【正文】 且OA=AB，OB，OC的長分別是一元二次方程x2﹣11x+30=0的兩個根（OB＞OC）．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)P是線段OB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O，B重合），過點(diǎn)P的直線l與y軸平行，直線l交邊OA或邊AB于點(diǎn)Q，交邊OC或邊BC于點(diǎn)R．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段QR的長度為m．已知t=4時，直線l恰好過點(diǎn)C．當(dāng)0＜t＜3時，求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)m=，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【分析】（1）先利用因式分解法解方程x2﹣11x+30=0可得到OB=6，OC=5，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），作AM⊥x軸于M，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得OM=BM=AM=OB=3，于是可寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）作CN⊥x軸于N，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出CN得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣3），再利用待定系數(shù)法分別求出直線OC的解析式為y=﹣x，直線OA的解析式為y=x，則根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到Q（t，t），R（t，﹣t），所以QR=t﹣（﹣t），從而得到m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．（3）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=﹣x+6，直線BC的解析式為y=x﹣9，然后分類討論：當(dāng)0＜t＜3時，利用t=；當(dāng)3≤t＜4時，則Q（t，﹣t+6），R（t，﹣t），于是得到﹣t+6﹣（﹣t）=，解得t=10，不滿足t的范圍舍去；當(dāng)4≤t＜6時，則Q（t，﹣t+6），R（t， t﹣9），所以﹣t+6﹣（t﹣9）=，然后解方程求出t得到P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵方程x2﹣11x+30=0的解為x1=5，x2=6，∴OB=6，OC=5，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），作AM⊥x軸于M，如圖，∵∠OAB=90176。黑龍江龍東∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），∴ON=OA=1，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），設(shè)直線m解析式為y=kx+d，把B、N兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線m解析式為y=x﹣1，即存在滿足條件的直線m，其解析式為y=x﹣1．【點(diǎn)評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等．在（2）中確定出PM的值最時四邊形ABPC的面積最大是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出滿足條件的直線m的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，特別是第（2）問和第（3）問難度較大．14．（2016則可證得△AOC≌△NOB，可求得ON的長，可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，利用B、N兩的點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線m的解析式．【解答】解：（1）把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；（2）如圖1，連接BC，過Py軸的平行線，交BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)H，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S△ABC=AB?OC=43=6，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直線BC解析式為y=x﹣3，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），則M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x﹣3），∵P點(diǎn)在第四限，∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，∴S△PBC=PM?OH+PM?HB=PM?（OH+HB）=PM?OB=PM，∴當(dāng)PM有最大值時，△PBC的面積最大，則四邊形ABPC的面積最大，∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時，PMmax=，則S△PBC==，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣），S四邊形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）時，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為；（3）如圖2，設(shè)直線m交y軸于點(diǎn)N，交直線l于點(diǎn)G，則∠AGP=∠GNC+∠GCN，當(dāng)△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180176。BE＝4． 7分∴＝．解得b＝8． 8分(3)不存在．理由如下： 9分假設(shè)存在，則當(dāng)S△APQ＝S△BPQ時有AP＝PB，于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝，∴k＋3＝2，即(k＋3)2＝16．解得k＝1(舍去k＝－7)． 11分當(dāng)k＝1時，A，B兩點(diǎn)重合，△QAB不存在．∴不存在實(shí)數(shù)k使S△APQ＝S△BPQ． 12分13．（2016四川內(nèi)江）(12分)如圖15，已知拋物線C：y＝x2－3x＋m，直線l：y＝kx(k＞0)，當(dāng)k＝1時，拋物線C與直線l只有一個公共點(diǎn)．(1)求m的值；(2)若直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線l與直線l1：y＝－3x＋b交于點(diǎn)P，且＋＝，求b的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)直線l1與y軸交于點(diǎn)Q，問：是否存在實(shí)數(shù)k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．xyOl1QPBAl圖15xyOl1QPBAl答案圖CED[考點(diǎn)]二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，三角形的相似，推理論證的能力。 ∴△BAP∽△BNA， ∴=， ∴=， ∵AB=BC， ∴AN=AM． ②這樣的點(diǎn)P不存在． 理由：假設(shè)PC=， 如圖三中，以點(diǎn)C為圓心為半徑畫圓，以AB為直徑畫圓， CO==＞1+， ∴兩個圓外離，∴∠APB＜90176。 ∴∠APB=90176。 ∵△PBC∽△PAM， ∴∠PAM=∠PBC， ==， ∴∠PBC+∠PBA=90176。 ∴AP⊥BN， ∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90176。 ∴∠PAM+∠PBA=90176。即可證明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出==，由△BAP∽△BNA，推出=，得到=，由此即可證明． （2）①結(jié)論仍然成立，證明方法類似（1）．②這樣的點(diǎn)P不存在．利用反證法證明．假設(shè)PC=，推出矛盾即可． 【解答】（1）證明：如圖一中，∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90176。四川南充）已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)P為正方形內(nèi)一動點(diǎn)，若點(diǎn)M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長BP交AD于點(diǎn)N，連結(jié)CM． （1）如圖一，若點(diǎn)M在線段AB上，求證：AP⊥BN；AM=AN； （2）①如圖二，在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，滿足△PBC∽△PAM的點(diǎn)M在AB的延長線上時，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需說明理由） ②是否存在滿足條件的點(diǎn)P，使得PC=？請說明理由． 【分析】（1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90176。則△CBM≌△MHN，∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，∴M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC==，∴S△CMN==；②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時，如圖3，作輔助線，構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM=CD=5，MD=ME=2，由勾股定理得：CM==，∴S△CMN==；③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時，如圖4，CN=MN，∠MNC=90176。遼寧丹東．∴PM⊥PN． （3）PM=kPN ∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90176。．∴∠MGE=90176。．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90176?！唷螹PN=90176。．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90176。＜α＜90176。遼寧丹東∴∠BDC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90176。∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90176。根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCE=∠BDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，解方程即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD，∵CD是⊙O切線，∴∠ODC=90176。根據(jù)AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90176。遼寧丹東12分）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，過點(diǎn)B1（1，0）作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)A1（1，2）；過點(diǎn)B2（，0）作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)A2；…；過點(diǎn)Bn（（）n﹣1，0）（n為正整數(shù)）作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)An，連接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1．（1）求a的值；（2）直接寫出線段AnBn，BnBn+1的長（用含n的式子表示）；（3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列問題：①當(dāng)n為何值時，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？②設(shè)1≤k＜m≤n（k，m均為正整數(shù)），問：是否存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，說明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）直接把點(diǎn)A1的坐標(biāo)代入y=ax2求出a的值；（2）由題意可知：A1B1是點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)：則A1B1=212=2；A2B2是點(diǎn)A2的縱坐標(biāo)：則A2B2=2（）2=；…則AnBn=2x2=2[（）n﹣1]2=；B1B2=1﹣=，B2B3=﹣==，…，BnBn+1=；（3）因?yàn)镽t△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1是直角三角形，所以分兩種情況討論：根據(jù)（2）的結(jié)論代入所得的對應(yīng)邊的比列式，計(jì)算求出k與m的關(guān)系，并與1≤k＜m≤n（k，m均為正整數(shù)）相結(jié)合，得出兩種符合條件的值，分別代入兩相似直角三角形計(jì)算相似比．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A1（1，2）在拋物線的解析式為y=ax2上，∴a=2；（2）AnBn=2x2=2[（）n﹣1]2=，BnBn+1=；（3）由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，則： =，2n﹣3=n，n=3，∴當(dāng)n=3時，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形，②依題意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90176。四川眉山）已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B、C分別為坐標(biāo)軸上上的三個點(diǎn)，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點(diǎn)P，使得以以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若點(diǎn)M為該拋物線上一動點(diǎn)，在（2）的條件下，請求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時點(diǎn)M的坐標(biāo)，并直接寫出|PM﹣AM|的最大值．【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，b，c的值，即可確定出所求拋物線解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由為：根據(jù)OA，OB，OC的長，利用勾股定理求出BC與AC的長相等，只有當(dāng)BP與AC平行且相等時，四邊形ACBP為菱形，可得出BP的長，由OB的長確定出P的縱坐標(biāo)，確定出P坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時，以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形；（3）利用待定系數(shù)法確定出直線PA解析式，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|＜PA，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|=PA，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|的值最大，即點(diǎn)M為直線PA與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立直線AP與拋物線解析式，求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時M坐標(biāo)，確定出|PM﹣AM|的最大值即可．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=3，∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由為：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，當(dāng)BP平行且等于AC時，四邊形ACBP為菱形，∴BP=AC=5，且點(diǎn)P到x軸的距離等于OB，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3），當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時，以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，則當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3）時，以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形；（3）設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b（k≠0），∵A（1，0），P（5，3），∴，解得：k=，b=﹣，∴直線PA的解析式為y=x﹣，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|＜PA，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|=PA，∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|的值最大，即點(diǎn)M為直線PA與拋物線的交點(diǎn)，解方程組，得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣5，﹣）時，|PM﹣AM|的值最大，此時|PM﹣AM|的最大值為5．【點(diǎn)評】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定拋物線解析式、一次函數(shù)解析式，菱形的判定，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．．7.（2016的點(diǎn)在⊙O上，連接FO，并延長交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上，連接EH′GH′，則∠EH′G=45176?！唷?