【正文】 （ a﹣ 1） + ． 【考點】分式的混合運算． 【分析】結合分式混合運算的運算法則進行求解即可． 【解答】解：原式 = + = + = + = ． 【點評】本題考查了分式的混合運算，解答本題的關鍵在于熟練掌握分式混合運算的運算法則． 20．解方程組： ． 【考點】高次方程． 【分析】由 ① 得出 x﹣ 2y=2或 x﹣ 2y=﹣ 2，原方程組轉化成兩個二元一次方程組，求出方程組的解即可． 【解答】解：由 ① 得： x﹣ 2y=2或 x﹣ 2y=﹣ 2． 第 52 頁（共 61 頁） 原方程可化為 ， 解得，原方程的解是 ， ． 【點評】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉化成二元一次方程組是解此題的關鍵． 21．已知：如圖，在平面直角坐標系 xOy中，反比例函數(shù) y= 的圖象與正比例函數(shù) y=kx（ k≠ 0）的圖象相交于橫坐標為 2 的點 A，平移直線 OA，使它經(jīng)過點 B（ 3， 0），與 y 軸交于點 C． （ 1）求平移后直線的表達式； （ 2）求 ∠ OBC的余切值． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；坐標與圖形變化 平移；解直角三角形． 【分析】（ 1）根據(jù)點 A 在反比例函數(shù)圖象上可求出點 A 的坐標，進而可求出正比例函數(shù)表達式，根據(jù)平移的性質可設直線 BC的函數(shù)解析式為 y=2x+b，根據(jù)點 B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出 b值，此題得解； （ 2）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點 C的坐標，從而得出 OC的值，再根據(jù)余切的定義即可得出結論． 【解答】解：（ 1）當 x=2時， y= =4， ∴ 點 A的坐標為（ 2， 4）． ∵ A（ 2， 4）在 y=kx（ k≠ 0）的圖象 上， ∴ 4=2k，解得： k=2． 設直線 BC的函數(shù)解析式為 y=2x+b， ∵ 點 B的坐標為（ 3， 0）， 第 53 頁（共 61 頁） ∴ 0=2 3+b，解得： b=﹣ 6， ∴ 平移后直線的表達式 y=2x﹣ 6． （ 2）當 x=0時， y=﹣ 6， ∴ 點 C的坐標為（ 0，﹣ 6）， ∴ OC=6． ∴ ． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及解直角三角形，根據(jù)點 B的坐標利用待定系數(shù)法求出直線 BC的解析式是解題的關鍵． 22．某校興趣小組想測量一座大樓 AB 的高度．如圖 6，大樓前有一段斜坡 BC，已知 BC 的長為 12 米，它的坡度 i=1： ．在離 C 點 40 米的 D 處，用測角儀測得大樓頂端 A 的仰角為37176。 ， ∴∠ BFD=72176。 ， ∠ BAD=36176。 ，過 D 作 ∠ ADB 的平分線 DF 推出 △ ABD∽△ DBF，解方程即可得到結論． 【解答】解：如圖，由旋轉的性質得到 AB=AD， ∠ CAB=∠ DAB， ∴∠ ABD=∠ ADB， ∵∠ CAD=∠ ABD， ∴∠ ABD=∠ ADB=2∠ BAD， ∵∠ ABD+∠ ADB+∠ BAD=180176。 ， AC=3， BC=2，邊 AB 的垂直平分線交 AC 邊于點 D，交 AB邊于點 E，聯(lián)結 DB，那么 tan∠ DBC的值是 ． 【考點】解直角三角形；線段垂直平分線的性質． 【專題】計算題；等腰三角形與直角三角形． 【分析】由 DE 垂直平分 AB，得到 AD=BD，設 CD=x，則有 BD=AD=3﹣ x，在直角三角形 BCD中，利用勾股定理求出 x的值，確定出 CD 的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求即可． 【解答】解： ∵ 邊 AB 的垂直平分線交 AC邊于點 D，交 AB邊于點 E， ∴ AD=BD， 第 49 頁（共 61 頁） 設 CD=x，則有 BD=AD=AC﹣ CD=3﹣ x， 在 Rt△ BCD中，根據(jù)勾股定理得：（ 3﹣ x） 2=x2+22， 解得： x= ， 則 tan∠ DBC= = ， 故答案為： 【點評】此題考查了解直角三角形，以及線段垂直平分線性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵． 17．如圖，在平行四邊形 ABCD 中，點 E 在邊 AD 上，聯(lián)結 CE 并延長，交對角線 BD 于點 F，交 BA的延長線于點 G，如果 DE=2AE，那么 CF： EF： EG= 6： 4： 5 ． 【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質． 【分析】設 AE=x，則 DE=2x，由四邊形 ABCD是平行四邊形得 BC=AD=AE+DE=3x， AD∥ BC，證△ GAE∽△ GBC、 △ DEF∽△ BCF 得 = = 、 = = ，即 = ，設 EF=2y，則 CF=3y、GE= y，從而得出答案． 【解答】解：設 AE=x，則 DE=2x， ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ BC=AD=AE+DE=3x， AD∥ BC， ∴△ GAE∽△ GBC， △ DEF∽△ BCF， ∴ = = ， = = ， ∴ = ， 設 EF=2y，則 CF=3y， ∴ EC=EF+CF=5y， ∴ GE= y， 第 50 頁（共 61 頁） 則 CF： EF： EG=3y： 2y： y=6： 4： 5， 故答案為： 6： 4： 5． 【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質及平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵． 18．如圖，已知 △ ABC，將 △ ABC繞點 A順時針旋轉，使點 C落在邊 AB 上的點 E處，點 B落在點 D處，連接 BD，如果 ∠ DAC=∠ DBA，那么 的值是 ． 【考點】旋轉的性質． 【分析】由旋轉的性質得到 AB=AD， ∠ CAB=∠ DAB，根據(jù)三角形的內角和得到 ∠ ABD=∠ADB=72176。=360176。 ，多邊形的外角和為 360176。 ，內角和是它的外角和的 2 倍，則內角和是 2 360=720度． n 邊形的內角和可以表示成（ n﹣ 2） ?180176。 ≈ ， tan37176。 ，測角儀 DE 的高為 ，求大樓 AB 的高度約為多少米？（結果精確到 ） （參考數(shù)據(jù)： sin37176。 ， AC=3， BC=2，邊 AB 的垂直平分線交 AC 邊于點 D，交 AB邊于點 E，聯(lián)結 DB，那么 tan∠ DBC的值是 ． 第 38 頁（共 61 頁） 17．如圖，在平行四邊形 ABCD 中，點 E 在邊 AD 上，聯(lián)結 CE 并延長，交對角線 BD 于點 F，交 BA的延長線于點 G，如果 DE=2AE，那么 CF： EF： EG= ． 18．如圖，已知 △ ABC，將 △ ABC繞點 A順時針旋轉，使點 C落在邊 AB 上的點 E處，點 B落在點 D處，連接 BD，如果 ∠ DAC=∠ DBA，那么 的值是 ． 三、解答題：（本大題共 7題，滿分 78分） 19．計算： 247。 ∴△ FCH 的面積為： CF?CH? = =4+2 ． 29．如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，已知點 A（ 0， 1）， B（ 0，﹣ 1）．點 P 是平面內任意一點，直線 PA， PB 與直線 x=4 分別交于 M， N 兩點．若以 MN 為直徑的圓恰好經(jīng)過點 C（ 2， 0），則稱此時的點 P 為理想點． （ 1）請判斷 P1（﹣ 4， 0）， P2（ 3， 0）是否為理想點； （ 2）若直線 x=﹣ 3 上存在理想點，求理想點的縱坐標； （ 3）若動直線 x=m（ m≠ 0）上存在理想點，直接寫出 m 的取值范圍． 【考點】 圓的綜合題． 【分析】 （ 1）） ① 如圖 1 中， O′是 MN 的中點，由 △ P1AB∽△ P1MN 得 = ，求出 MN，即可判斷． ② 如圖 2，畫出圖形即可判斷點 P2 不是理想點． （ 2）存在，如圖 3 中，作 PK⊥ MN 由 H，交 AB 于 G，假設 P 是理想點， MN 與x 軸的交點為 H，由 AB∥ MN，得 △ PAB∽△ PMN，得 = ，求出 MN，得到點M 的坐標，再求出直線 AM 的解析式，即可求出點 P 坐標，再根據(jù)對稱性求得另一個理想點． 第 34 頁（共 61 頁） （ 3）如圖 4 中，假設點 P 在 x 軸的正半軸上，是理想點，求出點 P 坐標即可解決問題． 【解答】 解：（ 1） ① 如圖 1 中， O′是 MN 的中點， ∵ AB∥ MN， ∴△ P1AB∽△ P1MN， ∴ = ， ∴ = ， ∴ MN=2， ∴ O′M=O′N=2， ∵ CO′=2， ∴ 點 C 在 ⊙ O′上， ∴ 點 P1 是理想點． ② 由圖 2 可知，點 P2 不是理想點． （ 2）存在， 如圖 3 中，作 PK⊥ MN 由 H，交 AB 于 G，假設 P 是理想點， MN 與 x 軸的交點第 35 頁（共 61 頁） 為 H． ∵ AB∥ MN， ∴△ PAB∽△ PMN， ∴ = ， ∴ = ， ∴ MN= ， ∴ O′M= ， 在 RT△ CHO′中， O′H= = ， ∴ MH= ﹣ = ， ∴ 點 M 坐標（ 4， ）， ∴ 直線 AM 的解析式為 y= x+1， ∴ x=﹣ 3 時， y= ， ∴ 點 P 坐標（﹣ 4， ）， 根據(jù)對稱性點 P′（﹣ 4，﹣ ）也是理想點． 線 x=﹣ 3 上存在理想點，理想點的縱坐標為 177。=30176。 ∴∠ DFC=45176。 DE=DF， ∴∠ DEF=∠ DFE=45176。 ∴∠ FGH=∠ CEF=45176。 ∵ AC=BC， ∴∠ A=∠ CBA=45176。 ∴∠ CEF=∠ FGH=135176。 ∠ 2+∠ CFD=90176。 DE=DF， ∴ DG∥ CB， ∵ 點 D 為 AC 的中點， ∴ 點 G 為 AB 的中點，且 DC= AC， ∴ DG 為 △ ABC 的中位線， ∴ DG= BC． ∵ AC=BC， ∴ DC=DG， ∴ DC﹣ DE=DG﹣ DF， 即 EC=FG． ∵∠ EDF=90176。﹣ ∠ DFC， ∠ CEF=∠ FGH=135176。請求出△ FCH 的面積 ∠ CFE=12176。．點 D 為 AC 的中點．將線段 DE 繞點 D 逆時針旋轉 90176。 ∴∠ BAD=90176。 ∴∠ ABC+∠ BAC=90176。 ∵ E 為 BC 的中點， ∴ DE= BC， ∴ DE=DC． 21． 2022 年 5 月 29 日，北京園博園迎來了 “挑戰(zhàn) 100，一起跑 ”百公里接力路跑賽事，活動里程共 100 公里，采用 10 人 10 公里的方式展開接力競賽．王剛是一名長跑愛好者，原來每天從家勻速跑步到單位，共 12 公里．為參加此次活動，王剛計劃加強訓練，速度提高到原來的 倍，結果提前 10 分鐘到單位．問王剛原來每小時跑多少公里？ 【考點】 分式方程的應用． 【分析】 先由題意得出等量關系列出方程即 ，然后解出來，最后檢驗并作答． 【解答】 解：設這個人從甲地到乙地原定的平均速度是每分鐘 x 千米， 則根據(jù)題意列出方程： ，解得： x=（千米 /分鐘）， 經(jīng)檢驗 x= 是所列出的分式方程的解， 第 21 頁（共 61 頁） 60=12 答：王剛原來每小時跑 12 公里． 22．如圖，菱形 ABCD 的對角線交于 O 點， DE∥ AC， CE∥ BD． （ 1）求證：四邊形 OCED 是矩形； （ 2）若 AD=5， BD=8，計算 tan∠ DCE 的值． 【考點】 矩形的判定；菱形的性質． 【分析】 （ 1）首先證明四邊形 OCED 是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質可得 AC⊥ BD，進而得到四邊形 OCED 是矩形； （ 2）首先根據(jù)菱形的性質可得 OD= BD=4， OC=OA， AD=CD，然后再根據(jù)勾股定理可計算出 DE=OC=3，再利用三角函數(shù)定義可得答案． 【解答】 （ 1）證明： ∵ DE∥ AC， CE∥ BD， ∴ 四邊形 OCED 是平行四邊形， ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥ BD， ∴∠ DOC=90176。． 故答案為： 60． 13．關于 x 的不等式 ax＜ b 的解集為 x＞ ﹣ 1，寫出一組滿足條件的實數(shù) a， b 的值： a= ﹣ 2 ， b= 2 ． 【考點】 解一元一次不等式． 【分析】 根據(jù)已知不等式的解集確定出 a 與 b 的關系，寫出一組滿足題意 a 與 b的值即可． 第 16 頁（共 61 頁） 【解答】 解： ∵ 不等式 ax＜ b 的解集為 x＞ ﹣ 1， ∴ =﹣ 1，且 a＜ 0， 則一組滿足條件的實數(shù) a=﹣ 2， b=2， 故答案為：﹣ 2； 2 14．我國明代數(shù)學家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》里有一道著名算題： 一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭， 小僧三人分一個，大小和尚各幾丁