得到在方程（ ）中位移分量，我們就必須得到反正切函數(shù) arctan /yx的值。也就是說，在原點(diǎn)處，半平面受到的力是單一的。 可以得到在 0y? 時 半平面的應(yīng)力為 : （ ） 位移為（其中 L 是常量） : ? ?yx 22Fu 1 2 a r c ta n2 π G2 y x yx x y????? ?? ? ? ????? ????? ? ?12 2 22yy 2 2 2Fu 2 12 π Gx y yLnL x y????? ? ? ?????????? （ ） 得到在半平面邊界上，向量 i ji jtn?? 的分量為 : ? ?x yx xyt ????和 y yyt ?? ，的這樣我們可以得到單位外法線向量為 jn ， 而它的兩個方向的分量分別為為 : 0xn? 和1yn? 。這樣的求解問題，我們可以看成是平面求解問題，很顯然，邊界元法降低 了求解問題的維數(shù)。 Flamant 問題 我們首先建立一個各向同性的半平面，在這個半平面上作用一個集中力 f，這樣的問題就是我們所研究的 Flamant 問題，這一節(jié)我們就來用這種方法下的奇異解構(gòu)造邊界方程的邊界元方法。 / (1 )? ? ???即可。? 為半平面邊界上有面力作用的部分。 ) ( ) ( ) , 39。( 。 ) ( ) ( )s F s F s FC p u p u p Q f Q d Q u p q t q d q t p q u q d q?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ( ) ( )39。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。( ) ( ) ( 。這種解可用于 2Ox 上有外力作用的部分。 2( 1 ) l n , ,sF du K r r r?? ? ? ? () 2 ( , , )sF rt r rrn?? ? ?? ??? ? （ ） 其中 39。 (1 2 ) , ,sF du K r r??? ? ? ? ? ? ?()2 1 2 139。 當(dāng) p 點(diǎn)為半平面邊界線 2Ox 上的點(diǎn)時，上述由 Kelvin 解和輔助解疊加所得基本解即 Flamant 解，其公式可以寫成： ? ?()1 1 1 139。其中下標(biāo) ?? 代表在 P 點(diǎn)作用 x? 方向的單位集中力引起的 Q 點(diǎn) x? 方向的位移分量。本章在列出彈性力學(xué)的微分提法即其偏微分方程邊值問題的基礎(chǔ)上，介紹利用賦予力學(xué)意義的數(shù)學(xué)公式（即為公式化的力學(xué)規(guī)律）來推導(dǎo)邊界積分方程：由 Betti 功互等定理出發(fā)，利用 Kelvin 基本解，導(dǎo)出 Somigliana 等式，最終得到彈性力學(xué)的 邊界積分方程。這是求解彈性力學(xué)問題的理論方法，即把邊界上未知的量全部求 解出來。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( )ssi ij j ij jVSu p u P Q f Q d V Q u P q t q d S q???? ( 。 ) ( ) ( )sij jS t P q u q dS q?? （ ） 對于待解問題的真實(shí)解略去上標(biāo)（ 1），即可寫成 ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。對于這種狀態(tài)我們可以得到：而且在 p 點(diǎn)處僅有沿 ix 方向作用的單位集中力，域內(nèi)不可能有分布的力，而在邊界 S 則應(yīng)該作用與（ ） 式的位移場相對應(yīng)的面力 (2)jt ，若將邊界 S 上任意場點(diǎn)記作 q ，則可得 ( 2 ) ( ) ( 。 我們?nèi)绻僭O(shè)在 互等定理的等式（ ）中取得 Kelvin 解（ ），并且他的變形狀和我們前面設(shè)定的是差不多的，則 ( 2 )( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r P Q x Q x P x Q x P x Q x P? ? ? ? ? ? （ ） 這是 Q 點(diǎn)與 p 點(diǎn)之間的距離。得到的解為 ： 中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 12 頁 233 2 ( 1 2 ) 1, 0 ,1 6 ( 1 ) 1 6 ( 1 )zF z F zu u uG r G r r r?? ??? ? ? ????? ? ? ? ????? ?? （ ） 推廣到一般情況并采用指標(biāo)符號，在我們所取的任何點(diǎn) p （稱源點(diǎn)）沿 ix 方向作用時，對于單位的力，在空間域內(nèi)的任意一個點(diǎn) Q （稱場點(diǎn)）處引起的 jx 方向位移分量可表示為 ,1( 。我們對集中力的解釋為取一個小球洞，在其表面上有一個載荷系，這個載荷系的極限就是集中力。 設(shè)集中力 F 沿 Oz 方向作用于坐標(biāo)原點(diǎn) O （圖 ）。 ) ( 。 我們?yōu)榱藦椥造o力學(xué)的邊界積分方程，需要在點(diǎn) p 處作用一個單位集中力，而這個力引起的輔助狀態(tài)變形后，滿足一定的方程為，這個方程為： ,( ) ( 。接下來我們計算 (2)if ， (2)it 在 (1)iu 消耗的功，我們可以采用平衡方程或者 Gauss 公式就可以求出相應(yīng)的值： ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ),i i i i ij j i ij j iV S S Vf u d V t u d S n u d S u d V??? ? ?? ? ? ? ? ?( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ),ij i ij j iVVju d V u d V?????? （ ） ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ),ij i j ij ijVVu dV dV? ? ????? 利用應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系可以寫出： ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ),ij ij ij k l ij k l k l ij i jEu? ? ? ? ? ?? ? ? （ ） 于是又（ ）式不難得出 ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ),i i i i ij i j ij i jV S V Vf u d V t u d S u d V u d V??? ? ?? ? ? ? ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )i i i iVSf u d V t u d S???? （ ） 此式即 為 Betti 定理，它可以敘述如下：假如同一彈性體承受兩組體積力和表面力的作用，那么第一組力 (1)if ， (1)it 在由第二組力所引起的位移 (2)iu 上所做的功等于第二組力 (2)if ， (2)it 在第一組力所引起的位移 (1)iu 上所做的功。 中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 11 頁 Betti 定理、 Kelvin 解及 Somigliana 等式 為了以比較直觀的方式來建立彈性靜力學(xué)的邊界積分方程，可以將 Betti 功互等定理（簡稱 Betti 定理）作為推導(dǎo)的出發(fā)點(diǎn)，我們簡單介紹一下互等定理，為后面的推導(dǎo)提供理論依據(jù)。顯然調(diào)和算子就是一例，因此可取算子 L 的基本解作為權(quán)函數(shù)來推導(dǎo)邊界積分方程。 對于一般問題的推廣 對于二維域上的一般二階線性偏微分方程： ( ) 0,Lx? ? ? ?? （ ） 其中微分算子 L 為： L A B C?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ ） 即： ( ) , , 0 ,L A B C x A? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? （ ） 引入權(quán)函數(shù) ? ，按照加權(quán)余量格式，令： ( ) ( , , ) 0L d A B C d? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? （ ） 利用 Gauss 公式可得 ( ) ( , ) ( ) , ( ) , ( ) ,L d A n B n d A n d A B C d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?（ ） :其中可定義： ( ) , ( ) , ( )A B C M? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? （ ） 微分算子 M 稱為算子 L 的共軛算子，一般情況下為了進(jìn)行相應(yīng)于前面所述的推導(dǎo)應(yīng)使權(quán)函數(shù)滿足方程 ( ) ( )Mp? ??? （ ） 即：取共軛算子的基本解為權(quán)函數(shù)。 ) ( ) ( 。 ) ( ) ( 。這里的 a 之所以要有長度量綱是因?yàn)閷?shù)是個超越函數(shù)，該函數(shù)的自變量必須是無量綱的。 ) ( ) ( ) ( )( ) ( )gssss p q p qc p p p q q q d q p q g q q d qn n q n q? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? （ ） 其中用 ? 表示二維域的邊界，基本解為 1( 。 )( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( )()ss pqc p p p q q q d qn n q??? ? ??????? ? ?????? （ ） 中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 10 頁 或者寫成 ( 。 ) ( ) ( ) ( )()ss pqp p q q q d qn n q??? ? ??????? ? ??????