【正文】 一根原料鋼管最多生產(chǎn) 5根產(chǎn)品 。 2022 鄭州大學數(shù)學建模選拔考試部分題目及答案 鋼管下料費用最低問題 問題：某鋼管零售商從鋼管廠進貨，將鋼管按照顧客的 要求切割后售出 .從鋼管廠進貨時得到的原料鋼管長度是 15 根 290mm、 28 根 315mm、 20根 350mm 和 30 根 455mm 的鋼管。試設計一 個安全過河方案，并使渡河次數(shù)盡量少。問一只老鼠能否從地表和鐵絲間穿過，并說明理由。 07 數(shù)學建模選拔試題 1 x z y 1 1 )1,0,1( )1,1,0( A B C 1． 某工廠計劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品 I 和 II，已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的耗水量及 A、 B 兩種原料的消耗量與利潤如下表 I（件） II（件） 限量 耗水量（噸 /件） 1 2 8 噸 A （ kg/件） 4 0 16kg B （ kg/件） 0 4 12kg 獲 利（元 /件） 2 3 如何安排生產(chǎn)計劃使得產(chǎn)品的獲利最大？ 2．設在長江的某一水質(zhì)觀測站測得某種污染物的初始濃度為 1000 單位，污染物每小時有百分之一被自然降解。 則 21)()()( ??? APCPBP 。 所求事件的概率為 ＝事件的體積正方體的體積事件的體積?P 。 解：設三個線段的長度分別為 zyx, 。試設計一個安全過河方案，并使渡河次數(shù)盡量少?？梢糟@過去。 ??LR 。 解：設地球的半徑為 R ，周長為 L ，于是 ?2LR? 。 3. 有一根鐵絲繞剛好地球一周，如果把鐵絲加長一米，并且均勻分布在地球一周。 解得 xvkeCxC ?? 0)( 。 又因 dtdCvdxdtdtdCdxdC ???? 1， 則 dxdCvdtdC ? 。已知長江水的流速為每小時 5 公里，問在觀測站下游 x 公里處污染物的濃度為多少？ 解：設 v —— 水的流速（ m/h）， C —— 污染物濃度， 0C —— 初始濃度 k —— 污染物降解系數(shù)， x —— 下游與觀測站的距離。 21 32m a x xxL ??目標函數(shù) ，約束條件 ????????????0,12416482212121xxxxxx 。 （ 2）說明在什么情況下，走得越快淋雨量越少，在什么情況下則不是這樣。你是否走得越快，淋雨量越少呢？ （ 1） 人體簡化為長方柱，表面積之比為前：側(cè)：頂＝ 1： a： b。第一條裝配線每天有 80 個可用工時，第一條裝配線每天有 60個可用工時，電腦和手機每臺的利潤分別為 100元和 80元。 請問，他是如何預言的？ 三 . 建模思維測試 (每小題 25 分，共 50 分 ) 1. 設某廠生產(chǎn)電腦和手機兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)需要逐次經(jīng)過兩條裝配進行裝配。你如果預言對了，我就讓你服毒死；否則，我就絞死你。這時你會怎么處理？ （ ） ，接受父母安排 ，過一天算一天 2. 場景二：結(jié)束兩個假期渡假村的悠閑生活，身心都得到充分的休息，又必須重回忙碌的工作戰(zhàn)場 ，面對堆積如山的文件和等待完成的任務，你的心情如何？ （ ） 、充滿干勁 B. 恨不得永遠方放假，都不要再工作 ，但已知足，準備收心好好工作 ，不太想工作 3. 場景三：某天，你正在一家知名的百貨公司里閑逛，突然聽到身邊有人在談論你的作品，并且批評得已一文不值，這時你會怎么反應？ （ ） B不想再聽下去直接走開 ，毫無情緒的加入談論 4．場景四：你本來想坐在沙發(fā)上看雜志，不過可能因為太安靜了，讓你的思緒不自覺的就陷入回憶的時光隧道之中，請問你想起以前的什么事？ （ ） B. 小時候因頑皮被揍的經(jīng)驗 D. 曾經(jīng)做過的糗事 5．場景五：只要到過夢幻餐廳的人，沒有一個會給負面評價，你認為最主要的原因是什么？（ ） 6．場景六：某天，你正打算到附近的廣場走走，沒想到才出門走了十分鐘，天空就下起雨來了，而沒有帶雨具，這時你會怎么做？ （ ） ，繼續(xù)走 ，直接打道回府 ，若雨勢真的越來越大才放棄 ，都堅持走到目的地 7. 場景七：你在鄉(xiāng)村生活的這幾天，從當?shù)厝松砩细惺艿綇奈从H近過的溫暖熱情， 讓你深深感動，若要你用一句話來形容這種感覺，你會選那一個？ （ ） A．向初夏的陽光既燦爛又溫和 B. 像老酒的香醇濃郁 C. 向寒冬時用來取火的炭火 8. 場景八：在童年的玩伴之中，有一個是你很喜歡的對象，大家每次看到你和他同時出現(xiàn)，都會笑著大喊： “ 厚～戀愛！男生愛女生 ?? 。 請建立模型解決： （ 1）確定每個月初到來和月底離開的工人數(shù)的人員規(guī)劃，使總成本最低？ （ 2）如果 7月的安裝工人需求量變?yōu)?5名，是否改變已有的規(guī)劃？ （ 3） 如果借調(diào)一名安裝工所需要支出由 100元變成 200元，是否改變已有的規(guī)劃？ （ 4） 如果每缺員 1 人的額外支出費用由 200 元 /人變成三月： 200元 /人、四月：300元 /人、五月 300 元 /人、六月 250元 /人、七月 300元 /人、八月 200 元 /人，試確定新的人員規(guī)劃。 同時，根據(jù)工作協(xié)議：每天加班時間不能超過正常工作時間的 25%；每個月至多只能新來 3名工人；每個月底離開此工地去其它工地的工人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的 13 。表1列出了某個工地上在六個月內(nèi)對鋼結(jié)構(gòu)安裝工的需求人數(shù)。 附錄： 4省區(qū)有關(guān)數(shù)據(jù)。為實現(xiàn)這一目標，國家“十二五規(guī)劃”也明確提出了階段的約束性指標。 （ 2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立數(shù)學模型預測 2022年 4個省的人均 2CO 排放量。發(fā)展低碳經(jīng)濟，必須在《聯(lián)合國氣候變化框架公約》的基礎上，它需要國家的支持，需要每一個企業(yè)單位，每一個人的努力，涉及到低碳文化、低碳立法、低碳政策、低碳金融、低碳貿(mào)易、低碳企業(yè)治理、低碳城市構(gòu)建等方方面面，需要自然科學、技術(shù)科學、人文、社會、管理科學之間的融合與協(xié)調(diào)作戰(zhàn)。 “低碳”的基本含義是較低地排放以二氧化碳為代表的溫室氣體。 食品 營養(yǎng)含量 A B （單位） 鐵 蛋白質(zhì) 鈣 10 5 5 8 6 5 （ mg） (g) (mg) 價格 4 3 (元 /kg) 解：設購買食品 A 的數(shù)量為 1x kg，購買食品 B 的數(shù)量為 2x kg，建立線性規(guī)劃模型： ?????????????????0,04256408550510..34m in2121212121xxxxxxxxtsxxZ LinDo 程序為： end425x26x1 3)408x25x1 2)505x210x1 1)st3x24x1 m in??????? 一、（必做題） （ 1）質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量（本題 10 分） 已知在平面上的 n 個質(zhì)點 1 1 , 1 2 2 , 2 ,( ), ( ), .. ., ( )n n nP x y P x y P x y，其質(zhì)量分別為12, ,... nm m m ，請你確定一個點 ( , )Pxy ，使得質(zhì)點系 關(guān)于此點的轉(zhuǎn)動慣量為最小。設 P(r)是售出 r 份報紙的概率，試確定合理的訂報份數(shù)，使報童的期望損失最小。問此人是否 必在 兩 天中的同一 時 刻 經(jīng)過 路 徑 中的同一地點？ 為 什 么 ？ 解： 我們從 A 點為始點記路程，設從 A 點到 B 點的路程函數(shù)為 ，設從 B 點到 A 點的路程函數(shù)為 。r39。k+39。 z=Z.*n。 T=t./n。 y 20 40 60 80 100 x 1141 2022 2760 3413 4004 format long t=[20 40 60 80 100]。若人口增長率受現(xiàn)有人數(shù) )(tx 的制約，并設當前最多能容納的人數(shù)為 mx ，則 Logistic 模型為 （ 2） 。假設在某一時刻，兔子跑到 (0,h) 處，而狼在 (x,y) 處，則有1002()02 1 ( )xhyfxxh f x d x??? ??????????, 整理得 :22 ( ) 1 ( )( 1 0 0 ) 0 , ( 1 0 0 ) 0x f x f xff??? ?????????? 這屬于可降階的二階微分方程，解得狼的行走軌跡 31221 2 0 0( ) 1 03 0 3f x x x? ? ? 因 200( 0 ) 6 03f ??，所以狼追不上兔子。由于狼要盯著兔子追， 所以狼行走的是一條曲線，且在同 一時刻，曲線上狼的位置與兔子的 位置的連線為曲線上該點處的切線。假設兔子與狼同時發(fā)現(xiàn)對方并一起起跑，兔子往正北 60 米處的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是勻速跑且狼的速度是兔子的兩倍。 解：設鞋店第隔 x 天批發(fā)一次貨，每次進貨量為 y，則在一個進貨周期內(nèi)的費用共有： ?? ??? xi iyyxC 0 )100(),( 只 考 慮 不 允 許 缺 貨 的 情 況 ， 即 xy 100? ， 則 平 均 每 天 的 費 用 有 ：2 100*),( xxx yxC ?? ， 考慮上式，當且僅當 20100* 200*2 ??x(天 )時，平均每天的費用最小，此時每次進貨 2022(雙 )。請建立數(shù)學模型尋求最佳進貨方式。 解 : (1) 把第 2 行 ,第 2 列 ,兩對角線所有數(shù)字相加 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9 數(shù)字各出現(xiàn) 1 次 ,而中間數(shù)字記 為 x 多出現(xiàn) 了 3 次 ,列出方程 1543)987654321( ??????????? x 解方程得 x=5, 中間格 x22 為 5 (2) 數(shù)字 1 不能填對角 ,否則相應一個對角為 9 而 1 對應行 ,列總和為 14,而 14=6+8 僅有一種排法 由對稱性有右圖填法 ( 2 分 ) 把余下數(shù)分 3 個一組 ,按總和為 15 分為 第一組 (3,4,8)預放入第 1 行 , 第 2 組 (2,6,7) 預放入第 3 行 ( 2 分 ) 調(diào)整次序不難得出右圖最終結(jié)果 (2)別一法 :利用上圖列出方程 ?????????????????????610141515kcnbmaknmcba 解空間是 1 維 , 取 k 為自由變量 (k=2,3,4,6,7,8),取 k=2 時其它變量全為整數(shù)。 (1) 中間格 的 數(shù)字 應該 為 多少？并 證明 之。 試建立桌子在四條腿腳呈 長 方形時的數(shù)學模型，以說明桌子能否在地面上放穩(wěn)的問題。 答：摘要要用獨立的一頁來寫，字數(shù)為 300 字左右。 答：應該主要包含論文標題，摘要，問題重述，問題分析，模型建立，模型求解，模型驗證，模型分析與改進，模型評價，參考文獻等內(nèi)容。 1 2 3 4 5 6 7 看看就明白了。就可以看到有七個小分區(qū)了。如果有 5 個學生三個小組全參加了，問有多少個學生只參加了一個小組 ? 解析（方法 1）： 17+13+30355 2 =參加二門的人 得 15 再加上參加 3 門的為 5. 可得只參加一門的為 15 最好是自己要紙上畫三個圓?，F(xiàn)已知參加英語小組的有 17 人。 2＝ 150（千米） ,如果甲堆運往乙堆 10 噸 ,那么甲堆就會比乙堆少 5 噸 .現(xiàn)在兩堆都運走相同的若干噸后 ,乙堆剩下的是甲堆剩下的 17/ ? 解析 : 由甲堆運往乙堆 10 噸 , 甲堆就會比乙堆少 5 噸可知 :甲堆比乙堆多 10— 5/2= 噸