七級數學思維探究三有理數的運算含答案(參考版)
2025-01-14 02:22本頁面
【正文】 楊輝，中國南宋時期杰出的數學家，大約于 13世紀中葉至末葉生活在錢塘（ 今 杭州）一帶 ． 他一生著作很多，著名的數學書共 5 種 21 卷 ． 大家熟悉的“楊輝三角”數表就在他 1261年所著的《詳解九章算術》一書里記載著，他在《續(xù)古摘奇算法》中介紹了各種形式的“縱橫圖”及有關的構造方法 ． 3． 有理數的運算 有理數及其運算是整個數與代數的基礎，有關式的所有運算都是建立在數的運算基礎上 ． 深刻理解有理數相關概念，掌握一定的有理數運算技能是數與代數學習的基礎 ． 有理數的運算不同于算術數的運算：這是因為有理數的運算每一步要確定符號，有理數的運算很多是字母運算，也就是常說的符號演算 ． 運算能力是運算技能與推理能力的結合 ． 這就要求我們既能正確地算出結果，又善于觀察問題的結構特點，選擇合理的運算路徑，提高運算的速度 ． 有理數運算常用的技巧與方法有： 利用運算律；以符代數；恰當分組；裂項相消；分解相約；錯位相減等 ． 問題解決 例 1 （ 1） 已知 ? ? ? ?2 1 , 2 , 3 ,1n aann???，記 ? ?1121ba??， ? ?? ?2 1 22 1 1b a a? ? ?，?，? ?? ? ? ?122 1 1 1nnb a a a? ? ? ?，則通過計算推測 nb 的 表達式 nb? ________． （用含 n 的代數式表示） （ 2）若 a 、 b 是互為相反數， c 、 d 是互為倒數， x 的絕對值等于 2 ，則 42x cdx a b? ? ? 的值是 ____． 試一試 對于 （ 2） ，運用相關概念的特征解題 ． 例 2 已知整數 a 、 b 、 c 、 d 滿足 25abcd? ，且 a b c d? ? ? ， 那么 a b c d? ? ? 等于 （ ） ． A． 0 B． 10 C． 2 D． 12 試一試 解題的關鍵是把 25 表示成 4 個不同整數的積的形式 ． 例 3 計算 （ 1） 1 1 2 1 2 3 1 2 5 92 3 3 4 4 4 6 0 6 0 6 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?； （ 2） 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 1 0 0? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?； （ 3） 7 7 3 7 1 2 1 7 3 81 7 2 7 1 1 1 3 8 52 7 1 7 3 9 1 7 2 7 3 9? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?． 試一試 對于 （ 1） ，設原式 S? ，將各括號反序相加；對于 （ 2） ，若計算每個分母值，則易掩蓋問題的實質，不妨先從考察一般情形 入 手；對于 （ 3） ，視除數為一整體，從尋找被除數與除數的關系 入 手， 例 4 在數學活動中，小明為了求2341 1 1 1 12 2 2 2 2 n? ? ? ? ?的值（結果用 n 表示），設計了如圖所示的幾何圖形 ． （ 1）請你用這個幾何圖形求2341 1 1 1 12 2 2 2 2 n? ? ? ? ?的值； （ 2）請你用圖②，再設計一個能求2 3 41 1 1 1 12 2 2 2 2 n? ? ? ? ?的值的幾何圖形 ． 試一試 求原式的值有不同的解題方法，而剖分圖形面積是構造圖形的關鍵 ． 例 5 在 1， 2 ，?， 2022 前面任意添上正號和負號，求其非負和的最小值 ． 分析與解 首先確定非負代數和的最小值的下限，然后通過構造法證明這個下限可以達到即可 ． 整數的和差仍是整數，而最小的非負整數是 0 ． 代數和的最小值能是 0 嗎？能是 1嗎？由于任意添“ +”號或“ ”號，形式多樣，因此，不可能一一嘗試再作解答，從奇數、偶數的性質入手 ． 圖 ①…12 412 312 212圖 ②因 ab? 與 ab? 的奇偶性相同，故所求代數和的奇偶性與? ?2 0 0 2 1 2 0 0 21 2 3 2 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 2 0 0 32??? ? ? ? ? ? ? ?的奇偶性相同，即為奇數 ． 因此，所求非負代數和不會小于 1． 又 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 99 20 00 20 01 20 02 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∵ ， ∴ 所求非負代數和的最小值為 1． 類比 類比是一種推理方法，根據兩種事物在某些特征上的相似，作出它們在其他特 征上也可能相似的結論 ． 觸類旁通，即用類比的方法提 出問題及尋求解決問題的途徑和方法 ． 例 6觀察下面的計算過程 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 411 2 2
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