畢業(yè)論文--平面自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析-資料下載頁
2025-01-16 21:22本頁面
【正文】 ? ?? ?22222dx x y x x ydtdy x y y x ydt? ? ? ? ? ????? ? ? ? ??? (12) 解 將系統(tǒng) (12)寫成 ? ?? ?2,dx x y x ydtdy x y x ydt??? ? ? ? ????? ????? 其中 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2, , ,x y x x y x y y x y??? ? ? ? ?. (12)的線性近似系統(tǒng)為： 2dx xydtdy xydt? ?? ????? ???? (13) ? ? ? ?3 , 3 , 3 , 0 , 0p q O? ? ? ? ?對(duì) 于 系 統(tǒng) 13 ， 易 知 惟 一 奇 點(diǎn) 是 系 統(tǒng) （ 13 ） 的 穩(wěn) 定 焦 點(diǎn) .? ? ? ?, , ,x y x y??又 滿足定理 1,所以奇點(diǎn) ? ?00O ， 也是原非線性系統(tǒng) (12)的穩(wěn)定焦點(diǎn) . 例 8 討論非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)的類型 . 2222dx y x x ydtdy x y x ydt? ? ? ? ????? ? ? ??? (14) 解 系統(tǒng) (14)的線性近似系統(tǒng)為 10 dx ydtdy xdt? ?????? ??? (15) 易知 ,奇點(diǎn) ? ?0,0O 是系統(tǒng) (15)的中心 ,但根據(jù)已知定理 1 和定理 2 無法判斷其是否為系統(tǒng) (2)的中 心 .作極坐標(biāo)變換 ,令 cossinxryr????? ??，代入 系統(tǒng) (14)可得到 21dr rdtddt?? ?????? ??? 從而解得? ?? ?1 ,010rttr??? ? ?? ，可見 + , ?? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ， 容易得出奇點(diǎn) ? ?0,0O 是原系統(tǒng) (14)的穩(wěn)定焦點(diǎn) . 4 結(jié)束語 對(duì)于一般形式的線性方程組 (2),可先由系數(shù)矩陣 A 的特征根迅速判斷出平衡點(diǎn)的類型和穩(wěn)定 性 ,然后利用平面線性系統(tǒng)平衡點(diǎn)的下面兩個(gè)性質(zhì)作出相圖 .首先注意到當(dāng) tt? ?? ? ??或 時(shí),某些軌道將沿某一確定的方向稱為 (平衡點(diǎn)的特殊方向 )趨向于平衡點(diǎn) ,特別地 ,兩向結(jié)點(diǎn)和鞍點(diǎn)有兩個(gè)特殊方向 ,單向結(jié)點(diǎn)有一個(gè)特殊方向 ,星形結(jié)點(diǎn)有無窮個(gè)特殊方向 ,焦點(diǎn)和中心沒有特殊方向 。并且當(dāng)某條直線給出平衡點(diǎn)的特殊方向時(shí) ,它被平衡點(diǎn)分割的兩條射線都是系統(tǒng)的軌道 ,這些性質(zhì)在放射變換下保持不變 .其次平面線性 系統(tǒng) (2)在相平面上給出的方向場(chǎng)關(guān)于平衡點(diǎn) ? ?0,0 對(duì) 稱，即若 ? ? ? ?? ?, , ,P x y Q x y為系統(tǒng)在點(diǎn) ? ?,xy 給出的方向 , 則? ? ? ?? ?, , ,P x y Q x y??為系統(tǒng)在點(diǎn) ? ?,xy?? 給出的方向 .通過探討平面自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 ,并結(jié)合圖像對(duì)其進(jìn)行分析 ,對(duì)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性及穩(wěn)定性模型的研究起著非常重要的作用 . 11 參考文獻(xiàn) [1]張偉年 ,杜正東 ,徐冰編 .常微分方程 [M].北京：高等教育出版社， 2022:179190. [2]趙愛民，李美 麗，韓茂安著 .微分方程基本理論 [M].北京：科學(xué)出版社， 2022:127135. [3]（俄 )博亞爾丘克，（俄）戈洛瓦奇編著；鄭元祿譯 .高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題集（四） 常微分方程 [M].北京：清華大學(xué)出版社， 2022:8995. [4]鐘益林，彭樂群，劉炳文編著 .常微分方程及其 Maple， MATLAB 求解 [M].北京： 清華大學(xué)出版社， 2022:810. [5]傅希林，范進(jìn)軍編著 .非線性微分方程 [M].北京：科學(xué)出版社， 2022:157166. [6]（美）羅賓遜著； 韓茂安等譯 .動(dòng)力系統(tǒng)導(dǎo)論 [M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社， 2022:8397. [7]陸啟韶，彭臨平，楊卓琴編 .常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng) [M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2022:7481. [8]莊萬著 .常微分方程習(xí)題解 [M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社， 2022:98115. [9]馬知恩，周義倉著 .常微分方程定性與穩(wěn)定性方法 [M].北京：科學(xué)出版社， 2022:103115.
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