通信原理第2章-隨機(jī)信號(hào)分析(參考版)
2025-05-15 22:25本頁(yè)面
【正文】 () 86 正弦波加窄帶高斯過(guò)程的包絡(luò)與相位分布 幾個(gè)特定的 （信噪比）下的 f(z)曲線及 f(υ/θ)曲線。 如果 A＝ 0， 則上式便是式（ ） ， 即為瑞利分布 ， 這是預(yù)料的結(jié)果 。當(dāng) x≥0時(shí)， I0(x)是單調(diào)上升函數(shù)，且有 I0(0)=1。 在這種情況下 ， 被考察的混合信號(hào)形式為 ty ( t ) ] s i n ωs i n[tx ( t ) ] c os ω[ A c os θty ( t ) s i n ωt[ x ( t ) c os ωθ)tA c os ( ωn ( t )θ)tA c os ( ωr ( t )cccccc????????????A() 式中， 為窄帶高斯過(guò) 程，其均值為零；正弦波的 θ在 (0,2π )上均勻分布 ，且假定振幅 A和頻率已知。這是通信系統(tǒng)中常會(huì)遇到的一種情況，所以有必要了解合成信號(hào)的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性。 77 通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘?hào)通常是以正弦波作為載波的已調(diào)信號(hào)，信號(hào)經(jīng)過(guò)信道傳輸時(shí)總會(huì)受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個(gè)帶通濾波器，以濾除信號(hào)頻帶以外的噪聲。f(υξ) 76 結(jié)論： 一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程 ， 其同相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程 ， 而且均值都為零 ， 方差也相同；在同一時(shí)刻上的同相分量與正交分量是不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 。 同理 ， f(aξ, υξ)對(duì) aξ積分可求得相位 υξ的一維概率密度函數(shù)為： f(υξ)= 222011( , ) [ e x p ( ) ] , 0 22 2 2aaf a d a d a??? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ??? υξ服從均勻分布 。f(ξs)= 22221 e x p [ ]22cs????? ? ??? 設(shè) aξ,υξ的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 f(aξ, υξ)， 則利用概率論知識(shí) ， f(aξ, υξ)=f(ξc, ξs) ( , )( , )csa ??????? 根據(jù)式 （ 3） 和式 （ 4） 在 t時(shí)刻隨機(jī)變量之間的關(guān)系 ξc=aξcosυξ ξs=aξsinυξ 73 得到 于是 注意 ， 這里 aξ≥0, 而 υξ在 (0， 2π)內(nèi)取值 。 此外 ， 在同一時(shí)刻上得到的 ξc和 ξs是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 。 又根據(jù)式 （ 15） 可知 ， ξc(t)、 ξs(t)在同一時(shí)刻的取值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量 ， 因而它們還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 。 進(jìn)一步 ， 式 （ 9） 和式 （ 10） 應(yīng)同時(shí)成立 ， 故有 Rc(τ)=Rs(τ) ( 11) Rcs(τ)= Rsc(τ) ( 12) 可見(jiàn) ， 同相分量 ξc(t)和正交分量 ξs(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù) ，而且根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) ， 應(yīng)有 Rcs(τ)=Rsc(τ) 69 將上式代入式 （ 12） ， 可得 Rsc(τ)= Rsc(τ) ( 13) 同理可推得 Rcs(τ)= Rcs(τ) ( 14) 式 （ 13） 、 （ 14） 說(shuō)明 ， ξc(t)、 ξs(t)的互相關(guān)函數(shù)Rsc(τ)、 Rcs(τ)都是 τ的奇函數(shù) ， 在 τ=0 Rsc(0)=Rcs(0)=0 ( 15) 于是 ， 由式 （ 9） 及式 （ 10） 得到 Rsc(0)=Rcs(0)=0 ( 15) 70 于是 ， 由式 （ 9） 及式 （ 10） 得到 Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0) ( 16) 即 σ2ξ=σ2c=σ2s ( 17) 這表明 ξ(t)、 ξc(t)和 ξs(t)具有相同的平均功率或方差 （ 因?yàn)榫禐?0） 。［ ξc(t+τ)cosωc(t+τ)ξs(t+τ)sinωc(t+τ)］｝ =Rc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)Rcs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ) Rsc(t,t+τ)sinωct cosωc(t+τ)+Rs(t, t+τ) sinωct sinωc(t+τ) （ 7） 66 式中 Rc(t, t+τ)=E［ ξc(t)ξc(t+τ)］ Rs(t, t+τ)=E［ ξs(t)ξs(t+τ)］ Rcs(t, t+τ)=E［ ξc(t)ξs(t+τ)］ Rsc(t, t+τ)=E［ ξs(t)ξc(t+τ)］ 因?yàn)?ξ(t)是平穩(wěn)的 ， 故有 Rξ(t, t+τ)=R(τ) 這就要求式 （ 7） 的右邊也應(yīng)該與 t無(wú)關(guān) ， 而僅與時(shí)間間隔 τ有關(guān) 。 將證明它的同相分量 ξc(t)和正交分量 ξs(t)也是零均值的平穩(wěn)高斯過(guò)程 ， 而且與 ξ(t)具有相同的方差 。 反之 ， 如果已知 ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性則可確定 aξ(t)， υξ(t)以及 ξc(t)， ξs (t)的統(tǒng)計(jì)特性 。 62 因此 ， 窄帶隨機(jī)過(guò)程 ξ(t)可表示成 : ξ(t)=aξ(t)cos［ ωct+υξ(t)］ ,aξ(t)≥0 ( 1) 等價(jià)： ξ(t)=ξc(t
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