高中數(shù)學課程標準導讀復(fù)習思考題答案(參考版)
2025-01-14 02:08本頁面
【正文】 。哥廷根大學由于高斯而建立起數(shù)學的光輝傳 16 統(tǒng)，這個傳統(tǒng)后來被幾何學家 Felix Klein 及杰出數(shù)學家 David Hilbert 所繼承。歐拉的代表性著作有《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》、《代數(shù)學全論》、《尋求具有某種極大或極小性質(zhì)的曲線技巧》等。 1727 年， 20 歲的歐拉作為當時著名數(shù)學家族第二代傳人 Daniel Bernoulli 的助手到彼得堡科學院工作， 14 年后受普魯士 Frederick大帝邀請到剛剛建立的柏林科學院任數(shù)學物理研究所所長職務(wù)， 1759 年歐拉擔任 柏林科學院領(lǐng)導人，總共在柏林科學院工作 25 年， 1766 年 59 歲已經(jīng)雙目失明的歐拉再次受葉卡捷林娜女王邀請重返彼得堡科學院工作。歐拉終生工作于兩個科學院，一個是俄羅斯的圣彼得堡科學院，另一個是柏林科學院。高斯的素數(shù)分布猜想，直到 1949 年由兩位當代最杰出的數(shù)論家給出初等證明。無論是微分幾何還是代數(shù)數(shù)論，直到現(xiàn)在正在研究的許 多數(shù)學問題都與高斯最初所研究的問題息息相關(guān)?，F(xiàn)代數(shù)學教科書中幾乎處處都離不開歐拉的名字：歐拉定理、歐拉公式、歐拉函數(shù)、歐拉方程，等等。例如： ??? s inc o s ie i ?? ，利用這個公式，我們能夠求出諸如 0 4 3 2 )1( ??? ??ei ， 2 1 44 3 3 ?? ? ?ei i 。例如，他求出了級數(shù)和：6514131211 22222 ?????? ?，求出“歐拉積”： ? ?????? psssssp111514131211 ?，其中（ s1）。歐拉 50 多歲之后，當他已經(jīng)雙目失明之后，還完成了 400 多篇論文和著作。歐拉是一位真正著作等身的數(shù)學家，也是有史以來最多產(chǎn)的一位數(shù)學家。在微積分的基礎(chǔ)上進一步產(chǎn)生了微分方程（常與偏）、復(fù)變函數(shù)、變分法、微分幾何、泛函分析等數(shù)學分支。 ● 17 世紀由于笛卡兒、費馬，牛頓、萊布尼茨等人開創(chuàng)性的工作，近代數(shù)學產(chǎn)生了劃時代的變化。 幾乎與牛頓基本同時，德國數(shù)學家萊布尼茨（ G. W. Leibniz, 1646— 1716）采用“微分三角形”的方法也達到了微分學的理論，之后萊布尼茨還利用“差序列”方法建立 了微分與積分的關(guān)系，用我們現(xiàn)在的理解和術(shù)語，這基本上相當于發(fā)現(xiàn)了“微積分基本定理”。在《自 然哲學的數(shù)學原理》之前，牛頓的另一部著作《流數(shù)簡論》引入一種他自己想象的建立在時間概念上的無窮小增量“瞬”，利用字母“ 0”表示。該書從力學三大基本定律出發(fā)，運用微積分工具，嚴格地推導證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還把微積分運用于流體運動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，顯示了微積分作為數(shù)學工具的巨大的威力。 ●微積 分理論的創(chuàng)立是近代數(shù)學最重大的成就之一，其標志性的著作是出版于 1687 年牛頓（ Isaac Newton 1642— 1727）的劃時代著作《自然哲學的數(shù)學原理》。費馬還是一位數(shù)學中的“問題大師”，費馬解決了一系列數(shù)論問題，同時還提出了許多影響現(xiàn)代數(shù)學研究的重要猜想。 ●開啟近代數(shù)學的兩位最重要的代表人物是法國數(shù)學家笛卡兒（ R. Descartes, 1596— 1650）與費馬（ P. de Fermat, 1601— 1665）。 數(shù)學文化是指一個人通過某種特定的學習途徑獲得一定的數(shù)學知識之后，所表現(xiàn)出來的特有的行為準則、思想觀念及對待事物的態(tài)度 .數(shù)學文化是由數(shù)學的思想、知識、方法、技術(shù)、理論等所輻射出來的能與相關(guān)文化領(lǐng)域結(jié)合為一體的一個具有強大精神與物質(zhì)功能的動態(tài)系統(tǒng) . 數(shù)學文化包括以下幾個方面 .(1)知識成分 :包括數(shù)學理論知識、數(shù)學問題、數(shù)學語言等 .(2)能力因素 :包括數(shù)學應(yīng)用能力、將問題 通過適當途徑而數(shù)學化的能力、邏輯論證能力、計算能力、問題解決能力、數(shù)學表達能力等 .(3)數(shù)學觀念 :包括數(shù)學思維方式、思想觀點、情感態(tài)度、價值觀念 . 13 雖然數(shù)學文化的內(nèi)容涵蓋了一個人數(shù)學修養(yǎng)的各個方面，但是它更強調(diào)當一個人的數(shù)學知識與其它各個領(lǐng)域的知識能力相融合之后所表現(xiàn)出來的綜合素質(zhì) . 14． 下面列舉 5 個長期困擾中小學學生和教師的數(shù)學問題，請選擇其中 12個加以分析研究， 討論 如何在數(shù)學課程中更加恰當?shù)亟鉀Q此類問題 ，以教師教學中的探究引導學生進行數(shù)學問題的探究與思考?，F(xiàn)在我們暫時不對這些有分歧的觀點做出過多的判斷和評論，關(guān)于證法 2是否是真正的數(shù)學證明這個問題，讀完下文之后讀者一定能夠自行判斷。而證法 2 直觀形象，通過這種途徑我們不但能夠證明公式，而且這是一種發(fā)現(xiàn)公式的真正途徑。一定不取 a，共有 mnC1? 種取法；一 定取 a，共有 11??mnC 種取法，加起來共 mnC個取法。 一個非常典型的模式直觀的實例是關(guān)于組合公式 111 ??? ?? mnmnmn CCC （ m， n 2）的證明。在上面的證法 2中我們把“從 n個元素的集合中取m個元素的過程分解為兩種絕然不同的取法程序，其 中一種在所取的 m個元素中不含固定元素 a，另中一種在所取的 m 個元素中含固定元素 a，這樣合在一起就 12 是從 n個元素的集合中取 m個元素的所有可能的情形”。模式直觀是一種在大多數(shù)場合不能利用幾何圖形并借助于視覺形象所產(chǎn)生的對于事物之間邏輯關(guān)系的一種直接的、形象的推斷和理解。 模式直觀是一種比圖形直觀更為廣泛的直觀思維途徑。 直觀幾何并不僅僅停留在直觀操作的層面 ，經(jīng)過教師的細心引導，直觀幾何中也可以包含豐富多彩的、嚴格的邏輯推理。本來，數(shù)學中的概念都是非常抽象的概念，而真正抽象的對象是難以思考的，直觀的幾何圖形是我們最容易利用的數(shù)學形象。觀察、實驗、操作、想象等認知活動在直觀幾何中以形形色色、豐富多彩的方式表現(xiàn)出來。學生能夠在直觀幾何課中遇到引人入勝的難題，例如，種種迷人的折紙與拼圖游戲，觀察和實驗是直觀幾何的主要內(nèi) 容。集合直觀仍然是領(lǐng)悟數(shù)學的最有效的渠道，應(yīng)當在各級學校盡可能廣泛地利用幾何思想。下面我們引用當代偉大 的數(shù)學家 Michael Atiyah（ 1929— ，英國皇家學會會員，法國科學院、美國科學院、瑞典科學院外籍院士，菲爾茲獎獲得者）的話：現(xiàn)代數(shù)學與傳統(tǒng)數(shù)學的差別更多地是在方式上而不是在實質(zhì)上。 11 11． 用教學實例說明直觀幾何在
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1