七級(jí)數(shù)學(xué)思維探究實(shí)驗(yàn)與操作含答案(參考版)
2025-01-13 03:01本頁面
【正文】 施斗姆生于瑞士，因數(shù)學(xué)上的成就，于 1836 年當(dāng)選為法國科學(xué)院院士，他對(duì)射影幾何與微分幾何研究都作出了重要貢獻(xiàn)，在某次國際科學(xué)會(huì)議期間，一次有許多著名數(shù)學(xué)家參加的晚宴上，他提出了如下的一個(gè)輪船問題，人們稱它為 “柳卡趣題 ”． 每天中午有一艘輪船從法國巴黎的勒阿佛爾開往美國的紐約，且每天同一時(shí)間也有一艘輪船從紐約開往勒阿佛爾，輪船在途中需要七天七夜，假定所有輪船都以同一航線、同速勻速行駛，問某艘從勒阿佛爾開出的輪船，在到達(dá)紐約時(shí)，能遇到幾艘從紐約開 來的輪船？ 這個(gè)問題難倒了在場的所有數(shù)學(xué)家，連柳卡本人也沒有徹底解決 ． 后來有一位數(shù)學(xué)家通過構(gòu)圖解法，才使問題最終得以解決 ． 解 用 “時(shí)間 —路程圖 ”解答 ． 8 8 = 6 4 cm 2? ?①②③④53531 3 5 = 6 5 cm 2? ?②①④③ 3855babbaaaabbaabbbbaa日期日期紐約勒阿佛爾654321 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1717161514131211109871 2 3 4 5 6從圖上可以很清楚地看到，某艘從勒阿佛爾開出的輪船，在中途可以遇到 13艘從紐約開來的輪船，加上開航時(shí)與到達(dá)時(shí)相遇的 2 艘，因此一共遇到了 15艘從紐約開出的輪船 ． 練一練 1． 如圖，甲類紙片是邊長為 2 的正方形，乙類紙片是邊長為 1的正方形，丙類紙片是長、寬分別為 2 和1的長方形，現(xiàn)有甲類紙片 1張，乙類紙片 4 張，則應(yīng)至少取丙類紙片 _______張，才能用它們拼成一個(gè)新的正方形 ． 2． 有若干張如圖 ① 所示的正方形和長方形卡片，如果要拼一個(gè)長為 ? ?2ab? ，寬為 ? ?ab? 的矩形，則需要 A 類卡片 ___________張， B 類卡片 _________張， C 類卡片 ________張，請(qǐng)你在圖 ② 中的大矩形中畫出 一 種拼法 ． 3． 小明在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn) 8 個(gè)一樣大小的長方形如圖 ① 所示，恰好可以拼成一個(gè)大的長方形 ． 小紅看見了，說： “我來試一試， ”結(jié)果七拼八湊，拼成如圖 ② 那樣的正方形 ． 咳，怎么中間還留下了一個(gè)邊長為 2mm 的正方形洞！ 你能幫他們解開其中的奧秘嗎？ 4． 如圖 ① ，現(xiàn)有 aa? 、 bb? 的正方形紙片和 ab? 的矩形紙片各若干塊，試選用這些紙片（每種紙片至少用一次）在下面的虛線方框中拼成一個(gè)矩形（每兩個(gè)紙片之間既不重疊，也無空隙，拼出的圖中必須保留拼圖痕跡），使拼出的矩形面積為 222 5 2a ab b??，并標(biāo)出此矩形的長和寬 ． 5． 用新方法解釋舊模式常會(huì)推導(dǎo)絕妙的公式 ． 請(qǐng)你依下列圖形直觀分別寫出相應(yīng)公式 ． 甲 乙 丙圖 ①CBAabbbaa圖 ②2 a + ba + b圖 ① 圖 ②aaba bb 6． 如圖，九塊大小不等的正方形紙片 A ， B ， … ， I 無重疊、無縫隙地鋪滿了一塊長方形，已知 E 的邊長為 7 ，求其余各正方形的邊長 ． 圖 ① 圖 ② 圖 ③42322212圖 ④4 + 3 + 2 + 1） =+++3 （IHGFEDCBA阿 28． 實(shí)驗(yàn)與操作 問題解決 例 1 4? ； 4? 輸入 18，依次得到的結(jié)果為： 9 ， 4 ， 2 ， 1， 4? ， 2? ， 1? ， 6? ， 3? ， 8? ， 4? ，2? ， 1? ， … 顯然，除去前 4 次的結(jié)果外，從第 5 次的結(jié)果 4? 開始，每 6 次一個(gè)循環(huán)，而? ?2022 4 6 2022 6 334? ? ? ? ?余 1，故第 2022 次計(jì)算的結(jié)果為 4? ． 例 2 D 例 3 （ 1）當(dāng) 3n? 時(shí)， 13m? ； 4n? 時(shí)， 17m? ； …… 一般的 41mn??． （ 2）由 41mn??，得 103 4 1n??， ? ，因 n 不是正整數(shù)，故按此要求操作不可能得到 103個(gè)正方形 ． 例 4 用 1997 枚硬幣的朝向情況可用 1997 個(gè)數(shù)的乘積來表示 ． 若這些數(shù)之積為 1? （或 1? ），表明有奇數(shù)（或偶數(shù)枚硬幣朝下） ． 開始時(shí)，其乘積為 ? ? ? ?10 00 99 71 1 1? ? ? ? ?． 每次翻折 6 枚硬幣，即每次改變 6 個(gè)數(shù)的符號(hào)，其結(jié)果是 1997 個(gè)數(shù)之積仍為 1? ． 經(jīng)過有限次翻轉(zhuǎn)后，這個(gè)結(jié)果總保持不變，即國徽朝下的硬幣數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)枚，故回答是否定的 ． 數(shù)學(xué)沖浪 1． 畫圖略 2． 5 3． 36 4． 8 5． 略 6． 7． 先將三個(gè)空啤酒瓶放置成底面中心成 “正三角形 ”的位置，再將一個(gè)空啤酒瓶倒置放在這個(gè)三角形中心 P 的位置，保持中心 P 的位置不變，適當(dāng)移動(dòng)三個(gè)底朝下的空啤酒瓶，放大或縮小 “正三角形 ”，可使瓶底中心構(gòu)成四個(gè)邊長相等的 “正三角形 ”如圖（答案不唯一） ． 8． 9． 一個(gè)依次排列的 n 個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)串： 1a ， 2a ， 3a ， … ， na ，依題設(shè)操作方法可得新增的數(shù)為： 21aa? ，32aa? ， 43aa? ， … ， 1nnaa??，則新增數(shù)之和為： ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 3 2 4 3 1 1n n na a a a a a a a a a?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ※ ） 原數(shù)串為 3 個(gè)數(shù)： 3 ， 9 ， 8 ． 第 1次操作后所得數(shù)串為： 3 ， 6 ， 9 ， 1? ， 8 ，根據(jù)（ ※ ）可知，新增 2 項(xiàng)之和為： ? ?6 1 5 8 3? ? ? ? ?，第 2 次操作后所得數(shù)串為： 3 ， 3 ， 6 ， 3 ， 9 ， 10? ， 1? ， 9 ， 8 ，根據(jù)（ ※ ）可知，新增 4 項(xiàng)之和為? ?3 3 10 9 5 8 3? ? ? ? ? ? ?，按這個(gè)規(guī)律下去，第 100次操作后所得新數(shù)串所有數(shù)的和為：? ? ? ?3 9 8 100 8 3 520? ? ? ? ? ?． 或10． （ 1）經(jīng)過 6 次操作可達(dá)到要求：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19 , 8 , 9 21 , 7 , 8 23 , 6 , 7 25 , 5 , 6 24 , 4 , 8 23 , 3 , 10 22 , 2 , 12? ? ? ? ? ?． （ 2）不可能 ． 因?yàn)槊看尾僮骱?，每堆碼數(shù)要么加 2 ，要么少 1，而 19， 8 ， 9 被 3 除余數(shù)分別為 1， 2 ，0 ，經(jīng)過任何一次操作后余數(shù)分別是 0 ， 1， 2 ，不可能同時(shí)被 3 整除 ． 11． 不可能 我們?cè)O(shè)想 36 個(gè)展室都依次相間地鋪上了兩種顏色的地毯，則參觀者無論怎樣走法，只能按白 ? 黑 ? 白 ? 黑 ? 白 ? …… 的次序前進(jìn) ． 因此，不管參觀者怎樣走法，第 36 次只能走到一間黑色地毯的展室，絕不可能走到鋪白色地毯的展室出口 ． 12．（ 1）把可分得的邊長為整數(shù)的長方形按面積從小到大排列，有 11? ， 12? ， 13? ， 14? ， 22? ， 15? ，23? ， 24? ， 33? ， 25? ， 34? ， 35? ． 若能分成 5 張滿足條件的紙片，因?yàn)槠涿娣e之和應(yīng)為 15，所以滿足條件的有 11? 、 12? 、 13? 、 14? 、 15? （如圖 ① ）或 11? 、 12? 、 13? 、 22? 、 15? （如圖 ② ） （
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