畢業(yè)論文--平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性分析-展示頁
2025-01-25 21:22本頁面
【正文】 于前者 ,唯一一個對應于后者 .進一步判斷 ,我們同樣先求出 A 的特征向量 ,由 1( 2 ) 0AI???解得特征向量1 11? ???????.顯然，總共能解出的線性無關的特征向量組有且只有一個向量組成 .因此 O 是穩(wěn)定的單向結點 .沿特征向量1 11? ???????繪出一條直線 1l ,它上面的軌道繼續(xù)沿著它指向原點O ,其余所有軌道的曲線都與 1l 相切于 O 點 ,見圖 3. 圖 7 圖（ g） 7 圖 3 例 4 研究下面系統(tǒng) ,.du udtdw wdt? ????? ??? 解 系統(tǒng) (9)的系數(shù)矩陣 A 為 1001A ???????. 由 ? ?2d e t( ) 1 0AI??? ? ? ?,解得特征根 121????,是相同的實根 .因此原點? ?0,0O 作為系統(tǒng) (9)的平衡點是星形結點 (或臨界結點 ).其相圖見圖 4. 圖 4 A 有一對共軛復根 此時 , 1,2 i? ? ??? 而且 0?? . ① ? ?0 0 , 0 , 0 .pO??實 部 或 為 穩(wěn) 定 焦 點 ② ? ?0 0 0 0 .pO??實 部 或 ， ， 為 不 穩(wěn) 定 焦 點 ③ ? ?= 0 0 0 , 0 .pO?實 部 或 ， 為 中 心 例 5 研究下面系統(tǒng)的奇點 ,并在奇點鄰域內(nèi)畫出積分曲線族圖像： 圖 11 (9) 8 3,6 5 .du uwdtdw uwdt? ?????? ? ? ??? . 解 系統(tǒng) (10)的系數(shù)矩陣 A 為 1365A ?????????. 由 ? ? ? ?d e t( ) 1 5 1 8 0AI? ? ?? ? ? ? ? ? ?,解得特征根 1,2 23i? ?? ? ,是一對共軛復根且 ? ?1,2Re 0? ?.因此原點 ? ?0,0O 作為系統(tǒng) (10)的平衡點是穩(wěn)定的焦點 ,見圖 了確定積分曲線 (螺線 )的方向 ,在點 ? ?1,0 作出速度向量 1, 6xy? ?? . 圖 5 例 6 研究下面系統(tǒng)的奇點，并在奇點鄰域內(nèi)畫出積分曲線族圖像： 2 5 ,2 2 .du uwdtdw uwdt? ? ? ????? ???? 解 系統(tǒng) (11)的系數(shù)矩陣 A 為 25=22A ????????. 由 ? ? ? ?d e t( ) 2 2 1 0 0AI? ? ?? ? ? ? ? ? ?,解得特征根 1,2 6? ?? .因此 ,奇點是中心 .沿軌線運動的方向由向量 ? ? ? ? ? ?0 ,1 , 0 ,1 5 , 2xy????????確定 ,見圖 6. 圖 6 (10) (11) 9 非線性系統(tǒng)的平衡點及其 穩(wěn)定性 對于非線性系統(tǒng) ,先將其線性化 ,得到該非線性系統(tǒng)的線性近似系統(tǒng) ,再根據(jù)線性系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性的判斷方法 , 并結合 Perron第一定理和 Perron第二定理就可以判斷出其線性近似系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性與該非線性系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性一致 . 例 7 討論非線性系統(tǒng)的奇點 O(0,0)的類型 . ? ?? ?22222dx x y x x ydtdy x y y x ydt? ? ? ? ? ????? ? ? ? ??? (12) 解 將系統(tǒng) (12)寫成 ? ?? ?2,dx x y x ydtdy x y x ydt??? ? ? ? ????? ????? 其中 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2, , ,x y x x y x y
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