【正文】 遵從守恒定定律，因?yàn)槭睾愣删褪欠匠痰牡谝淮畏e分，它使方程降了一階；另外運(yùn)用守恒定律時(shí)不必追究運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受力情況的細(xì)節(jié)，而可以直接寫出初始狀態(tài)與某狀態(tài)的關(guān)系，這對(duì)解題十分有利。 ，應(yīng)用動(dòng)量定理；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)圍繞某點(diǎn)或繞某軸線作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)用動(dòng)量矩定理；當(dāng)討論質(zhì)點(diǎn)速度與坐標(biāo)的關(guān)系時(shí)，則應(yīng)用動(dòng)能定理。 單獨(dú)用動(dòng)量定理，可以列出三個(gè)獨(dú)立方程，而單是動(dòng)量矩定理只能給出兩個(gè)彼此獨(dú)立方程，動(dòng)能定理只有一個(gè)獨(dú)立方程。 020 gz?? 02 zz ? 0z1）當(dāng) 時(shí)， ，小球在高為 處作圓周運(yùn)動(dòng) . 020 gz?? 02 zz ? 20 ~ zz2）當(dāng) 時(shí)， ，小球在 之間運(yùn)動(dòng) . 020 gz?? 02 zz ? 02 ~ zz3）當(dāng) 時(shí)， ，小球在 之間運(yùn)動(dòng) . 小結(jié) 綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)基本定理及其守恒定律求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題應(yīng)注意 以下幾點(diǎn)： ，有關(guān)的物理量如 動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能等僅對(duì)慣性系而言。根據(jù)動(dòng)量矩 守恒和 機(jī)械能守恒，有 002 ???? mmJ z ?? ?（ 1） 0202222 21)(21 m gzmm gzzm ????? ???? ??? （ 2） （思考：小球受哪些力作用？為何動(dòng)量矩和機(jī)械能守恒？） 約束方程 ?? ztg??? tgz 00 ?(3) (4) 將（ 3），（ 4）式代入（ 1）式，得 ???tgzz200??ztg ?? ?? ??（ 5） （ 6） 將（ 3），（ 5），（ 6）式代入（ 2）式，得 0202242020222221)(21 gzgzztgzztgztgz ????? ????? ??0202220202221)(21 gzgzzzztgz ????? ??? ?? 0?z? 0?z?當(dāng) 時(shí)，小球在 z方向折回。注意 到小球達(dá)到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)處時(shí)均 0?z? z? 0?z?有 ，因此，找出 的一般表達(dá)式，最后解出對(duì)應(yīng) 的 z值即可。 在水 解：由題意可知小球在圓錐內(nèi)表面 的運(yùn)動(dòng)是在一定范圍內(nèi)旋轉(zhuǎn)上升或下降的。 [例 8] 在重力場(chǎng)中有一頂角為 ?2 的正圓錐，在其光滑內(nèi)表面的高度為 z0處有一質(zhì)量為 m的小球以速度 0?平方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。 解 :（ 1）用動(dòng)量定理解 采用自然坐標(biāo)法 .以最低點(diǎn) B為弧坐標(biāo) s原點(diǎn)，向右為 s正方向，沿 s ? 正方向。根據(jù)動(dòng)量定理有 ????????????)2()()1(0)(2Nmdtdmdtmddtdmdtmdnn?????? ?約束方程為 ?aerr ?? 0 （ 3） 積分（ 1）式（初始條件 t=0時(shí)， 0??? ），得 0?? ? 由（ 3）式，得 raaeradrdraraerddrraa202220?????????????????2122322222222232222)1(1)(2)(21arrararrarrrrrrr??????????????代入（ 2）式，得 ???aearmarmN202212201)1(1????? （ 2）用動(dòng)能定理和動(dòng)量矩定理解 根據(jù)動(dòng)能定理，有 02121 202 ??? Wmm ?? 0??? 由動(dòng)量矩定理有 ??? s i n)c os( rNrmdtd ?? （ 4） 在對(duì)（ 4）進(jìn)行求導(dǎo)之前先考察一下 ? 與 t的關(guān)系。 解： （ 1）用動(dòng)量定理解 采用自然坐標(biāo)法。這就 克服了一些理論力學(xué)書(shū)中出現(xiàn)的不能全書(shū)統(tǒng)一的矛盾。這樣既簡(jiǎn)便又避免出錯(cuò)。根據(jù)右旋笛卡兒坐標(biāo)方向關(guān)系，定出切向（ ）正向，即令 逆時(shí)針旋 ?轉(zhuǎn) 后（ + ????????????RFmFdtdm)s i n()c o s (2???????（ 2） 如果主動(dòng)力為重力 F= mg，則 ??23? ，上式為 ????????????????c o ss i n2mgRmmgdtdm（ 3） 此式為質(zhì)點(diǎn)在重力和約束反力作用下內(nèi)稟方程的一般式。 2? ）與（ +n）方向一致，則質(zhì)點(diǎn)的內(nèi)稟方程為 設(shè)質(zhì)點(diǎn) P被約束沿平面曲線軌道 O1M運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力為 F? ，約 束反力為 R? （如圖 ）。因此，需要有一個(gè)簡(jiǎn)便統(tǒng)一的符號(hào)規(guī)則。由于 正向的選取有一定任意性，而在切線上 θ的數(shù)值不同，因而 與 書(shū) 中內(nèi)稟方程各項(xiàng)符號(hào)各不相同的原因。 向分力的正、負(fù)號(hào)。 設(shè) O1PM為 OXY平面上任意曲線（質(zhì)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)軌跡），如圖 ， A為該平面上 任一矢量，則 A的切向分量和法向分量分別為 )s i n ()c os (????????AAAAnr （ 1） ? A?其中 θ為 x軸正向與切線 正向之間的夾角， ψ為 x軸正向與 正向之間的夾角。這是用內(nèi)稟方程解約束問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)。在理想約束下，約束力方向沿曲線或曲面的法線，因此，采用自然坐標(biāo)系中的內(nèi)稟方程較為簡(jiǎn)便。 解：采用自然坐標(biāo)法 .設(shè) t=0時(shí)， ???????????????NmgNmgmmgmgdtdmc o sc o ss i ns i n2?????? ① ② 積分①式，得 )(22 yhg ???,22,2 32ypdx ydyypdxdyypdxdyypxy ???????????232232232 )1(1)1(1ypypyy????????因 弧坐標(biāo) s= ,22,2 32ypdx ydyypdxdyypdxdyypxy ???????????232232232)1(1)1(1ypypyy????????因 222222111111c o sc o sypyypytg ?????????????? 代入②式，得 ])(2[)()(2222222322222yppyhyypmgpypyhgmypymgN?????????? 小結(jié) 應(yīng)用自然坐標(biāo)系的內(nèi)稟方程求解約束運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn) : :將約束去掉代之以相應(yīng)的約束反力 ,從而把質(zhì)點(diǎn)當(dāng)自由質(zhì)點(diǎn)處理。 ? 解： 題目要求質(zhì)點(diǎn)擺動(dòng)的周期，因此必須求出質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的微分方程 . 采用自然坐標(biāo)法 .如圖 ，以 O為弧坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) =0時(shí)， s=0，質(zhì)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)微分方程為 ???????????2c o s2s i n2 ????mgNmmgsm ?? ① ② O B Y X C N R mg n 圖 2sin??由于不需要求約束反力，故只考慮①式 .因 s， t， 均為變量，不能直接積分， 。 質(zhì)點(diǎn)受哪些力作用？ 如圖 ，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為 ????????????????c o ss i n2mgNmmgdtdm ① ② 思考：①式右邊為何為 “ ”？ 根據(jù)初始條件為： t=0時(shí)， aaaaxy ???4442200，積分①式，得 ag22 ?? ag2?? ? ③ X Y O θ mg θ n N 圖１ .２１ 由 (2)式： ??? c os2 mgmN ?? ④ ,2 1,2)4( 2 adxydyaxaxdxddxdyy ?????????因 2322232 )41(121)1(1axayy???????? ⑤ 將③、⑤式代入④式，得 ?c o s)41(222322 mgaxaagmN ???在頂點(diǎn) O處： x=0， θ=0，所以 N=mg+mg=2mg 再分析兩個(gè)約束問(wèn)題的例題。 解：本題是質(zhì)點(diǎn)的約束運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，屬動(dòng)力學(xué)的逆問(wèn)題。 1?22?mgk例如：在 [例 1]中， x軸向上為“ +”，質(zhì)點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)， v為“ ”，根據(jù) R恒 為“ ”，故阻力 R在方程中為“ ”： 與 v反向知 R向上，應(yīng)為 “ +”，但由于 R=mkv，而在 [例 2]中，由于 v178。 ”，原因是阻力 R在方程中的正負(fù)號(hào)不是簡(jiǎn)單地由 R與 v R在微分方程中的符號(hào)的方法與步驟： ① 先選定坐標(biāo)的正方向； ② 然后根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方向，定出速度 v在取定的坐標(biāo)系中的正負(fù)； ③ 再根據(jù) R恒與 v反向判定 R在選定的坐標(biāo)系中的正負(fù)； ④ 最后有 n? 的符號(hào)確定 R在方程中的正負(fù)。 速度的一次方成正比： （ k0， k是一個(gè)由實(shí)驗(yàn)測(cè)定的阻力系數(shù)）；在 ；當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度增至 .首先要正確建立運(yùn)動(dòng)微分方程， 其關(guān)鍵是正確確定阻力在方程中的符號(hào)。 解：在圖 ，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 22?m g kmgxm ?????（ 1） （想一想：上式中阻力 22?mgk 為何是 “ +”？） )1( 22?? kgdtdx ??????gdtkd ??? 221 ?? （ 2） 積分（ 2）式得 )(1 gkttghk???)c os h (ln1 2 gktgkhx ??)(gkttgh k1???討論： 當(dāng) t→∞ 時(shí)， →1 ，故極限速度為 小結(jié) 求解物體在介質(zhì)阻力作用下的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題需注意以下幾點(diǎn)： ，因?yàn)樽枇Φ拇笮∨c運(yùn)動(dòng)物體的形狀、大小和介質(zhì)的物理性質(zhì)（溫度、粘性系數(shù)、密度等）以及物體運(yùn)動(dòng)的速度有關(guān)，通常用下式表示： )(???scR ? 式中： c—與運(yùn)動(dòng)物體的形狀以及物理性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)； ρ—介質(zhì)密度； S—物體投影在 ⊥ 于速度的平面上的面積； φ（ v） —物體運(yùn)動(dòng)的相對(duì)速度 v的函數(shù)，在不同的速度范圍內(nèi)， φ（ v）的形式不同。試研究其運(yùn)動(dòng)。 （ 3）范例 [例 1] 質(zhì)點(diǎn)在粘性介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)。 基本解法： 根據(jù)牛頓第二定律建立方程，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的積分法或解微分方程方法，求出方程的解析解可得速度 ?? )(trr ?? ?)(trr ?? ?、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 ，消去 中的參