【正文】 9 階“不規(guī)則區(qū)塊數(shù)獨”對每行、每列只能包含一個相同的數(shù)字有不同意見嗎？可不可以改成都“必須包含 2 個相同的數(shù)字”、 “必須包含 3 個相同的數(shù)字”、“必須包含 4 個相同的數(shù)字”......呢？“多次 12 階數(shù)獨”就是在 填制規(guī)則上采取本項改變的另類數(shù)獨，在 12 階的方陣中，每行、每列都必須包含 3 個數(shù)字 1～4： 若推廣中央數(shù)獨的概念，可在數(shù)獨方陣中指定更多的區(qū)域一樣必須包含數(shù)字 1～9；例如下圖的 “額外群組數(shù)獨 Extra groups Sudoku”除了一般數(shù)獨原本的限制之外，方陣中三組不同的 灰色宮格也都要包含數(shù)字 1～9：第一層　　　　　　　　 第二層　　　　　　　 第三層三階立體數(shù)獨解的分層顯示圖除了在外觀上做文章之外，有些人只想在內(nèi)在(填制規(guī)則)上做改變，有很多人剛看到數(shù)獨時都會想到魔方陣， 于是在對填制規(guī)則做改變時，很自然的就會想到套用魔方陣的規(guī)則，在原本的限制之外，再加上 「在兩條主對角在線也必須包含 1～9」的規(guī)定，稱之為“數(shù)獨 x”：為了說明的方便，下面就以三階立體數(shù)獨為例吧：　　　　　　　　　　 如果因為大家已習慣了 99 的數(shù)獨，不想在階數(shù)上做文章，卻又想要多點創(chuàng)新，那么請試試武士數(shù)獨吧， 其填制規(guī)則，不必說明，相信您已經(jīng)可猜測出來了： 如果勉強要造出 nn (n 為質(zhì)數(shù)，亦即非合數(shù))的數(shù)獨，那這樣的數(shù)獨就只能有行、列的兩項限制， 玩起來的感覺和 99 的數(shù)獨是完全不同的：“每行、每列及每個 44 的小方陣都要包含數(shù)字 1～16”的 1616 數(shù)獨數(shù)獨的階數(shù)由 44 、99 到 1616 ，差距實在太大了，中間的階數(shù)難道都只能被跳過而不能被使用嗎？ 為了保有 99 數(shù)獨所具有的行、列及九宮格三項限制，于是合數(shù)首先被啟用了：填入英文字母的另類數(shù)獨填入各種圖案的另類數(shù)獨如果您真的動手去解上述二圖，您將會發(fā)現(xiàn)：所需運用的技巧確實一點都沒變，或許可以利用這點來吸引 那些天生懼怕數(shù)字的人哦！ 有些網(wǎng)站或?qū)鵀榱搜驖u進的理由，認為一開始就填 99 的數(shù)獨，或許太難了，所以應(yīng)從 44 的小數(shù)獨 開始入門，比較容易上手： “每行、每列及每個 22 的小方陣都要包含數(shù)字 1～4”的 44 數(shù)獨當然這時的填制規(guī)則也要跟著更改成“每行、每列及每個 22 的小方陣都要包含數(shù)字 1～4”了。一般而言， 對第一、二項的創(chuàng)新修改是最容易的，對第三項的創(chuàng)新修改則困難多了！ 另類數(shù)獨最簡單的更改及創(chuàng)新就是將數(shù)獨原本的填入物 1~9換成別的對象，例如：英文字母、花草圖案......等等。 7. 必須可用邏輯的方式解題。以上三條規(guī)則，如此敘述本已足夠，但有時為了加深玩者的印象， 還會強調(diào)數(shù)字不可以重復(fù)；其實如果九個宮格中一定要包含數(shù)字 1～9，本來就不可能重復(fù)，因為若有數(shù)字 重復(fù)了，就一定會有某一個數(shù)字未被包含啊！ 5. 預(yù)先給定的數(shù)字必須是點對稱的。 3. 在每一列中都要包含數(shù)字 1～9。 現(xiàn)行正規(guī)的數(shù)獨，大約有如下幾項要求或限制： 1. 由 9 行、9 列共 81 個宮格組成，并區(qū)分為九個九宮格。 數(shù)獨的另類玩法概說任何一樣事物在推出之后，總有人會不甘于維持現(xiàn)狀，對該事物進行改變創(chuàng)新，這本是無可厚非的事， 如果沒有這些積極尋求創(chuàng)新改變的人，或許現(xiàn)在就沒有數(shù)獨的存在了，它將仍是拉丁方陣的一部分， 或是一些看來不具美感，難度太淺而無趣，或難度太深而失趣的數(shù)字方陣而已。 1. 先看 (3, 7)、(3, 8)、(3, 9)，因為上右九宮格中己擁有粉紅及淺藍為底色的宮格各一個，表示不論 數(shù)字 1 應(yīng)填到哪一組底色的宮格中，因為本九宮格中的數(shù)字 1 已被填入了，所以其它宮格都不能再 使用數(shù)字 1 了，因此這三個宮格的候選數(shù) 1 都可被安全的刪減掉！ 2. 再看 (4, 9)，因為同行的(2, 9)有一個粉紅底色的宮格，同列的(4, 4)又有一個淺藍底色的宮格，所以 不論數(shù)字 1 應(yīng)填到哪一組底色的宮格中，因為同一個行、列中的數(shù)字 1 已被填入了，所以本宮格就不能 再使用數(shù)字 1 了；這個宮格的候選數(shù) 1 可安全的刪減掉！ 3. 最后來看看 (4, 1)、(5, 1)，因為同行中己擁有粉紅及淺藍為底色的宮格各一個，所以這兩個宮格的 候選數(shù) 1 都可安全的刪減掉！ 利用「以關(guān)鍵數(shù)的關(guān)系找出矛盾的組合，或者找出確切可進行刪減的宮格，進而將該數(shù)字自宮格候選數(shù)中刪減掉」 的方法就叫做關(guān)鍵數(shù)刪減法(Colors, Colouring)。圖 4利用圖 4第 1 列中的關(guān)鍵數(shù) 1，可將部分宮格區(qū)分為兩組獨立的宮格，分別以粉紅及淺藍為底色來標示； 只要其中的一組宮格被填入數(shù)字 1，另一組宮格就不可能再填入數(shù)字 1。 所以所有底色為粉紅的宮格都不可能填入數(shù)字 4，這些宮格候選數(shù)中的數(shù)字 4，全部都可以刪減掉！回到 圖 1，我們可發(fā)現(xiàn)，進行刪減之后，下一個解的尋找根本就不成任何問題了。圖 2 中底色為粉紅及淺藍的兩組宮格， 就具有這樣的性質(zhì)。由于使用本刪減法的時機是在數(shù)獨填制的中后期， 所以擁有同一個關(guān)鍵數(shù)的行列或九宮格通常不止一處，而且環(huán)環(huán)相扣，使得候選數(shù)中包含該關(guān)鍵數(shù)的宮格 形成涇渭分明的兩大陣營；圖 2 和 圖 1是完全相同的數(shù)獨殘局，但只顯示候選數(shù) 4 的情形：圖 1請看圖 1，此時使用以往所提及的：數(shù)對刪減法、區(qū)塊刪減法、隱性數(shù)對刪減法、三鏈數(shù)刪減法、 隱性三鏈數(shù)刪減法、矩形頂點刪減法、三鏈列刪減法...等各式刪減法都已找不到下一個解了，這才是 關(guān)鍵數(shù)刪減法(Colors, Colouring)最好的上場時機。在各種的刪減法中，哪一個要先用 是隨個人之喜好的，并無限制。 三鏈列刪減法示例三鏈列刪減法只有 2 種狀況：第一種的刪減發(fā)生在行、第二種的刪減發(fā)生在列。 本刪減法其實是矩形頂點刪減法的推廣，如果你愿意的話，還可以繼續(xù)推廣： 1. 四鏈列刪減法：利用「找出某個數(shù)字在某四列僅出現(xiàn)在相同四行的情形，進而將該數(shù)字自這四行其它宮格 候選數(shù)中刪減掉」；或「找出某個數(shù)字在某四行僅出現(xiàn)在相同四列的情形，進而將該數(shù)字自這四列其它 宮格候選數(shù)中刪減掉」的方法 2. 五鏈列刪減法：利用「找出某個數(shù)字在某五列僅出現(xiàn)在相同五行的情形，進而將該數(shù)字自這五行其它宮格 候選數(shù)中刪減掉」；或「找出某個數(shù)字在某五行僅出現(xiàn)在相同五列的情形，進而將該數(shù)字自這五列其它 宮格候選數(shù)中刪減掉」的方法 3. 六鏈列刪減法：...... 不過如果真的這樣做，實際應(yīng)用時，能夠用上的機率大概不多就是了。 2. 同理，當某個數(shù)字在某三行僅出現(xiàn)在相同的三列時，就可以把這三列其它宮格候選數(shù)中的該數(shù)字刪減掉。于是(5, 1)、(5, 5)、(9, 5)和(1, 8)、(2, 8)這五個宮格候選數(shù)中的 5 都可被安全的刪減掉；其中(9, 5)的候選數(shù)少了數(shù)字 5，將使得(9, 4)出現(xiàn)列隱性唯一候選數(shù) 5 ，于是 可用隱性唯一候選數(shù)法來填入下一個解了。本頁介紹的例子當然可用其它刪減法完成解題，且本刪減法成立的條件 和其它方法相比稍嫌繁雜，但為了介紹，在進行解題時還是要以三鏈列刪減法優(yōu)先啰！ 經(jīng)過以上刪減之后，(1, 8)出現(xiàn)行隱性唯一候選數(shù) 1 啦！ 數(shù)獨的候選數(shù)法解題技巧──三鏈列刪減法(Swordfish)概說遇到了高級、困難級的數(shù)獨謎題，使得唯一候選數(shù)法和 隱性唯一候選數(shù)法黔驢技窮的時候，就是各種刪減法上場的時機了。在(1, 8)中將可找到下一個解，你能找出來嗎？ 1. 因為上中九宮格的數(shù)字 1 只發(fā)生在(2, 4)～(2, 6) 這一個區(qū)塊，所以可以利用區(qū)塊刪減法 把(2, 7)～(2, 9)候選數(shù)中的數(shù)字 1 安全的刪減掉。 不論下列哪一種情況發(fā)生，都表示第 1 列及第 2 列的數(shù)字 3 已有歸屬，這兩列其它的宮格將不能再 填入數(shù)字 3 了，所以可以將數(shù)字 3 自(1, 3)、(1, 5)及(2, 1)、(2, 4)、(2, 5)的候選數(shù)中安全的 刪減掉，而當(2, 4) 的候選數(shù)由 6 刪減成 6 時；(3, 4)將出現(xiàn)行隱性唯一候選數(shù) 3 啦！圖 2圖 2 是矩形頂點刪減發(fā)生在列的例子：圖中第 2 行、第 8 行的數(shù)字 3 只出現(xiàn)在第 1 列及第 2 列， 所以數(shù)字 3 在第 2 行及第 8 行的填入只有下列兩種情況： 1. 第 2 行的數(shù)字 3 若填到 (1, 2) 中、則第 8 行的數(shù)字 3 就只能填到 (2, 8) 了。 矩形頂點刪減法示例矩形頂點刪減法只有 2 種狀況：第一種的刪減發(fā)生在行、第二種的刪減發(fā)生在列。因為本刪減法的條件成立時，關(guān)鍵的數(shù)字 8 所處的宮格在數(shù)獨方陣上看來，剛好就在一個矩形的頂點。 2. 同理，當某個數(shù)字在某兩行僅出現(xiàn)在相同的兩列時，就可以把這兩列其它宮格候選數(shù)中的該數(shù)字刪減掉。 不論哪一種情況發(fā)生，都表示第 5 行及第 8 行的數(shù)字 8 已有歸屬了，所以 ( 2, 5 )～( 8, 5 ) 及 ( 2, 8)～( 8, 8 ) 都不能再填入數(shù)字 8 了，可以毫不考慮的自它們的候選數(shù)中把數(shù)字 8 刪減掉， 于是(3, 5)、(6, 5)和(3, 8)、(7, 8)這四個宮格候選數(shù)中的 8 都可被安全的刪減掉；而當(6, 5)的候選數(shù)少了數(shù)字 8 后，將使得(6, 6)出現(xiàn)列隱性唯一候選數(shù) 8 ，于是 可用隱性唯一候選數(shù)法來填入下一個解了。圖 1請看圖 1的第 1 列及第 9 列，數(shù)字 8 都只出現(xiàn)在第 8 行的宮格候選數(shù)中；這時，數(shù)字 8 在此二列的 填入只有下列兩種情形： 1. 第 1 列的數(shù)字 8 若填到 (1, 5) 中、則第 9 列的數(shù)字 8 就只能填到 (9, 8) 了。在各種的刪減法中，哪一個要先用 是隨個人之喜好的，并無限制。下一個解將出現(xiàn)在(5, 6) 這個宮格，你能找出該填入什么數(shù)字嗎？ 以目前所學(xué)到的方法，要解出下一個解，需要二個步驟： 1. 先看中左九宮格吧！由于只剩(5, 1)～(5, 3)這個區(qū)塊尚未填入數(shù)字，所以可用區(qū)塊刪減法將 第 5 列其它區(qū)塊候選數(shù)中的 4 全部刪減掉，但實際上僅能刪到(5, 4)及(5, 6)候選數(shù)的數(shù)字 4 而已。圖 2圖 2 是隱性三鏈數(shù)刪減發(fā)生在行的例子：圖中第 4 行的數(shù)字 9 只出現(xiàn)在 (4, 4)、(5, 4)及(6, 4) 這三個宮格的候選數(shù)中，所以可以將三個宮格候選數(shù)中 9 以外的數(shù)字安全的刪減掉，(4, 4)的候選數(shù)刪減成4； (5, 4)的候選數(shù)刪減成9；(6, 4)的候選數(shù)刪減成 9；出現(xiàn)了唯一候選數(shù)啦！ 圖 3圖 3 是隱性三鏈數(shù)刪減發(fā)生在九宮格的例子：圖中中央九宮格的數(shù)字 9 只出現(xiàn)在 (5, 4)、(5, 6)及(6, 4) 這三個宮格的候選數(shù)中，所以可以將三個宮格候選數(shù)中 9 以外的數(shù)字安全的刪減掉， (5, 4)的候選數(shù)刪減成9；(5, 6)的候選數(shù)刪減成5；(6, 4)的候選數(shù)刪減成 9；出現(xiàn)了唯一候選數(shù)啦！ 3. ...... 如果愿意的話，你確實是可以這樣推廣的，只是，實用上是否有其應(yīng)用的價值或空間呢？ 隱性三鏈數(shù)刪減法示例隱性三鏈數(shù)刪減法一共有 3 種狀況：第一種發(fā)生在行、第二種是發(fā)生在列、第三種則發(fā)生在九宮格。 本法其實為隱性數(shù)對刪除法的推廣，而且還可以繼續(xù)加以推廣： 1. 隱性四鏈數(shù)刪減法就是：「找出某 4 個數(shù)字僅出現(xiàn)在某行、某列或某一個九宮格的某四個宮格候選數(shù)中 的情形，進而將這四個宮格的候選數(shù)刪減成該 4 個數(shù)字」的方法。 3. 當然，當某 3 個數(shù)字僅出現(xiàn)在某個九宮格的某三個宮格候選數(shù)中時，就可以把這三個宮格的候選數(shù)刪減成該 3 個數(shù)字。 整理一下： 1. 當某 3 個數(shù)字僅出現(xiàn)在某列的某三個宮格候選數(shù)中時，就可以把這三個宮格的候選數(shù)刪減成該 3 個數(shù)字。圖 1請看圖 1的第 2 列，數(shù)字 8 只出現(xiàn)在(2, 1)、(2, 7)和(2, 8)這三個宮格的候選數(shù)中；這時 隱性三鏈數(shù)刪減法的條件已成立了！這表示第 2 列的數(shù)字 7 和 8 將只能填到這三個宮格中，因為： 如果讓別的數(shù)字填入這三個宮格之中后，這三個相異的數(shù)字能填入的可能宮格就只剩下兩個，而那是 不可能的事！所以若這三個宮格的候選數(shù)中還有其它數(shù)字，全部是多余無用的，它們已不可能再用來 填入這些宮格中了，所以可以毫不考慮的把它們刪減掉。在各種的刪減法中，哪一個要先用 是隨個人之喜好的，并無限制。圖 4圖 4 是三鏈數(shù)刪減法發(fā)生在九宮格的例子：中央九宮格中的(4, 6)、(5, 4)、(5, 6)三個宮格候選數(shù)中， 相異的數(shù)字只有 9 三個，所以可以將這 3 個數(shù)字自其它宮格的候選數(shù)中刪減掉，于是 (6, 4)的候選數(shù) 9 將被刪減成 5，出現(xiàn)唯一候選數(shù)了。 2. 接下來：第 6 行中的(1, 6)、(4, 6)、(9, 6)三個宮格候選數(shù)中，相異的數(shù)字只有 7 三個， 這時，如果數(shù)字 7 被填入(1, 6)，那么(4, 6)將只能被填入數(shù)字 5，而(9, 6)就只能填入數(shù)字 6 了； 如果數(shù)字 6 被填入(1, 6)，那么(4, 6)、(9, 6)將出現(xiàn)數(shù)對 7，所以數(shù)字 7 就只能被填到 (4, 6)、(9, 6)中；不論出現(xiàn)的是哪一種狀況，數(shù)字 7 在本行都已使用，所以可以將 這 3 個數(shù)字自其它宮格的候選數(shù)中刪減掉，于是(5, 6)的候選數(shù)將繼續(xù)被刪減成 4，出現(xiàn)唯一候選數(shù)了。圖 1 就是 發(fā)生在列的例子了，其它的情況舉例如下： 2. 五鏈數(shù)刪減法就是：「找出某一列、某一行或某一個九宮格中的某五個宮格候選數(shù)中，相異的數(shù)字 不超過 5 個的情形，進而將這 5 個數(shù)字自其它宮格的候選數(shù)中刪減掉」的方法。如果將以上的說明內(nèi)容換成改成「找出某一列、某一行或某一個九宮格中的 某二個宮格候選數(shù)中，相