【正文】 l)1(~~~~ 21???????????????lAAAA?)2(),2,1(11~ljAjj mmjjjj ?????????????????????則： 的變換陣為對應(yīng)于其中 jjl AQ ~,][ 21 ??)3(2,1,][ 21 ljvvvQ jmjjj j ?? ??2021/6/17 83
。 此時(shí)： 3,221 ??? mml 且 某個(gè)重特征值對應(yīng)多個(gè)約當(dāng)塊 i?i?i?i?i?i?( ) 1in ran k I A?? ? ?2021/6/17 82 ???????DuCxyBuAxx?其中： xQx ~??????????uDxCyuBxAx~~~~~~~?DDCQCBQBAA ???? ?? ~,~,~,~ 11變換矩陣 Q的確定： 討論的前提 ： 每個(gè)重特征值只對應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量的情況，只有一個(gè)約當(dāng)塊。每個(gè)獨(dú)立特征向量對應(yīng)一個(gè)約當(dāng)塊。 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：各狀態(tài)變量間最簡單的耦合形式，每個(gè)變量至多和下一個(gè)變量有關(guān)聯(lián)。 l A~由此看出，對角陣是一種特殊形式的約當(dāng)矩陣。 nnlAAAA????????????????~~~~ 21?nmmmliAlimmiiiii???????????????????????21),2,1(11~其中：???其中 ： 是 約當(dāng)塊塊數(shù)，等于 獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)。 A有重特征值，且 A特征值對應(yīng)的獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)小于 n。 1, 3 ( ) 1ran k I A??? ＝???????????200310211A3, 3 ( ) 1ran k I A??? ＝121 ?? ??23 ??， 1個(gè)獨(dú)立特征向量 ， 1個(gè)獨(dú)立特征向量 化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的條件 ： A有重特征值，且 A特征值對應(yīng)的獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)小于 n。 1?PA 1?PAPPAAPPA 111 ??? ?? 可得：由所以 A和 已知，可以解出 A 1?P2021/6/17 77 故在本例中： ?????????????????????????21210001010001000211 PP??????????????????????????????????????????? 212100010100010002333231232221131211333231232221131211pppppppppppppppppp????????????????????????????????? 333233313323222321231312131113333231232221131211222222222pppppppppppppppppppppppp由上式得： 求得： ???????????????612131212131311 10P2021/6/17 78 ???????????????????????????????????????????????????2521579101000100026121312121313111BPBAPPABA,3)求 系統(tǒng)狀態(tài)方程對角線標(biāo)準(zhǔn)型為： uxx???????????????????????252100010002?2021/6/17 79 二、將狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型（系統(tǒng)具有重特征根） 注： 以后不特別指明， A的每個(gè)重特征值各自僅對應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的特征向量，等同于每個(gè)約當(dāng)塊僅有一個(gè)線性獨(dú)立的特征向量 。 CBA ,A CB,2021/6/17 70 2）求 APPA 1??? ? ? ? ? ?? ??????????????????????????nnnnnnnPvvvvvvAvAvAvvvvAAP?????????????112122112121上式兩端左乘 得： 1?P1122110000 nnP AP P P????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?證畢！ 特征值定義 iii vAv ??2021/6/17 71 [例 ] 線性定常系統(tǒng) ，其中： 將此狀態(tài)方程化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型 . BuAxx ????????????????????????????327,120010112BA當(dāng) 時(shí)， 2)確定非奇異矩陣 P 21 ???????????????????????????????????? 0203001200301103121213121312111vvvvvvvv? ?? ?? ?1,1,2112120010112321 ???????????????????????? AI[解 ]: 1)求其特征值 : 2021/6/17 72 為任意常數(shù)113121 ,0 vvv ??????????????0011v取 : ???????????????????????????????????0220302200001133222322212322212vvvvvvvv當(dāng) 時(shí)， 12 ???0, 123222 ??? vvv 取 : ????????????1102v???????????1013v同理當(dāng) 時(shí)，得 : 13 ??2021/6/17 73 ? ??????????? ???????????????? ?110010111,1100101011321 PvvvP 并求得所以有112000 1 00 0 11 1 1 7 20 1 0 2 20 1 1 3 5??????? ? ?????????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A P A PB P BBA,3）求 uxx???????????????????????522100010002?對角線標(biāo)準(zhǔn)型為： 2021/6/17 74 證明：略 (提示，根據(jù)特征值和特征向量的定義證明 )。 n??? , 21 ?xPx ?( , , )?? A B C( , , )?? A B C( , , )?? A B C其中 ： CPCBPBAPPAn???????????????? ?? ,001211????證明： 1）找非奇異變換陣 由特征值性質(zhì) 4)知，由 A特征向量構(gòu)成的矩 陣 是非奇異的，故可選 P為變換陣。 在這兩種情況下， A獨(dú)立的特征向量的個(gè)數(shù)仍然為 n個(gè)。 化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型的條件 ： 1） A的所有特征值互異； 2） A有重特征值，但所有重特征值的幾何重?cái)?shù)和代數(shù)重?cái)?shù)相等。 2）每個(gè)特征值，計(jì)算其特征向量。 2021/6/17 67 ??????????????6116100010A[例 ]： 求下列矩陣 A的特征向量 。或者其所有特征值的幾何重?cái)?shù)都為 1，即 ，只要有一個(gè)重特征值，其幾何重?cái)?shù)大于 1，就是非循環(huán)矩陣。 稱為 的幾何重?cái)?shù) (即獨(dú)立特征向量個(gè)數(shù) )。 2）對于每個(gè)特征值，計(jì)算其特征向量。當(dāng) 兩兩相異時(shí)， 線性無關(guān)，因此由這些特征向量組成的矩陣 P必是非奇異的。 系統(tǒng) 2: 特征多項(xiàng)式 ， 傳遞函數(shù)陣 系統(tǒng) 1: 特征多項(xiàng)式 ， 傳遞函數(shù)陣 || AI ??( , , )?? A B C( , , )?? A B C || AI ??)(sG)(sG則： 且 |||| AIAI ??? ?? )()( sGsG ?其中： DBAsICsG ?? ? 1)()( ＝特征值和傳遞函數(shù)陣的不變性 ，證明作為課后練習(xí)。 nn?[特征值及傳遞函數(shù)陣的性質(zhì) ]： 3）對系統(tǒng)作線性非奇異變換，其特征值和傳遞函數(shù)陣不變。 ,A B C D[例 ]： 關(guān)于非奇異變換陣和狀態(tài)方程的非唯一性 ? ?30,02,31 20 ?????????????? ??? CBA考慮系統(tǒng) 為： ( , , )?? A B C非奇異變換后 ( , , )?? A B C2021/6/17 62 1）若選非奇異變換陣 P為： ??????? 02 26P?????? ??? 31 10211P ? ?06,10,32 10 ????????????????? CBA結(jié)論 ：不同的非奇異變換陣，對應(yīng)不同的狀態(tài)方程， 非唯一性 2）若選非奇異變換陣 P為： ???????1112P??????? ??? 21 111P ? ?33,22,20 01 ??????? ???????? ??? CBA對角線矩陣 2021/6/17 63 對于系統(tǒng)矩陣 A，若存在一非零向量 ，使得： [系統(tǒng)的特征值和特征向量 ] vAv ??則： ? ?矩陣 A的特征值（ A特征方程的根） ?矩陣 A的特征方程 0|| ?? AI?AI?? ?矩陣 A的特征矩陣 ?矩陣 A對應(yīng)于特征值 的特征向量 v ??矩陣 A的特征多項(xiàng)式 0111|| aaaAI nnn ?????? ?? ???? ?v使 ，則稱 為 A的對應(yīng)于 的特征向量。 [系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性 ]： 含義 ：同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量可通過線性變