積分變換法ppt課件(參考版)
2024-12-11 05:23本頁(yè)面
【正文】 41 例 6 求解 ),0,10(2 ???? txuauxxt ,s in4)0,( xxu ??t),()],([ sxUtxuL ?解 顯然，對(duì) 作 拉氏變換 ，記 則問(wèn)題 (65)可化為 ,0),0( ?sU,s i n4222 xsUdxUda ????.0),1( ?tu,0),0( ?tu(65) (66) (67) .0),1( ?sU方程 (66)的 通解 為 xa sxa s ececsxU ???21),( ,sin4 22??as x??42 ,01 ?c.s in4),( 22 xas xsxU ?? ?由條件 (67)知 ,02 ?c 于是有 ,0),0( ?sU,s i n4222 xsUdxUda ???? (66) (67) .0),1( ?sU方程 (66)的 通解 為 xa sxa s ececsxU ???21),( ,sin4 22??as x??對(duì)上式取 拉氏逆變換 ，則得問(wèn)題 (65)的解 ]1[s i n4),( 221 ?? asxLtxu ?? ? .s in422 xe ta ????此解用 分離變量法 求得的解是完全一樣的。 27 例 2 試用傅氏變換求解下列問(wèn)題的解 ),0,(2 ???????? txuau xxtt ).()0,(),()0,( xxuxxu t ?? ?? x),()],([ tUtxuF ??(43) 解 ),()]([ ?? ??xF ).()]([ ?? ??xF將 (43)各式的兩端關(guān)于 進(jìn)行 傅氏變換 ，記 假定 .0),(l i m),(l i m|||| ?? ???? txutxu txx,2222 Uadt Ud ????則得 ).(|),(),(|),( 00 ????? ??? ?? tt tdtdUtU (44) 問(wèn)題 (44)式帶參數(shù) 的常微分方程的初值問(wèn)題， 其解為 28 例 2 試用傅氏變換求解下列問(wèn)題的解 ),0,(2 ???????? txuau xxtt ).()0,(),()0,( xxuxxu t ?? ?? (43) .s i n)(c os)(),( taatatU ??????? ???? ? ????????? ?? taaFtaFtxu ?????? s i n)(c os)(),( 11(45) )]()([21][c os1 axaxaF ????? ???對(duì)式 (45)取 傅氏逆變換 (46) 利用結(jié)論 mxmF ??? |,21]s i n[1 | ? ?? ? ?????????? ?? ? ???? taFxataFx s i n)(1c os)( 1129 ? ? )]()([21)(c os)(1 atxatxxtaF ??????? ?????)],()([21 atxatx ???? ??例 2 試用傅氏變換求解下列問(wèn)題的解 ),0,(2 ???????? txuau xxtt ).()0,(),()0,( xxuxxu t ?? ?? (43) )]()([21][c os1 axaxaF ????? ???利用結(jié)論 mxmF ??? |,21]s i n[1 | ? ?因此可得 ? ? ????????? ?? taaFtaFtxu ?????? s i n)(c os)(),( 11 (46) 30 ??????? taaF ???? s in)(1 ???????? ? ? ?? taFxa s in)(1 1 .)(21 ??? da atx atx? ???.)(2 1)]()([21),( ????? daatxatxtxu atx atx? ???????例 2 試用傅氏變換求解下列問(wèn)題的解 ),0,(2 ???????? txuau xxtt ).()0,(),()0,( xxuxxu t ?? ?? (43) )]()([21][c os1 axaxaF ????? ???利用結(jié)論 mxmF ??? |,21]s i n[1 | ? ?因此可得 ? ? ????????? ?? taaFtaFtxu ?????? s i n)(c os)(),( 11 (46) 將所得結(jié)果代入 (46)式，得原問(wèn)題 (43)的解為 31 例 3 求解下列問(wèn)題的解 ),0,(0 ????????? yxuu yyxx .0),(l i m),(| 220 ?? ???? yxuxgu yxy x),()],([ yUyxuF ??(47) 解 ).()]([ ?GxgF ?將 (47)各式的兩端關(guān)于 分別作 傅氏變換 ，記 則 (47)化為 ),()0,( ?? GU ?,0222?? Udy Ud ?.0),(lim ???? yUy ?解問(wèn)題 (48)得 .)(),( || yeGyU ??? ??(48) 32 例 3 求解下列問(wèn)題的解 ),0,(0 ????????? yxuu yyxx .0),(l i m),(| 220 ?? ???? yxuxgu yxy (47) .)(),( || yeGyU ??? ??對(duì)上式取 傅氏逆變換得 ? ?yeGFyxu ||1 )(),( ?? ???利用結(jié)論 ? ?.)( ||1 yeFxg ?????)0(1][ 22||1 ????? yxy yeF y ??(49) 即得原問(wèn)題 (47)的解為 221)(),(xyxgyyxu??? ? ???? ??? .)()(22 ???? dxygy33 例 4 求解下列問(wèn)題的解 ),0,0(2 ??? txuau xxt ,0| 0 ??tut),()],([ sxUtxuL ?(50) 解 ).()]([ sFtfL ?將 (50)(52)(53)的兩端對(duì) 分別作 拉氏變換 ，記 則問(wèn)題 (50)(53)化為 ),(|),( 0 sFsxU x ??,0222 ?? sUdxUda.|),(| Mtxu ?),(|
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