【正文】 。所以，復變函數(shù)的引入也許可以提供全新的思路。還有最后指出的空間與時間的對稱性等等。 在 Jaynes 的框架中，我們看到了大量的對稱性。系統(tǒng)在最大化信息熵的時候可能已經(jīng)把其他的一些指標最大化了。 最大熵原理可能已經(jīng)隱藏在 Jaynes 的 這套框架之中了。因此，最大化熵產(chǎn)生如何從 Jaynes 的框架中導出來還是不很清楚。 Dewar 的理論僅僅做出了初步的探討。這些感覺 Dewar 的理論中都沒有涉及到，所以必然存在著缺陷。 Jaynes 的統(tǒng)計理論可以說是關于空間的統(tǒng)計理論，這樣最大化熵就相當于把概率 P 最均予的撒到每個狀態(tài)空間的點上以最大化占領空間。最大化熵產(chǎn)生原理 可以理解為在給定時間間隔下，系統(tǒng)會傾向于一條能夠產(chǎn)生熵最大的路徑，同樣也可以理解為假設系統(tǒng)的熵產(chǎn)生給定了，那么系統(tǒng)會傾向于選擇一條熵產(chǎn)生變化最快的路徑。另外，關于最大化熵產(chǎn)生原理還有一種感覺是 Dewar 的理論沒有說出來的。所以最大化路徑的信息熵就是在最大化我們對于具體編碼的無知度。這樣，我們能夠定義出一個編碼的空間，空間中的每個點就是一個具體的規(guī)則。這樣，我們關于路徑的不確定性也就是相當于對規(guī)則的不確定性。這樣，每個 自動機就相當于是一條變化的路徑。只不過僅僅把上式作為約束，我們并沒有導出更好的結果。恰恰相反， Dewar 給出的另外一個隱含條件 (能量連續(xù) )：我認為才更重要，這是因為。我們考慮它提出來的兩個約束條件：雖然這每一個測量 d(x)和 F(x)名義上是對路徑做出的，但是從數(shù)學形式上看，如果我們把 pΓ 就理解為狀態(tài)的概率，它不會對這兩個方程造成任何數(shù)學結構上的改變。 Dewar 考察對路徑的分布，這是很大的進步，它體現(xiàn)了人們應該盯住流動看。但是，我們看到 Dewar 得出MaxEP 的各種努力并不是完美的，這里面牽扯到了太多的假設和近似！因此，我個人認為，這恰恰是因為 Dewar 的思路沒有走到底。雖然之前也有很多人試圖從最大化熵這條路來推廣到非平衡態(tài)物理，但都沒有成功。最后這個耗散函數(shù)就是熵產(chǎn)生函數(shù)。第二篇文章《 Maximum Entropy Production and fluctuation theorem…》中，導出熵產(chǎn)生函數(shù)仍然沿用第一篇的方法，但是在導出 P最大化的思路則是按照我們文中講述的方法。進一步，它通過一系列近似和假設指出了這個平均的熵產(chǎn)生 P能夠被最大化。第二個難點是，當我們得到了熵產(chǎn)生函數(shù)之后，如何自然導出它的最大化 ?Dewar 的兩篇文章分別用不同的方法解決這兩個問題。它的意義在于：在沒有引入過多假設的情況下，就可以導出適合于非平衡態(tài)的最大熵產(chǎn)生原理。這樣結合上一節(jié)的結論，我們就得到了最大化熵產(chǎn)生原理。其中第一項是傳遞給系統(tǒng)的能量流乘以溫度梯度。回憶到，在第一篇中，我們已經(jīng)指出 λ可以看作是 1/T，即溫度的倒數(shù)，而 FΓ (x)是對應的能量流，所以 P跟熵產(chǎn)生已經(jīng)很接近了，進一步，再用一下高斯定理，即把在邊界區(qū)域上的積分改成體積分：這里 div(FΓ (x))表示的是能量流在空間上不同點的損失，所以 P 就是熵產(chǎn)生，第一項是由溫度梯度引起的，第二項是由于摩擦、耗散等原因引起的能量損失。注意到系統(tǒng)運動應該滿足連續(xù)性條件，也就是 d和 F之間存在著一定的關系：個人以為這個運動連續(xù)性的條件的引入非常重要。我們記：我們知道， P就相當于是 Jaynes 框架下的 如果 P 就是熵產(chǎn)生函數(shù)，那么上一小節(jié)的結論就可以用到了。這些等式再代入 p(Γ )的時候就得到了積分項。假設不同的微觀路徑對應不同的密度和流量，但是我們僅僅能測量出它們的平均值，所以我們有約束：注意到，這些條件是針對空間區(qū)域 V 或邊界Ω中任意一點列出的。系統(tǒng)所處的空間區(qū)域是 V，區(qū)域的邊界是Ω。首先，我們是針對系統(tǒng)演化的路徑的信息熵求最大值，所以：其次，我們要考慮系統(tǒng)所受到的約束。下面，我們就來對最可能路徑進行計算，找到 D就是熵產(chǎn)生函數(shù)的條件。因此，我們最大化信息熵的同時，也就自然求解了一個優(yōu)化問題： 變成：其中β是拉格朗日乘子。而假如各個λ都是所有 f 的線性函數(shù)，那么這個確定λ的過程也就會讓λ漸漸與 D=const 這張曲面垂直，也就是滿足正交條件。讓我們動態(tài)考慮整個最大化熵的過程。這就對應了在滿足約束條件 (13)的條件下，系統(tǒng)要最大化 D 這個函數(shù)。這樣，我們可以仿照熵產(chǎn)生的定義，定義一個耗散函數(shù) (后面，我們看到，它就是熱力學熵產(chǎn)生 )：考慮到λ r 與 fj 之間的線性關系假設，這個函數(shù)就是：這就是說， D函數(shù)是 fj 的一個二次 型。我們回憶得到的概率分布是：我們還有 S對測量值 f的導數(shù)：這樣 λ r對 fj的偏導數(shù)就是：因為λ r與 fj之間的函數(shù)關系被關系式 (6)制約著，這是一個很復雜的超越方程，我們很難求解。實際上，盡管不考慮路徑的信息熵，我們都可以從 Jaynes 的框架中直接得到一個最優(yōu)化函數(shù)，但是它的代價是需要我們做出線性近似的，在給定 f 的時候，當 pi 優(yōu)化信息熵 S 的同時，那些 參數(shù)λ就去優(yōu)化這個最優(yōu)函數(shù)。 Dewar 的思路是，通過最大化路徑信息熵，我們就能自動導出一個新的函數(shù)的最大化的問題，而這個函數(shù)剛好就是熵產(chǎn)生函數(shù)。所以我們最 大化路徑的信息熵就得到了穩(wěn)態(tài)的分布，即：當然，在最大化路徑信息熵的時候我們還要考慮到一些實際的約束。在演化的系統(tǒng)中，這種穩(wěn)態(tài)就對應了路徑信息熵最大的狀態(tài)。那么你看到那些水波紋就停在那里不動了，這時候，雖然你再往下看，水波紋變成了一顆顆運動的水滴，系統(tǒng)應該是處于變化過程中的。這就叫穩(wěn)態(tài) (steady state 或 stationary state)。所謂的穩(wěn)態(tài)，就是指雖然系統(tǒng)的每一個部分都在不停的運動變化過程中，但 是構成系統(tǒng)運動變化的流都不變了。 最大熵方法適合于描述平衡態(tài)的系統(tǒng)，也就是各個變量都不再變化了，系統(tǒng)也就停留在了最大熵給出的狀態(tài)上。因而我們?yōu)槊恳粋€路徑都分配一個主觀概率： pΓ。設一個微觀路徑為Γ，則這些路徑的全體集合就是 {Γ }。為了說明最可能路徑理論，讓我們考慮這樣一幅圖景：系統(tǒng)從初始狀態(tài)出發(fā)演化到終止狀態(tài)。當我們把眼光放到動態(tài)系統(tǒng)的時候，我們關注的不再是靜止的狀態(tài)，而是變化本身！在系統(tǒng)中，這種變化就體現(xiàn)為一條演化的路徑。正如我們一再強調的，數(shù)學框架的優(yōu)點在于它可以提供一種抽象的結構，在這個框架下，你放進去什么東西它并不管，但是數(shù)學結構可以保證你放進 去的東西必然存在著一些聯(lián)系和性質，這是最重要的。面對一個系統(tǒng)，我們對它的了解最無知，所以我們就會去最大化這種無知度的度量：熵。這樣，科學家們正是忽略了大量的微觀信息才能發(fā)現(xiàn)氣體的運動規(guī)律，也才有了統(tǒng)計物理。統(tǒng)計物理的新視角是，我并不否認客觀世界的說法，但是在處理大數(shù)目的復雜系統(tǒng)的時候，這種完全從微觀物理出發(fā)推導出整個宏觀物理系統(tǒng)行為的方法沒有錯， 但并不是最聰明的方法。第三篇： Dewar 的《 Maximum entropy production and the fluctuation theorem》 +《 Information theory explanation of the fluctuation theorem,maximum entropy production and selfanized criticality in nonequilibrium stationary states》 一、最可能路徑 正如開篇所說，統(tǒng)計物理這套方法之所以能夠奏效主要歸因于它提出了一整套全新的看待世界的視角。相比較來說，最可能路徑理論是目前最有突破希望的一個理論了。第二個學派是隨機過程學派，這套方法 也需要引入新的假設。它能給出最大熵產(chǎn)生原理一個最嚴格、徹底的證明。目前，對這一原理的微觀解釋主要分成三種途徑，這三種途徑也基本上代表了當今非平衡態(tài)統(tǒng)計物理的三種不同的學派。四、微觀解釋 Ziegler 的最大熵產(chǎn)生原理是作為一種假設引進來的，雖然它已經(jīng)在很多實際問題中發(fā)揮了作用，不過人們對這一假設為什么正確并不理解。從這個原理出發(fā)能導出Onsager 對易關系和 Prigogine 的最小熵產(chǎn)生原理。提兩句文中的另一個結論 在一類特殊的σ (J)情況下討論問題比較有意思，這就是加入σ (J)是 J 的二次式，即：其中 Rik是一個常數(shù)矩陣。反過來，如果我們能得到一個函數(shù)σ (J1,J2)與σ (J)=ΣJX=J1X1+J2X2 滿足正交條件 ({X1,X2}垂直于曲線σ (J1,J2)=const)，那么 J1和 J2 這對變量就在最大化σ (J1,J2)。曲線σ (J1,J2)=σ max的法向量是：而直線的法向量是 {X1,X2}。這條直線應該與曲線相切，這就是 M點是 極值點的充要條件。這個時候，σ (J1,J2)=σ max就成為了一個曲線 (如圖中底部的圓 )。根據(jù)該圖，這個極大值就對應了 M點。這個平面會 與曲面σ (J)生成一條相交的曲線 (圖中的 OM 曲線 )。這是一個很有意義的數(shù)學條件，它具有一定的幾何意義，我們后面還會用到，具體請看下圖：這張圖表示了當僅有兩個流的時候σ (J1,J2)的極值問題。μ是引入的拉格朗日乘子。假如系統(tǒng)中的各種廣義力固定了，即 Xi都不變了，那么可變的各種流 Ji將會導致最大化σ。這個原理最早是由 Ziegler 提出來的 (作為一種普遍的假設 )，因此也叫做 Ziegler 原理，它的數(shù)學表述為： 。這種啟發(fā)對于數(shù)學家來說有很大的用處，后面我們就會看到這種相似的作用。這樣熵產(chǎn)生 (12)式