【正文】 2022 年 2022 年 2022 年 2022 年 北京 上海 重慶 四川 三、建筑工地人員規(guī)劃問(wèn)題 在建筑工地上負(fù)責(zé)架設(shè)高層建筑的鋼結(jié)構(gòu)的建筑工人稱(chēng)為鋼結(jié)構(gòu)安裝工。表1列出了某個(gè)工地上在六個(gè)月內(nèi)對(duì)鋼結(jié)構(gòu)安裝工的需求人數(shù)。在每個(gè)月第一天可以從其它工地向此工地借調(diào)工人，每借調(diào)一名工人需要支出 100元；在每個(gè)月的最后一天，工人可以離開(kāi)去其它工地，此時(shí)每有一名工人離開(kāi)需要支出 100元；工人過(guò)多或者過(guò)少都會(huì)帶來(lái)額外支出，每缺員 1人需要額外支出 200 元（如果人員不足出現(xiàn)缺員，則其他工人需要加班，因此有額外支出），每冗員 1 人需要多支出 200元 。 同時(shí)，根據(jù)工作協(xié)議：每天加班時(shí)間不能超過(guò)正常工作時(shí)間的 25%；每個(gè)月至多只能新來(lái) 3名工人；每個(gè)月底離開(kāi)此工地去其它工地的工人數(shù)不能超過(guò)總?cè)藬?shù)的 13 。 假定在 2月底此工地上已經(jīng)有了 3名鋼結(jié)構(gòu)安裝工，且在 2月底沒(méi)有人離開(kāi)，并且要求在 8月底此工地上仍然有 3名鋼結(jié)構(gòu)安裝工。 請(qǐng)建立模型解決： （ 1）確定每個(gè)月初到來(lái)和月底離開(kāi)的工人數(shù)的人員規(guī)劃，使總成本最低？ （ 2）如果 7月的安裝工人需求量變?yōu)?5名，是否改變已有的規(guī)劃？ （ 3） 如果借調(diào)一名安裝工所需要支出由 100元變成 200元，是否改變已有的規(guī)劃？ （ 4） 如果每缺員 1 人的額外支出費(fèi)用由 200 元 /人變成三月： 200元 /人、四月：300元 /人、五月 300 元 /人、六月 250元 /人、七月 300元 /人、八月 200 元 /人，試確定新的人員規(guī)劃。 表 1 每月鋼結(jié)構(gòu)安裝工需求量 三月 四月 五月 六月 七月 八月 4 6 7 4 6 2 一 、建模特質(zhì)測(cè)試題（在 ABCD只選一個(gè)答案） （每小題 5分，共 40 分） 1．場(chǎng)景一：父母雖知道你有心儀且交往中的對(duì)象，可是為了因應(yīng)時(shí)局的變化，以及讓家中企業(yè)組織更加壯大，決定和一家財(cái)力相當(dāng) 的公司結(jié)盟，條件之一就是兩家必須聯(lián)姻，一方面是以表誠(chéng)意，另一方面則是穩(wěn)固日后合作的發(fā)展關(guān)系。這時(shí)你會(huì)怎么處理？ （ ） ，接受父母安排 ，過(guò)一天算一天 2. 場(chǎng)景二：結(jié)束兩個(gè)假期渡假村的悠閑生活，身心都得到充分的休息，又必須重回忙碌的工作戰(zhàn)場(chǎng) ，面對(duì)堆積如山的文件和等待完成的任務(wù)，你的心情如何？ （ ） 、充滿(mǎn)干勁 B. 恨不得永遠(yuǎn)方放假，都不要再工作 ，但已知足，準(zhǔn)備收心好好工作 ，不太想工作 3. 場(chǎng)景三：某天，你正在一家知名的百貨公司里閑逛，突然聽(tīng)到身邊有人在談?wù)撃愕淖髌罚⑶遗u(píng)得已一文不值，這時(shí)你會(huì)怎么反應(yīng)？ （ ） B不想再聽(tīng)下去直接走開(kāi) ，毫無(wú)情緒的加入談?wù)? 4．場(chǎng)景四：你本來(lái)想坐在沙發(fā)上看雜志，不過(guò)可能因?yàn)樘察o了，讓你的思緒不自覺(jué)的就陷入回憶的時(shí)光隧道之中，請(qǐng)問(wèn)你想起以前的什么事？ （ ） B. 小時(shí)候因頑皮被揍的經(jīng)驗(yàn) D. 曾經(jīng)做過(guò)的糗事 5．場(chǎng)景五：只要到過(guò)夢(mèng)幻餐廳的人，沒(méi)有一個(gè)會(huì)給負(fù)面評(píng)價(jià)，你認(rèn)為最主要的原因是什么？（ ） 6．場(chǎng)景六：某天，你正打算到附近的廣場(chǎng)走走，沒(méi)想到才出門(mén)走了十分鐘，天空就下起雨來(lái)了，而沒(méi)有帶雨具，這時(shí)你會(huì)怎么做？ （ ） ，繼續(xù)走 ，直接打道回府 ，若雨勢(shì)真的越來(lái)越大才放棄 ，都堅(jiān)持走到目的地 7. 場(chǎng)景七：你在鄉(xiāng)村生活的這幾天，從當(dāng)?shù)厝松砩细惺艿綇奈从H近過(guò)的溫暖熱情， 讓你深深感動(dòng)，若要你用一句話來(lái)形容這種感覺(jué)，你會(huì)選那一個(gè)？ （ ） A．向初夏的陽(yáng)光既燦爛又溫和 B. 像老酒的香醇濃郁 C. 向寒冬時(shí)用來(lái)取火的炭火 8. 場(chǎng)景八：在童年的玩伴之中，有一個(gè)是你很喜歡的對(duì)象，大家每次看到你和他同時(shí)出現(xiàn)，都會(huì)笑著大喊： “ 厚～戀愛(ài)！男生愛(ài)女生 ?? 。 ” 讓你們兩人都羞紅了臉，后來(lái)因?yàn)榘峒叶ヂ?lián)絡(luò)，從此再?zèng)]見(jiàn)面，如果現(xiàn)在有機(jī)會(huì)見(jiàn)到對(duì)方，你會(huì)想嗎？ （ ） 二 ．思維靈活度測(cè)試 （每小題 10 分，共 10分） 在臨上刑場(chǎng)前，國(guó)王對(duì)預(yù)言家說(shuō)： “ 你不是很會(huì)預(yù)言嗎？你怎么不能預(yù)言到你今天要被處死呢？我給你一個(gè)機(jī)會(huì)，你可以預(yù)言一下今天我將如何處死你。你如果預(yù)言對(duì)了，我就讓你服毒死；否則，我就絞死你。 ” 但是聰明的預(yù)言家的回答，使得國(guó)王無(wú)論如何也無(wú)法將他處死。 請(qǐng)問(wèn)，他是如何預(yù)言的？ 三 . 建模思維測(cè)試 (每小題 25 分，共 50 分 ) 1. 設(shè)某廠生產(chǎn)電腦和手機(jī)兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)需要逐次經(jīng)過(guò)兩條裝配進(jìn)行裝配。電腦在第一 條裝配線每臺(tái)需要 2小時(shí)，在第二條裝配線每臺(tái)需要 3小時(shí)；手機(jī)在第一條裝配線每臺(tái)需要 4小時(shí)，在第二條裝配線每臺(tái)需要 1小時(shí)。第一條裝配線每天有 80 個(gè)可用工時(shí)，第一條裝配線每天有 60個(gè)可用工時(shí)，電腦和手機(jī)每臺(tái)的利潤(rùn)分別為 100元和 80元。問(wèn)怎樣制定生產(chǎn)計(jì)劃？ 你要在雨中從一處走到另一處，雨速是常數(shù)，方向不變。你是否走得越快，淋雨量越少呢？ （ 1） 人體簡(jiǎn)化為長(zhǎng)方柱，表面積之比為前：側(cè)：頂＝ 1： a： b。選坐標(biāo)系將人的速度表為（ V， 0， 0），即延 X 軸方向行走， V＞ 0，而設(shè)雨速為（ ux， uy， uz），行走的 距離為 L，寫(xiě)出淋雨量的 表達(dá)式。 （ 2）說(shuō)明在什么情況下，走得越快淋雨量越少，在什么情況下則不是這樣。 07 數(shù)學(xué)建模選拔試題 1． 某工廠計(jì)劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品 I 和 II，已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的耗水量及 A、 B 兩種原料的消耗量與利潤(rùn)如下表 I（件） II（件） 限量 耗水量（噸 /件） 1 2 8 噸 A （ kg/件） 4 0 16kg B （ kg/件） 0 4 12kg 獲 利（元 /件） 2 3 如何安排生產(chǎn)計(jì)劃使得產(chǎn)品的獲利最大？ 解：設(shè) 21,xx 分別 是 I、 II 兩類(lèi)產(chǎn)品的產(chǎn)量。 21 32m a x xxL ??目標(biāo)函數(shù) ，約束條件 ????????????0,12416482212121xxxxxx 。圖解法 142,4 21 ??? Lxx 時(shí)可得最大利潤(rùn)當(dāng) 2．設(shè)在長(zhǎng)江的某一水質(zhì)觀測(cè)站測(cè)得某種污染物的初始濃度為 1000 單位，污染物每小時(shí)有百分之一被自然降解。已知長(zhǎng)江水的流速為每小時(shí) 5 公里，問(wèn)在觀測(cè)站下游 x 公里處污染物的濃度為多少？ 解：設(shè) v —— 水的流速（ m/h）， C —— 污染物濃度， 0C —— 初始濃度 k —— 污染物降解系數(shù)， x —— 下游與觀測(cè)站的距離。 設(shè) )()( xCtCC ?? ，由已知條件有微分方程 kCdtdC ?? 。 又因 dtdCvdxdtdtdCdxdC ???? 1， 則 dxdCvdtdC ? 。 代入到微分方程中去可得 0?? kCdxdCv 。 解得 xvkeCxC ?? 0)( 。將有關(guān)數(shù)據(jù)代入可得 5001000)( xexC ?? 。 3. 有一根鐵絲繞剛好地球一周，如果把鐵絲加長(zhǎng)一米，并且均勻分布在地球一周。問(wèn)一只1 2 3 4 4 3 2 1 1x2x82 21 ?? xx21 32 xxL ??老鼠能否從地表和鐵絲間穿過(guò)，并說(shuō)明理由。 解：設(shè)地球的半徑為 R ，周長(zhǎng)為 L ，于是 ?2LR? 。 當(dāng)周長(zhǎng)增加一米時(shí)，半徑為 ?2 139。 ??LR 。 于是 1 ?????? ??? LLR (米 ) ?？梢糟@過(guò)去。 4. 人帶著貓、雞、米過(guò)河，船除需要人劃之外，至多能載貓、雞、米三者之一，而當(dāng)人不在時(shí)，貓要吃雞，雞要吃米。試設(shè)計(jì)一個(gè)安全過(guò)河方案，并使渡河次數(shù)盡量少。 解：過(guò)河 1 雞 返回 1 空 過(guò)河 2 米 返回 2 雞 過(guò)河 3 貓 返回 3 空 過(guò)河 4 雞 5. 在 線段 [0， 1]上任意投三個(gè)點(diǎn)，問(wèn)由 0 至三點(diǎn)的三線段，能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個(gè)事件中那一個(gè)事件的概率大。 解：設(shè)三個(gè)線段的長(zhǎng)度分別為 zyx, 。 則 zyx ?? ， yzx ?? ， xzy ?? 。 所求事件的概率為 ＝事件的體積正方體的體積事件的體積?P 。 設(shè) zyxA ??: （含于正方體的內(nèi)部）； yzxB ??: （含于正方體的內(nèi)部）； xzyC ??: （含于正方體的內(nèi)部）。 則 21)()()( ??? APCPBP 。 可斷定兩個(gè)概率一樣大。 07 數(shù)學(xué)建模選拔試題 1 x z y 1 1 )1,0,1( )1,1,0( A B C 1． 某工廠計(jì)劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品 I 和 II，已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的耗水量及 A、 B 兩種原料的消耗量與利潤(rùn)如下表 I（件） II（件） 限量 耗水量（噸 /件） 1 2 8 噸 A （ kg/件） 4 0 16kg B （ kg/件） 0 4 12kg 獲 利（元 /件） 2 3 如何安排生產(chǎn)計(jì)劃使得產(chǎn)品的獲利最大？ 2．設(shè)在長(zhǎng)江的某一水質(zhì)觀測(cè)站測(cè)得某種污染物的初始濃度為 1000 單位，污染物每小時(shí)有百分之一被自然降解。已知長(zhǎng)江水的流速為每小時(shí) 5 公里，問(wèn)在觀測(cè)站下游 x 公里處污染物的濃度為多少？ 3．有一根鐵絲繞剛好地球一周，如果把鐵絲加長(zhǎng)一米，并且均勻分布在地球一周。問(wèn)一只老鼠能否從地表和鐵絲間穿過(guò)，并說(shuō)明理由。 4．人帶著貓、雞、米過(guò)河，船除需要人劃之外，至多能載貓、雞、米三者之一，而當(dāng)人不在時(shí)，貓要吃雞，雞要吃米。試設(shè)計(jì)一 個(gè)安全過(guò)河方案，并使渡河次數(shù)盡量少。 5. 在線段 [0， 1]上任意投三個(gè)點(diǎn)，問(wèn)由 0 至三點(diǎn)的三線段，能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個(gè)事件中那一個(gè)事件的概率大。 2022 鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)建模選拔考試部分題目及答案 鋼管下料費(fèi)用最低問(wèn)題 問(wèn)題：某鋼管零售商從鋼管廠進(jìn)貨，將鋼管按照顧客的 要求切割后售出 .從鋼管廠進(jìn)貨時(shí)得到的原料鋼管長(zhǎng)度是 15 根 290mm、 28 根 315mm、 20根 350mm 和 30 根 455mm 的鋼管。為了簡(jiǎn)化生產(chǎn)過(guò)程，規(guī)定所使用的切割模式的種類(lèi)不能超過(guò) 4 種，使用 頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價(jià)值的 1/10 增加費(fèi)用，使用頻率次之的切割模式按照一根鋼管價(jià)值的 2/10 增加費(fèi)用，依次類(lèi)推，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原料鋼管最多生產(chǎn) 5 根產(chǎn)品） .此外，為了減少余料浪費(fèi)，每種切割模式下的余料浪費(fèi)不能超過(guò) ，應(yīng)如何下料 ? 問(wèn)題分析： 首先，應(yīng)當(dāng)確定哪些切割模式是可行的 .所謂一個(gè)切割模式，是指按照客服需要在原料鋼管上安排切割的一種組合 . 例如：我們可以吧 1850mm 的原料鋼管切割為 6 根 290mm 的鋼管余料為 110mm；或者將 1850mm 的原料鋼管切割為 1 根290mm、 2 根 315mm、 2 根 455mm 因此有許多切割方式 .但是題目明確規(guī)定所使用的切割模式種類(lèi)不能超過(guò) 4中 。一根原料鋼管最多生產(chǎn) 5根產(chǎn)品 。每種切割模式下的余料浪費(fèi)不能超過(guò) 100mm，所以根據(jù)以上要求在眾多切割方式中在這種合理性假設(shè)下，切割模式有以下 4 種模式（如下表 1 所示）： 模型建立 （屬線性規(guī)劃模型）： 決策變量： 用 xi 表示按照第 i 種模式（ i=1， 2， 3， 4）切割的原料鋼管的根數(shù)，顯然它們應(yīng)當(dāng)是非負(fù)整數(shù) .用 c 表示每根鋼管的費(fèi)用， c 為大于 0 的常數(shù) .z 為總費(fèi)用 . 決策目標(biāo)： 以切割獲得費(fèi)用最小為目標(biāo)，則由表 1 及使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價(jià)值的 1/10 增加費(fèi)用，使用頻率次之的切割模式按照一根鋼管價(jià)值的 2/10增加費(fèi)用，依次類(lèi)推 .根據(jù)各種長(zhǎng)度原料鋼管的所需根數(shù)，可以確定模式 2 的使用頻率最高，模式 3 次之，模式 1 第三，模式 4 最低 .由此得總費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)為： Min Z=cx1+cx2+cx3+cx4++ + =+++ (1)