【文章內(nèi)容簡介】 ln n 下面引入一次測量，即增加一條約束：這樣，新的最大熵是：測量引起的熵減就是：應該可以驗證 SS39。0，這是因為對于函數(shù)，均勻分布的熵最大，其他任何分布都比它小。不過尚未找到證明方法，要證明這個不等式可能要用到意想不到的數(shù)學技巧，例如復數(shù)。進一步，如果已經(jīng)有了 m次測量，最大熵為：引入新的測量之后，測量次數(shù)變?yōu)榱?m+1，最大熵為：引起的熵減是：該公式也應該 0，但是尚未找到證明方法?？雌饋砗軐ΨQ的樣子 。這個猜想也是錯的，原因是后來的 lambda 在測量之后也會改變，而且我做了數(shù)值模擬，請看本文的回復 31。無論是第一種解釋方法 (資源的分配 )，還是第二種解釋方法 (測量引起不確定的喪失 )。他們的數(shù)學框架是一模一樣的。與其說它們是兩種過程，還不如說它們就是一回事兒！即，一次測量就相當于把一定的能量分配給被測量的系統(tǒng)，從而降低系統(tǒng)的不確定性！即觀察引起熵減！ 測量誤差與二階導數(shù) 用測量的眼光來看待整個數(shù)學框架，那么，一次測量不僅僅有測量的均值f，而且還會有測量的誤差。具體的測量誤差定義為統(tǒng)計量 f的方差：即測量量的 平方的均值減去均值的平方。在 Jaynes 的數(shù)學框架下，這個方差剛好是 lnZ這個函數(shù)對相應的λ的二階導數(shù)，這是因為我們已經(jīng)知道 (7)：這樣 lnZ 對λ r的二階導數(shù)就是 fr 對λ r 的一階導數(shù)。因為這兩個變量的關系時只有 (6)式給出，所以我們從 (6)出發(fā)：等式兩邊對λ r求偏導：注意到 p(xi)的定義，我們得到：而左邊就是 f2，右邊第二項就是 f 2，所以也就是說， f 這個測量量的方差剛好是 lnZ函數(shù)對相應溫度的二階導數(shù)。這就是數(shù)學框架的魅力與威力所在，數(shù)學框架給出了一種抽象的結(jié)構(gòu)，從這個結(jié)構(gòu)能夠?qū)С鲇袑嶋H意義的物理量。也 許還有更多的信息隱藏在 lnZ、 S等函數(shù)的二階導數(shù)中。讓我們進一步探索。我們已經(jīng)知道：這里 fr不僅僅跟λ r有關，還跟其它的λ有關，所以：因為我們可以對任意兩個 m 中的變量λ r 和λ j 求偏導，所以，這一共有 m*m個導數(shù)值，這些數(shù)值就可以構(gòu)造成一個 m*m 的矩陣，把它記為 Am*m。顯然矩陣 Arj是一個對稱陣，因為 Aij=Aji?？梢则炞C，這個矩陣剛好就是測量量 fr的協(xié)方差矩陣，也就是：在另一方面，根據(jù) (10)： 同樣的道理，因為有 m*m 對 fr 求導的組合，這樣就能得到一個矩陣 Bm*m。我們已經(jīng)看到了λ這組變量和 f 這組變量 的驚人的對稱關系。那么 A 矩陣和 B矩陣有什么關系呢 ?我們讓 A和 B這兩個矩陣相乘： 因為 fi 對 fj 的導數(shù)只有在 i=j的時候為 1，其他的時候因為它們之間沒有函數(shù)關系，所以為 0。也就是說 A和 B這兩個矩陣互為逆矩陣。而 ln Z和 S這兩個函數(shù)在對分布函數(shù)的編碼信息方面等價。實際上 ln Z 和 S可以通過勒讓德變換聯(lián)系起來。而 f和λ之間是共軛的。我們將會看到 f和λ之間的這種共軛性與熵產(chǎn)生的表達式中的廣義流和廣義里的共軛性有著驚人的相似性。第二篇： 和 的《 Maximum entropy production principle in physics,chemistry and biology》 一、兩句廢話 嚴格說，這段文字不屬于讀文總結(jié)，而是把我知道的有關非平衡態(tài)熱力學的知識復述一遍。這篇文章主要引領我們進入非平衡態(tài)的世界，在這里，熵產(chǎn)生的概念更加重要。最近的一些研究慢慢發(fā)現(xiàn)熵產(chǎn)生在不可逆的非平衡熱力學過程中扮演者非常重要的角色。就像熵的最大化能夠指引平衡態(tài)系統(tǒng)的發(fā)展方向一樣，熵產(chǎn)生的最大化也能夠指引非平衡態(tài)熱力學的發(fā)展方向。這個原理被稱為最大化熵產(chǎn)生 (Maximum Entropy Production Principle,簡稱 MEPP)。這篇文章是篇綜述，寫得非常詳細。從最大熵產(chǎn)生原理的熱力學表述，到該原理的統(tǒng)計物理基礎，再到它的一些應用。本文首先講述熵產(chǎn)生這個概念，接下來講述該篇綜述文章中提到的一些數(shù)學原理。對應用的部分就忽略了。二、什么是熵產(chǎn)生 讓我們從克勞修斯對熱力學熵的定義開始談起?？藙谛匏巩斈晏岢鲮剡@個概念我覺得完全是一種數(shù)學技巧的產(chǎn)物。在 19世紀，卡諾 (Carnot)曾經(jīng)提出了一個理想的熱機模型：卡諾熱機 (Carnot engine)，這個熱機是在時間上可逆運作的 ，克勞修斯發(fā)現(xiàn)，可以定義一個物理量叫做熵： dS=dQ/T 這個定義的好處是，針對于可逆熱機，如果熱機回到原點，那么熵變△ S=0，即熵沒有損耗。但對于不可逆熱機，因為不可逆熱機的效率要小于熱機的效率，所以克勞修斯得出： dS dQ/T 它的意思是，熱機在工作中要吸收熱量從而引起熵增。但是，不可逆熱機的熵增要大于喂給它的熱量。這樣，對于一個回到原狀態(tài)的循環(huán)過程來說，熵變△ S 0。綜合這兩種情況就是： dS=dQ/T 和你一樣，普里高津也看著這個公式覺得很別扭，因為這是不等號。于是，他就把這個等式右邊加了一項，讓它變成了等 號： dS=dQ/T+diS 其中增加的這一項 diS就叫做熵產(chǎn)生 (Entropy Production)，而根據(jù) dS=dQ/T，顯然 diS=0。即，無論是可逆過程還是不可逆過程。熵變總體現(xiàn)為兩個過程的合效應，即一部分是從外界吸收的熱量引起的熵增，另一部分是系統(tǒng)自己無緣無故產(chǎn)生的熵 diS。我們還可以把這個等式寫為： dQ 總 /T=(dQ 輸入 +dQ 產(chǎn)生 )/T 這樣，我們?nèi)匀豢梢匝赜每藙谛匏箤赡鏌釞C定義的熵變的公式： dS=dQ/T，把它擴展到一切過程 (包括不可逆 )。所不同的是，我們引入了一個量 dQ 產(chǎn)生。我們知道，對于一個 過程來說，過程從環(huán)境吸收熱就體現(xiàn)為可測量的熱量傳遞： dQ 輸入，但是如果過程不可逆，那么根據(jù)上式，這就意味著，機器自己還會無緣無故地產(chǎn)生出一部分熱量 dQ產(chǎn)生來。這部分熱不是外界傳遞給系統(tǒng)的，而是系統(tǒng)從自身內(nèi)部的有序能量中耗散出來的。這部分廢熱就導致了熵產(chǎn)生。這個過程說白了就是任何一種變化過程都有摩擦存在，所以熵產(chǎn)生不可避免。按照例 2，如果我們把熵看作為價值的反面會更容易理解這個熵產(chǎn)生的定義。普利高津指出來的熵產(chǎn)生在經(jīng)濟系統(tǒng)中就意味著不可避免的價值損失。比如你往一個村莊里投錢，你投的是 10000 元，這筆錢到了村 子里必然會創(chuàng)造出一定的價值。你期望這筆錢創(chuàng)造的價值應該是：10000/T，這里 T就表示村子的平均經(jīng)濟水平 (比如人均收入 )。但是，根據(jù)克勞修斯發(fā)現(xiàn)的 dS=dQ/T，翻譯成價值的語言就意味著 dS=dW/T，這里的 dW==dQ=10000。也就是說你投入的 10000 元造成的實際價值增長要小于 10000/T。反過來再按照克勞修斯的說法，這就意味著必定有一過程導致價值損失。也就是說你的 10000 塊錢不可能完好無損的發(fā)揮作用，必定有那么一部分錢比如100 元是打水漂了。例如可能被村長私吞了，導致你的錢沒有救濟到所有村 民，等等。那么，這部分熵的增長，或者是價值的損失是什么引起的呢 ?為了說明這種熵產(chǎn)生或者等效的價值喪失的起源。我們先用經(jīng)濟系統(tǒng)中經(jīng)濟價值作為例子來說明。還是考慮這個可憐的村莊，如果進一步研究這個村莊會發(fā)現(xiàn)，這個村子內(nèi)部并不是具有同等經(jīng)濟水平的。假設村莊可以分成東村和西村，并且東村的經(jīng)濟水平 T1比西村 T2 要高。這樣，由于各種經(jīng)濟活動，西村的人民可能更愿意花錢買東村的商品 (因為東村比西村富，所以西村的人就會覺得東村的商品質(zhì)量好，這就像改革初期，中國人都愿意買從美國、日本、韓國進口的商品一樣 )。于是就有貨幣流從 T2往 T1 跑，而這種從經(jīng)濟水平低到經(jīng)濟水平高的貨幣移動就會造成價值的損失，讓我們看下圖：表面上看起來經(jīng)濟交換是公平合理的，西村損失的貨幣原封不動地轉(zhuǎn)移到了東村，價值按理說應該沒有損失呀。但請不要忘記，同樣的 10000 元錢在經(jīng)濟水平高的地方要比經(jīng)濟水平低的地方更不值錢！所以，貨幣在兩塊經(jīng)濟水平不同的區(qū)域之間流動就會導致價值的損失。這樣，對于外部投資者，你往該村投了 10000 元錢，這筆錢所帶來的實際價值并不是真正的 10000/T。而必然比這個數(shù)值小。之所以價值要損失，就是因為該村子內(nèi)部的經(jīng)濟狀況是不平衡的，貧窮地方 的錢更傾向于往富裕的地區(qū)流動，這個流動就必然導致價值的損失！只要我們把上面提到的價值的負值翻譯為熵，把經(jīng)濟水平翻譯為溫度，把價值損失翻譯為熵產(chǎn)生，那么上面的描述完全可以套用到熱力學。在熱力學中，如果有兩個容器相連，第一個容器溫度高，第二個容器溫度低，那么第一個容器就會往第二個容器流熱量，這個過程就會體現(xiàn)出熵產(chǎn)生：這個例子也有錯誤，感謝東方和尚的指正，詳情請看：在熱力學中，我們通常用σ來表示熵產(chǎn)生，它可以寫為 JX 的形式。其中 J為熱量流 dQ， X是由溫度的不均勻引起的勢差，也叫做廣義的力。所以熵產(chǎn)生也定義為廣義流 乘以廣義力。正如上一篇文章提到的，溫度沒有必要限定在物理溫度上，這里討論的流和力也沒有必要限定在熱流和溫度梯度。在任意一個非平衡系統(tǒng)中，它可能存在很多的廣義流和廣義力 (例如，在電路中，電流就是廣義的流，電勢差就是廣義的力 )。這些流和力就能引起熵產(chǎn)生，所以熵產(chǎn)生的表達式為： (12)即熵產(chǎn)生是各種廣義流乘以廣義力的總和。三、線性區(qū)域的非平衡態(tài)物理 物理學家喜歡線性的東西，因為什么東西一線性了，微積分的那一大套就可以用上了?，F(xiàn)在我們主要討論幾個比較重要的非平衡態(tài)物理的線性近似。當系統(tǒng)內(nèi)部的廣義力不是很大的時候，這 套結(jié)論就都適用。我們都學過歐姆定律：U=IR，其中