【正文】 最后，假設(shè)由可口可樂(lè)公司和百事公司所作的那些進(jìn)入市場(chǎng)后的選擇是同時(shí)決定的（從而，這是一個(gè)不完美信息博弈。百事公司是那個(gè)市場(chǎng)的目前供貨者，并且肯定會(huì)以強(qiáng)硬（ T）或者用寬容（ A）對(duì)付可口可樂(lè)公司的進(jìn)入。在公司 R的安全區(qū)域 Ⅱ ， S應(yīng)該立即退出。也存在著第二個(gè)安全區(qū)域集合。那樣總花費(fèi)為 $21（為什么？），超過(guò)了專利的價(jià)值。 證明如果 R必須在 （ 5, 4） 行動(dòng) ， 它的最終純利潤(rùn)是 $7。當(dāng)然該論證可對(duì)稱地應(yīng)用于公司 S。 此后它知道 S將退出 ， 從而它可以一次一步地走向最終的圓滿完成；那三步將再花費(fèi) $6， 于是總代價(jià)為 $8，它少于專利的價(jià)值 。 假設(shè)輪到公司 R行動(dòng) 。 在觸發(fā)區(qū)域 I中將有一場(chǎng)搶先行動(dòng)，而在安全區(qū)域 I中 “ 戰(zhàn)爭(zhēng) ”煙消云散。此后，公司 S可以一次向前一步。 第 5步 證明相同的結(jié)論，對(duì)于位置（ 4, 2）和（ 4, 1）同樣會(huì)發(fā)生 R退出競(jìng)爭(zhēng)，然后S慢慢地推進(jìn)。D比緩慢的 Ramp。 作為唯一的幸存者，公司 S將最終獲得專利。因此 R的最佳反應(yīng)是挑選第 4種選擇，不進(jìn)展。D而留在原處?；蛘咚梢砸苿?dòng) 2步到（ 2, 3）或者 1步到（ 3, 3）。 稱這樣的位置集為“ 觸發(fā)區(qū)域 I‖. 第 4步 例如，關(guān)于像（ 4, 3）這樣的位置，當(dāng)輪到公司 R行動(dòng)的時(shí)候我們可以得到什么結(jié)論？注意， R不能一次完成博弈。 第 3步 （ a）使用前面的分析去證明，如果博弈處于（ 2, 2），無(wú)論哪家公司首先行動(dòng)都應(yīng)該對(duì)兩步投資并完成博弈。例如，如果 R選擇不作進(jìn)展，這使它無(wú)需成本，但是它將發(fā)現(xiàn) S在下一周期會(huì)贏得專利。它可以一次完成，如果 R這樣做，它在兩個(gè)位置都得到正利潤(rùn)：在第一種情況為 $20 – $7 ，而如果它離完成尚有 3步的話，利潤(rùn)則為 $20 – $15。 類似地 ， 如果位置是 （ r, 1） 并且輪到 S行動(dòng) ， S將一次完成項(xiàng)目 。 它的最優(yōu)決策顯然是在一次行動(dòng)中完成博弈 。D決策，RCA和索尼離完成項(xiàng)目分別有 3步和 4步。 假設(shè) 5把專利競(jìng)爭(zhēng)轉(zhuǎn)入完美信息博弈；我們來(lái)看它的展開(kāi)型。D資助后它才作進(jìn)一步的決策。D花費(fèi)的資金；如果 RCA在這個(gè)周期作出 Ramp。而且，被選中的公司將是比較接近于完成的那一家。 卡特爾 ， 第 2步 證實(shí)下面的陳述：無(wú)論哪一家公司做Ramp。 卡特爾 ， 第 1步 證實(shí)下面的陳述：因?yàn)閮杉夜局兄挥幸患覍@得專利 ， 它只支付其中的一家去做 Ramp。 3. 向前移動(dòng)一步花費(fèi) 2（ 百萬(wàn) ） 美元 ， 向前移動(dòng)二步花費(fèi) 7（ 百萬(wàn) ） 美元 ， 和向前移動(dòng)三步花費(fèi) 15（ 百萬(wàn) ） 美元 。 為了使分析容易處理 ， 我們做一些簡(jiǎn)化假設(shè)： 1. 可以度量離最終目的的距離 ， 例如 ， 我們可以說(shuō) ，公司 S處于離項(xiàng)目完成還有 n步 。D。D模型 后退歸納：模型分析 Ramp。這個(gè)例子反映了在鐵路貨運(yùn)危機(jī)中實(shí)際發(fā)生的事情。 CSX聯(lián)合鐵路公司獲得利潤(rùn) ，這仍然比他們不采用 “ 毒藥 ” 而得到的 2好一些。如前一樣，不設(shè)立 “ 毒藥 ” ， CSX聯(lián)合鐵路公司的盈利是 2。 法律 “ 毒藥 ” 2 ? 你認(rèn)為如此過(guò)分的事情很好，但是在實(shí)際中難道南諾福克不會(huì)提出收購(gòu)計(jì)劃嗎？好吧，那樣的話也許展開(kāi)型中的盈利稍有不同。設(shè)立 “ 毒藥 ” ，南諾?？藢⑦x擇不收購(gòu)，因而 CSX聯(lián)合鐵路公司將得到利潤(rùn) 3。于是展開(kāi)型就如圖所見(jiàn)到的那樣（注意，在盈利向量中的第一項(xiàng)是第一個(gè)行動(dòng)者的盈利，即， CSX聯(lián)合鐵路公司的盈利）。另一方面，假使有 “ 毒藥 ” 條文，博弈就如例 1’那樣： CSX聯(lián)合鐵路公司達(dá)成協(xié)議采取強(qiáng)硬措施。 ： “ 毒藥 ” 和其他收購(gòu)?fù)? ? 法律 “ 毒藥 ” 1 假設(shè)沒(méi)有 “ 毒藥 ” 條文，那個(gè)博弈就如例 1那樣 ——南諾福克（ Norfolk Southern）必須決定是否反對(duì) CSX聯(lián)合鐵路公司的聯(lián)盟。事實(shí)上，如果對(duì)每一個(gè)局中人，不存在相同的兩個(gè)盈利，那么存在唯一的后退歸納解。 后推歸納法 科恩（和策墨羅）定理。（即，我們通過(guò)剔除 “ 寬容 ” 而縮減了 “ 百事 ” 的選擇可能）。這種變化基本上對(duì)于具有增加了的選擇的局中人可能是有利的或者有害的。如果局中人在后面有許多選擇，比起如果她有少數(shù)幾個(gè)選擇來(lái)，在未來(lái)的行為可以相當(dāng)?shù)夭煌?。但是，展開(kāi)型博弈，尤其是完美信息博弈，提供了少量（選擇）可以蘊(yùn)含更多（均衡盈利）的例子。 承諾的力量 在生活中，通常，只有少量的選擇總比有較多的選擇要差一些。 2． (ETA, A)——其結(jié)局為 ， “ 可口可樂(lè) ” 進(jìn)入而兩家公司都寬容 。 但是 ， “ 百事 ” 正好有二個(gè)策略 ——要么反應(yīng)強(qiáng)硬 ， 要么寬容 “ 可口可樂(lè) ” 。 第一個(gè)分量告訴我們“ 可口可樂(lè) ” 是否進(jìn)入市場(chǎng) ， 第二個(gè)分量告訴 ， 如果 “ 百事 ” 反應(yīng) “ 強(qiáng)硬 ” ， 它是否會(huì)行為 “ 強(qiáng)硬 ” ， 而第三個(gè)說(shuō)明了如果 “ 百事 ” 寬容的話 ，“ 可口可樂(lè) ” 將采取的行動(dòng) 。尤其，在隨后結(jié)點(diǎn)上的決策者，考慮到他對(duì)博弈今后未來(lái)的猜想，反過(guò)來(lái)選擇可采用的最優(yōu)行動(dòng)。它包含了理性，因?yàn)樵诳紤]到局中人所想的將會(huì)是博弈的未來(lái)行為，因此，他將在決策結(jié)上選擇他可使用的最優(yōu)行動(dòng)。即，行為或者 “ 強(qiáng)硬 ” 或者“ 寬容 ” 。假設(shè)在 “ 百事 ”的決策之后， “ 可口可樂(lè) ” 有進(jìn)一步的決策可做；它必須決定自己是否發(fā)動(dòng)一場(chǎng)積極的廣告戰(zhàn)并花費(fèi)大量資金于設(shè)備方面，采取諸如此類的行動(dòng)。注意，在每一對(duì)盈利中的第一項(xiàng)是“ 可口可樂(lè) ” 的盈利。另一方面，如果 “ 百事 ”不發(fā)動(dòng)這樣強(qiáng)硬的反擊 ——畢竟這樣做代價(jià)昂貴 ——―可口可樂(lè) ” 將賺到錢。新市場(chǎng)的潛在贏利影響 “ 可口可樂(lè) ” 的決策，而這主要依賴于 “ 百事 ” 對(duì) “ 可口可樂(lè) ” 進(jìn)入它的市場(chǎng)將做出怎樣的反應(yīng)。 例 1：進(jìn)入 Ⅰ 考慮下述經(jīng)濟(jì)模型。 完美信息的博弈 具有如下性質(zhì)的展開(kāi)型博弈：在每一個(gè)信息集中正好有一個(gè)結(jié) 。例如，乘地鐵需要的時(shí)間可能依賴于在地鐵系統(tǒng)中是否存在一個(gè)高峰時(shí)間的延遲。局中人 2的混合策略由 33 1 個(gè)數(shù)給定，每個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于指派給每個(gè)純策略的概率。 混合策略 混合策略定義的方式以與策略型完全相同；它就是在純策略上的一個(gè)概率分布。說(shuō)它是 有條件的 ，因?yàn)槿绻┺牡竭_(dá)某個(gè)決策結(jié)后，它告訴局中人從這個(gè)結(jié)點(diǎn)出發(fā)后順沿哪條枝。 那么 ， 必定存在一個(gè)結(jié)點(diǎn) ?， 它是 ?和 ?雙方的前結(jié)點(diǎn) 。 3． 前結(jié)點(diǎn)可以排序： 如果 ?和 ?都是 ?的前結(jié)點(diǎn) ，必定是或者 ?是 ?的前結(jié)點(diǎn) ， 或者反過(guò)來(lái) 。 為保證這三條性質(zhì)，在前結(jié)點(diǎn)上強(qiáng)加下述限制： 1． 結(jié)點(diǎn)不能是自身的前結(jié)點(diǎn) 。 ? 3． 單方向前進(jìn) 。 ? 2． 無(wú)循環(huán) 。 重要的是知道博弈從何處開(kāi)始 ， 所以必須有一個(gè) ， 也只能有一個(gè)出發(fā)點(diǎn) 。那么穩(wěn)妥策略構(gòu)成了博弈的納什均衡。那么 和 是穩(wěn)妥策略，并且最大最?。ê妥钚∽畲螅┯ハ嘞嗟惹业扔? 。 )~,~( qp命題 3（穩(wěn)妥和充分地參與） 。 局中人 1的最小最大盈利正好是局中人 2的最大最小盈利 （ 的負(fù)值 ） ， 即 M1 = m2 = ? [b (q*),q* ] (反過(guò)來(lái)，局中人 2的最小最大盈利是局中人 1的最大最小盈利的負(fù)值。不管我們考慮的是純策略或者是混合策略，該陳述都是正確的。 ? 命題 1 （最小最大優(yōu)于最大最小） 。人們可以認(rèn)為這是更樂(lè)觀的辦法；試圖預(yù)測(cè)對(duì)手的行動(dòng)并且對(duì)此作出最優(yōu)的反應(yīng)。那種可能性將是 下面小 節(jié)的主題。如果事實(shí)上她的對(duì)手沒(méi)有采用最優(yōu)反應(yīng)，那么她的盈利只能更高一些。 ? 注 2： 穩(wěn)妥方法給予局中人 1一個(gè)單方面手段去參與博弈。 ? 注 1： 由于策略 b(p)使得局中人 1的盈利最小化，因此，它是局中人 2對(duì)付 p的最優(yōu)反應(yīng)（因此使用這個(gè)記號(hào)）。 現(xiàn)在我們來(lái)給出保證盈利（或者最差情況下的最高盈利）的正式定義。 在選擇自己最好的 “ 最差盈利 ” 時(shí) ， 重要的是局中人 1完全有理由同時(shí)考慮混合策略 。策略 b(s1) 形式上定義為 ),(m in)](,[ 21112sssbss?? ?在 傳統(tǒng)方法 中，局中人 1認(rèn)定，不管她采取何種策略，局中人 2將正確地預(yù)測(cè)并且采取一個(gè)（使局中人 1）最差或贏利最小化的策略 b(s1)。 2. 穩(wěn)妥 地參與：最大最小 在零和博弈中，當(dāng)且僅當(dāng)局中人 1干得差時(shí)，局中人 2干得好。這類博弈稱為 常數(shù)和博弈 。 例 1: 扔硬幣打賭 1 \ 2 L C R U 5, 5 8, 8 4, 4 M 7, 7 9, 9 0, 0 D 9. 9 1, 1 2, 2 例 2: 壁球 1 \ 2 向前 （ F） 后退 （ B） 前面 （ f） 20， 80 70， 30 后面 （ b） 90， 10 30， 70 在每一格中，分別為局中人 1和局中人 2贏的百分比。 混合策略可以優(yōu)于某些純策略 混合策略能虛張聲勢(shì) 混合策略和納什均衡 沒(méi)有混合策略，納什均衡未必一定存在。 含義。如果這個(gè)支撐中每一個(gè)純策略的盈利不相同，那么剔除具有最高盈利的純策略之外的所有其他純策略必定可以提高平均數(shù)，即，必定增加期望盈利。這個(gè)混合策略的支撐由所有那些（在這個(gè)戰(zhàn)略行動(dòng)中）具有正概率的純策略構(gòu)成。 那么局中人 i的期望盈利等于 )],()1(),()1([)],(),([**1111iMiMiiiMiMiissqpssqpssqpssqp?????????????????????討論使用混合策略而不使用純策略的含義 定義 。 第二步，把加權(quán)了的盈利合計(jì)在一起。這個(gè)局中人的一個(gè)混合策略是分布在他的純策略上的概率分布；即，它是一個(gè)概率向量 (p1, p2, … , pM)，其中 pk ? 0, k = 1, 2, … , M，且 特別簡(jiǎn)單的混合策略是每一個(gè)純策略為等可能的，即 。在人口眾多的情況下加劇了公共問(wèn)題的悲劇。結(jié)果，在第 1周期后留下的量是 y/(n+1)。在該意義下，在納什均衡中我們對(duì)資源存在過(guò)分地榨??；即，我們經(jīng)受了公共問(wèn)題的悲劇。 這種方法可求得社會(huì)最優(yōu)解為 。如通常情況，局中人 1對(duì)局中人 2的消費(fèi)有個(gè)猜測(cè)，并且在該基礎(chǔ)上決定他自己的消費(fèi)水平。 2)( 21 ccy ??我們回到第 1周期，如果局中人 1消費(fèi) c1，他這樣做的效用將取為 log c1， 局中人 1必須確定他從資源的可利用儲(chǔ)備中可以消費(fèi)多少。因?yàn)樵僖矝](méi)有下面的周期了，因此沒(méi)有理由對(duì)在第 2周期可用的量節(jié)省任何部分。 為使事情簡(jiǎn)便 ， 將未來(lái)緊縮成恰好還有一個(gè)周期的消費(fèi)；即 ， 在這個(gè)模型中有兩個(gè)時(shí)間周期 。 在他們?cè)噲D過(guò)度消費(fèi)的事件中 ， 假定總量簡(jiǎn)單地由他們平分；即 ， 每個(gè)人最終消費(fèi) y/2 。 簡(jiǎn)單的模型 假如我們有大小為 y 0的公共財(cái)產(chǎn)資源 。 ? 資源枯竭 。 bca4?2ca ?bca8)( 2?第 6章 應(yīng)用：公共問(wèn)題 ?公共問(wèn)題 ?簡(jiǎn)單的模型 ?社會(huì)最優(yōu)性 ?在人口眾多時(shí)問(wèn)題更糟 公共問(wèn)題存在著兩個(gè)關(guān)鍵性的特征： ? (幾乎 ） 每個(gè)人的享用 。預(yù)先指定生產(chǎn) “ 配額 ” 為 Q1與 Q2；它們的選擇是使得總利潤(rùn)最大化： ]][)([ 2121, 21 cbaM a x ????每家公司的 價(jià)格 每家公司的 生產(chǎn)數(shù)量 利潤(rùn) 注意到如果公司如卡特爾那樣經(jīng)營(yíng) ， 它們比起在納什均衡里的產(chǎn)量生產(chǎn)得少一些；卡特爾的產(chǎn)量是古諾特 納什均衡產(chǎn)量水平的 75%。 當(dāng)兩家公司滿意地解決了這兩件事時(shí) ， 將得到工業(yè)范圍的 ——或納什 ——均衡 。 。 每家公司將生產(chǎn)多少 ？ 為做出該決策 ， 每家公司必須采取兩步： 1. 對(duì)另一家公司的生產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè) 。 需求曲線的另一種理解方式是 ， 如果 Q=Q1+Q2是雙寡頭自身之間生產(chǎn)的量 ， 由此產(chǎn)生的價(jià)格是 我們通過(guò)記 和 來(lái)簡(jiǎn)化這個(gè) （ 逆 ） 需求曲線的表達(dá)式；即 ， 從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)我們將使用的逆需求函數(shù)為 P = a – b Q ??? QP ?????a?1?b假設(shè)每家公司的成本函數(shù)相同 ， 并且每單元成本不隨生產(chǎn)的單元數(shù)變化 。 兩家公司在市場(chǎng)上面臨單純的需求曲線 ， 假設(shè)需求曲線為 Q = ? – ?P 其中 ? 0, ? 0。 ；它一定是納什均衡 ， 但相反的含義未必成立 。 察到的習(xí)性形式 。 ， 納什均衡是最普遍的求解方法 。 ， 每