【正文】 ( Y1, Y2 )的值域 （ Y10, |y2|y1 ) 或 0|y2|y1 1 1 22 1 2x y yx y y????1 1 22 1 222y x xy x x????主講教師：楊金鋒 中國民航大學(xué) 第一章 概率論 因此 12 211 2 1 22 , 0 | |( , )0,yYYe y yf y y ?? ??? ?? 其 它222 | |22( ) ,yYf y e y?? ? ? ? ? ?111111222122221 2 1 1221222212( ) 2 4 , 02 , 0()2 , 0yyyYyyyyYyyyf y e d y y e ye d y e yfye d y e y?????????? ? ?? ???? ?? ??????由邊緣公式： 211 2 1 212221 2 1 1 2( ) ( ) 4 ( , )yyY Y Y YYYf y f y y e e f y y??? ? ? ?? 與 不 獨(dú) 立 。 0 , 0( , )0。xxXXe x xf x x ??? ????? 其 它)(),( 2211 yfyf YY1 2 1 21222X X X XYY????，12 12( , )YYf y y1 1 1 2 1 22 2 1 2 1 2( , )( , )x h y y y yx h y y y y? ? ?? ? ?則其雅柯比值為 1112221211211hhyyJhhyy????? ? ? ?? ? ???主講教師：楊金鋒 中國民航大學(xué) 第一章 概率論 可以根據(jù) ( X1, X2)與 (Y1,Y2)的函數(shù)關(guān)系，將 (X1, X2)的值域映射到 y1y2平面，找出 (Y1, Y2)的值域。 單值變換 1 2 1 21 2 1 2( , ) ( , )X X X Y Y Yf x x d S f y y d S? ? ?主講教師：楊金鋒 中國民航大學(xué) 第一章 概率論 利用高等數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)變換－－－ Jacobian變換 1 1 2 1 1 2121 2 1 22 1 2 2 1 21 2 1 2121 1 2 2 1 2111 1 2 2 1 222( , ) ( , )( , )( , ) ( , )( , )( , ) ( , )( , ) ( , )XXYYh y y h y yyydS x xJh y y h y ydS y yyyh y y h y yyyh y y h y yyy?????? ? ???????????????)],(),([),(),( 2122112121 21 yyhyyhfJxxfJyyf XXXY ??12121 2 1 2( , ) ( , )XXYXYYdSf y y f x xdS??主講教師：楊金鋒 中國民航大學(xué) 第一章 概率論 求： ① 新二維隨機(jī)變量 (Y1, Y2)的聯(lián)合概率密度 ②邊緣概率密度 ，并說明 Y1, Y2是否相互獨(dú)立？ 解： 據(jù) (X1, X2)與 (Y1,Y2)的函數(shù)關(guān)系，找出唯一反函數(shù)： 例 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X1, X2)的函數(shù) ,(X1,X2)的聯(lián)合概率密度： 1212()1212。1 1 22 1 2 1 21 2 1 21 2 1( , ) ,( , )( , ) ( , )Ja c obi a n ( , ) ( ) ( )Y Y YY Y g X XY X g X XY Y X Xf y y f y f y???????? ? ????對 應(yīng)思 路 ：設(shè) ：有由 變 換 可 以 求 出 ， 再 求 邊 緣 分 布主講教師：楊金鋒 中國民航大學(xué) 第一章 概率論 120 ydsy y120 xdsxx1 1 1 22 2 1 21 1 1 22 2 1 2( , )( , )( , )( , )Y g X XY g X XX h Y YX h Y Y??????????單 值 的 函 數(shù) 關(guān) 系一 對 僅 存 在 唯 一 的反 函 數(shù)1 2 1 21 2 1 21 2 1 21 2 1 2( , ) ( , )( , ) ( , )X X Y YX X Y YX X d S Y Y d SX X d S Y Y d S由 于 唯 一 對 應(yīng) 關(guān) 系 ，當(dāng) 落 在 中 時 ， 必 有 落 在 中 。 1 2 21 ,0() 20 , 0yYy e yfyy???? ??? ?? ??2?即：高斯變量的平方服從 分布。 （ 和 事 件 ）1 1 2 21 1 2 2( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )Y X XY X Xf y d y f x d x f x d xf y f h y h y f h y h y??????所 以 ， 多值變換 120ydydx dx x若一個 Y對應(yīng)多個 X1, X2, X3, … ，則由概率的可加性得： 1 1 2 2 3 31 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )Y X X XY X X Xf y d y f x d x f x d x f x d xf y f h y h y f h y h y f h y h y? ? ? ?? ? ?? ? ? ?主講教師：楊金鋒 中國民航大學(xué) 第一章 概率論 ① 當(dāng) 時， 為不可能事件，所以 其概率密度 ； ? ?20y X Y y? ? ?例 已知隨機(jī)變量 X服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布， ,求隨機(jī)變量 的概率密度？ 解： X與 Y間的反函數(shù)關(guān)系為： 其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2YX?2 21()2xXf x e???121( ) ( )2h y h y y????()X h Y Y? ? ?? ?( ) 0YF y P Y y? ? ?( ) 0Yfy?② 當(dāng) 時， 為可能事件，反函數(shù)為 是雙值變換。 一、 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 單值變換 dy dx x y fX(x) fY(x) Y=g(X) 主講教師：楊金鋒 中國民航大學(xué) 第一章 概率論 12112212(),()()Y f XY X XX h YX h YX X Y??????的 反 函 數(shù) 多 于 一 個 。 求：①四維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度 ②邊緣概率密度 ③條件概率密度 和 解：① Xi服從 (0,1)上的均勻分布，則 Xi的概率密度為 3 1 2 3 4 1 2( / , ) ( , / , )XXf x x x f x x x x1 2 3 41 2 3 4 4 3 2 11 , 0 , , , 1( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )0,X X X X Xx x x xf x x x x f x f x f x f x ??????? 其 他主講教師：楊金鋒 中國民航大學(xué) 第一章 概率論 ③ 因為隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，所以條件概率密度為 1 2 3 4, , ,X X X X② 同理可知關(guān)于 的邊緣概率密度為 121 2 2 11 , 0 , 1( , ) ( ) ( )0,X X Xxxf x x f x f x ??????? 其 他3 4 1 2 3 43434( , , ) ( , )1 , 0 , 1 ( ) ( )0,XXXXf x x x x f x xxxf x f x?????? ?? 其 他33 1 2 31 , 0 1( , ) ( )0,XXxf x x x f x ????? ?? 其 他12,XX主講教師：楊金鋒 中國民航大學(xué) 第一章 概率論 1( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ] ( )YXY X XY g X X h Y g YY dy X dxf y dy f x dxdxf y f x f h y h yd