高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)讀復(fù)習(xí)思考題答案(參考版)
2025-01-14 02:08本頁(yè)面
【正文】 。哥廷根大學(xué)由于高斯而建立起數(shù)學(xué)的光輝傳 16 統(tǒng)，這個(gè)傳統(tǒng)后來(lái)被幾何學(xué)家 Felix Klein 及杰出數(shù)學(xué)家 David Hilbert 所繼承。歐拉的代表性著作有《無(wú)窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》、《代數(shù)學(xué)全論》、《尋求具有某種極大或極小性質(zhì)的曲線技巧》等。 1727 年， 20 歲的歐拉作為當(dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家族第二代傳人 Daniel Bernoulli 的助手到彼得堡科學(xué)院工作， 14 年后受普魯士 Frederick大帝邀請(qǐng)到剛剛建立的柏林科學(xué)院任數(shù)學(xué)物理研究所所長(zhǎng)職務(wù)， 1759 年歐拉擔(dān)任 柏林科學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)人，總共在柏林科學(xué)院工作 25 年， 1766 年 59 歲已經(jīng)雙目失明的歐拉再次受葉卡捷林娜女王邀請(qǐng)重返彼得堡科學(xué)院工作。歐拉終生工作于兩個(gè)科學(xué)院，一個(gè)是俄羅斯的圣彼得堡科學(xué)院，另一個(gè)是柏林科學(xué)院。高斯的素?cái)?shù)分布猜想，直到 1949 年由兩位當(dāng)代最杰出的數(shù)論家給出初等證明。無(wú)論是微分幾何還是代數(shù)數(shù)論，直到現(xiàn)在正在研究的許 多數(shù)學(xué)問(wèn)題都與高斯最初所研究的問(wèn)題息息相關(guān)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教科書(shū)中幾乎處處都離不開(kāi)歐拉的名字：歐拉定理、歐拉公式、歐拉函數(shù)、歐拉方程，等等。例如： ??? s inc o s ie i ?? ，利用這個(gè)公式，我們能夠求出諸如 0 4 3 2 )1( ??? ??ei ， 2 1 44 3 3 ?? ? ?ei i 。例如，他求出了級(jí)數(shù)和：6514131211 22222 ?????? ?，求出“歐拉積”： ? ?????? psssssp111514131211 ?，其中（ s1）。歐拉 50 多歲之后，當(dāng)他已經(jīng)雙目失明之后，還完成了 400 多篇論文和著作。歐拉是一位真正著作等身的數(shù)學(xué)家，也是有史以來(lái)最多產(chǎn)的一位數(shù)學(xué)家。在微積分的基礎(chǔ)上進(jìn)一步產(chǎn)生了微分方程（常與偏）、復(fù)變函數(shù)、變分法、微分幾何、泛函分析等數(shù)學(xué)分支。 ● 17 世紀(jì)由于笛卡兒、費(fèi)馬，牛頓、萊布尼茨等人開(kāi)創(chuàng)性的工作，近代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了劃時(shí)代的變化。 幾乎與牛頓基本同時(shí)，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（ G. W. Leibniz, 1646— 1716）采用“微分三角形”的方法也達(dá)到了微分學(xué)的理論，之后萊布尼茨還利用“差序列”方法建立 了微分與積分的關(guān)系，用我們現(xiàn)在的理解和術(shù)語(yǔ)，這基本上相當(dāng)于發(fā)現(xiàn)了“微積分基本定理”。在《自 然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》之前，牛頓的另一部著作《流數(shù)簡(jiǎn)論》引入一種他自己想象的建立在時(shí)間概念上的無(wú)窮小增量“瞬”，利用字母“ 0”表示。該書(shū)從力學(xué)三大基本定律出發(fā)，運(yùn)用微積分工具，嚴(yán)格地推導(dǎo)證明了包括開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律、萬(wàn)有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還把微積分運(yùn)用于流體運(yùn)動(dòng)、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，顯示了微積分作為數(shù)學(xué)工具的巨大的威力。 ●微積 分理論的創(chuàng)立是近代數(shù)學(xué)最重大的成就之一，其標(biāo)志性的著作是出版于 1687 年牛頓（ Isaac Newton 1642— 1727）的劃時(shí)代著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。費(fèi)馬還是一位數(shù)學(xué)中的“問(wèn)題大師”，費(fèi)馬解決了一系列數(shù)論問(wèn)題，同時(shí)還提出了許多影響現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的重要猜想。 ●開(kāi)啟近代數(shù)學(xué)的兩位最重要的代表人物是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（ R. Descartes, 1596— 1650）與費(fèi)馬（ P. de Fermat, 1601— 1665）。 數(shù)學(xué)文化是指一個(gè)人通過(guò)某種特定的學(xué)習(xí)途徑獲得一定的數(shù)學(xué)知識(shí)之后，所表現(xiàn)出來(lái)的特有的行為準(zhǔn)則、思想觀念及對(duì)待事物的態(tài)度 .數(shù)學(xué)文化是由數(shù)學(xué)的思想、知識(shí)、方法、技術(shù)、理論等所輻射出來(lái)的能與相關(guān)文化領(lǐng)域結(jié)合為一體的一個(gè)具有強(qiáng)大精神與物質(zhì)功能的動(dòng)態(tài)系統(tǒng) . 數(shù)學(xué)文化包括以下幾個(gè)方面 .(1)知識(shí)成分 :包括數(shù)學(xué)理論知識(shí)、數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)語(yǔ)言等 .(2)能力因素 :包括數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、將問(wèn)題 通過(guò)適當(dāng)途徑而數(shù)學(xué)化的能力、邏輯論證能力、計(jì)算能力、問(wèn)題解決能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力等 .(3)數(shù)學(xué)觀念 :包括數(shù)學(xué)思維方式、思想觀點(diǎn)、情感態(tài)度、價(jià)值觀念 . 13 雖然數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容涵蓋了一個(gè)人數(shù)學(xué)修養(yǎng)的各個(gè)方面，但是它更強(qiáng)調(diào)當(dāng)一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)與其它各個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)能力相融合之后所表現(xiàn)出來(lái)的綜合素質(zhì) . 14． 下面列舉 5 個(gè)長(zhǎng)期困擾中小學(xué)學(xué)生和教師的數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)選擇其中 12個(gè)加以分析研究， 討論 如何在數(shù)學(xué)課程中更加恰當(dāng)?shù)亟鉀Q此類問(wèn)題 ，以教師教學(xué)中的探究引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究與思考?，F(xiàn)在我們暫時(shí)不對(duì)這些有分歧的觀點(diǎn)做出過(guò)多的判斷和評(píng)論，關(guān)于證法 2是否是真正的數(shù)學(xué)證明這個(gè)問(wèn)題，讀完下文之后讀者一定能夠自行判斷。而證法 2 直觀形象，通過(guò)這種途徑我們不但能夠證明公式，而且這是一種發(fā)現(xiàn)公式的真正途徑。一定不取 a，共有 mnC1? 種取法；一 定取 a，共有 11??mnC 種取法，加起來(lái)共 mnC個(gè)取法。 一個(gè)非常典型的模式直觀的實(shí)例是關(guān)于組合公式 111 ??? ?? mnmnmn CCC （ m， n 2）的證明。在上面的證法 2中我們把“從 n個(gè)元素的集合中取m個(gè)元素的過(guò)程分解為兩種絕然不同的取法程序，其 中一種在所取的 m個(gè)元素中不含固定元素 a，另中一種在所取的 m 個(gè)元素中含固定元素 a，這樣合在一起就 12 是從 n個(gè)元素的集合中取 m個(gè)元素的所有可能的情形”。模式直觀是一種在大多數(shù)場(chǎng)合不能利用幾何圖形并借助于視覺(jué)形象所產(chǎn)生的對(duì)于事物之間邏輯關(guān)系的一種直接的、形象的推斷和理解。 模式直觀是一種比圖形直觀更為廣泛的直觀思維途徑。 直觀幾何并不僅僅停留在直觀操作的層面 ，經(jīng)過(guò)教師的細(xì)心引導(dǎo)，直觀幾何中也可以包含豐富多彩的、嚴(yán)格的邏輯推理。本來(lái)，數(shù)學(xué)中的概念都是非常抽象的概念，而真正抽象的對(duì)象是難以思考的，直觀的幾何圖形是我們最容易利用的數(shù)學(xué)形象。觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、想象等認(rèn)知活動(dòng)在直觀幾何中以形形色色、豐富多彩的方式表現(xiàn)出來(lái)。學(xué)生能夠在直觀幾何課中遇到引人入勝的難題，例如，種種迷人的折紙與拼圖游戲，觀察和實(shí)驗(yàn)是直觀幾何的主要內(nèi) 容。集合直觀仍然是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的最有效的渠道，應(yīng)當(dāng)在各級(jí)學(xué)校盡可能廣泛地利用幾何思想。下面我們引用當(dāng)代偉大 的數(shù)學(xué)家 Michael Atiyah（ 1929— ，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，法國(guó)科學(xué)院、美國(guó)科學(xué)院、瑞典科學(xué)院外籍院士，菲爾茲獎(jiǎng)獲得者）的話：現(xiàn)代數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的差別更多地是在方式上而不是在實(shí)質(zhì)上。 11 11． 用教學(xué)實(shí)例說(shuō)明直觀幾何在
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