參數(shù)的區(qū)間估計(jì)(2)(參考版)
2025-05-18 07:39本頁面
【正文】 , SYSX 分別表示兩樣本的樣本均值與樣本方差 三、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間 1. 方差 ?1 2 、 ?2 2已知時(shí)， μ1 μ2的置信度為 1α的 置信區(qū)間是： ）22212122212122 nσnσzYX,nσnσzYX(αα ??????且兩總體相互獨(dú)立。 ),( θθαθθθP ???? 1}{ 理解為 θ落在區(qū)間 θ真值 的概率為 1α. 關(guān)于區(qū)間估計(jì)的幾點(diǎn)說明： 是統(tǒng)計(jì)量，即 是隨機(jī)區(qū)間，而 θ是一個(gè)客觀存 ),( θθ在的未知數(shù) .所以確切的理解是隨機(jī)區(qū)間 包含 ),( θθ內(nèi)的概率為 1α， 這種理解不夠確切 .因?yàn)? 和 都 θ θ例如： 對(duì)總體取 100個(gè)容量為 n 的樣本觀察值，可得到 100個(gè) }{ ??? θθθP (α=) 應(yīng)理解為： )θ,θ( ，其中平均有 95%個(gè)包含了未知參 確定的區(qū)間 數(shù) θ的真值 ，還有大約 5%個(gè)不包含 θ的真值 . ，置信區(qū)間長(zhǎng)度越小，估計(jì)的精確度越高 . 1－ α 反映了估計(jì)的可靠度 ， 1－ α 越大越可靠 .但是，若提高可靠度就會(huì)降低 精確度，提高精確度 就會(huì)降低可靠度 . 先 保證可靠度（ 置信度） 1－ α ,再選 置信區(qū)間中長(zhǎng)度 最小的那個(gè)以提高精確度 . 處理原則： 求置信區(qū)間的步驟： ，確定要求的是哪一個(gè)參數(shù)的置信區(qū)間，置信度是多少 . 2. 構(gòu)造一個(gè)有確定分布的樣本的函數(shù)： 它含有待估參數(shù)但不含其它未知參數(shù) . ),( 2 θXXXg nx ? bθXXXgan ?? ),( 21 ?作等價(jià)變形， ),( θθ，對(duì)給定的置信度 1 ? ?，定出常數(shù) a , b ,使得 αbθXXXgaP n ???? 1)),(( 21 ?得到如下形式 : 得置信區(qū)間： ，α}θθθ{P ???? 1二、單個(gè)正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間 1. 方差 ? 2已知 , ? 的置信度為 1α的 置信區(qū)間是： ）（ 22 αα znσX,znσX ??推導(dǎo)： ~N(0, 1) nσμXZ ??α}z|nσμX{|Pα ???? 12對(duì)給定的置信水平 1 ? ?， 查正態(tài)分布表得 則 ,zα 2設(shè)總體 X~N (?, ? 2). X1 , X2 , … , Xn是取自 X的樣本， 樣本均值 樣本方差 S2 ，Xφ(x) x z?/2 z?/2 1 ? ? α}znσXμznσX{P αα ?????? 122從而得 ）（ 22 αα znσX,znσX ??于是得 ? 的置信區(qū)間為： 也可簡(jiǎn)記為： ）（ 2αznσX ?？為何要取 2/αz當(dāng)置信區(qū)間為 時(shí)，區(qū)間的長(zhǎng) ）（ 22 , αα znσXznσX ??度為 達(dá)到最短 . ，22αznσ2. 方差 ? 2未知 , ? 的置信度為 1α的 置信區(qū)間是： ）（ nS)n(tX,nS)n(tX αα 1122????)n(t~nSμXT 1???推導(dǎo)： αntnSμXPα ????? 1)}1(|/{|2α}nS)n(tXμnS)n(tX{P αα ???????? 11122從而得： ）（ nSntXnSntX αα )1(,)1(22????于是得 ? 的置信區(qū)間為： 也可簡(jiǎn)記為： ））（（ 12 ?? ntnSX α對(duì)給定的置信水平 1 ? ?， 查 t分布表得 則 ,nt α ）（ 12 ?3. 當(dāng) ? 已知時(shí) , 方差 ? 2 的置信度為 1－ α的 置信區(qū)間是 ），（)n(χ)μX()n(χ)μX(ααniinii211221222????? ??標(biāo)準(zhǔn)差 ? 的置信度為 1α的 置信區(qū)間是： ），（)n(χ)μX()n(χ)μX(ααniini
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