第17講交換律、單位元、零因子、整環(huán)(參考版)
2024-09-08 15:09本頁面
【正文】 { RR ?? 是個 幺 環(huán) ,由 R 中所有可逆元構成的集合為 }|{ 可逆aRaS ?? .那么},{?S 是一個乘法群 . 證明 :由于 R1 本身是可逆的 . SR??1 .即 ??S . (ⅰ ) .)(, 111 ??? ???? ababSba ∴ Sab? (ⅱ )因為 },{?R 是半群 S? 滿足結合律 . (ⅲ ) SR?1 (ⅳ ) Sa?? ,則 1?a 的逆元恰是 Saa ?? ?1 . 由 (ⅰ )～ (ⅳ ) },{ ??S 是乘法群 . 整環(huán) 定義 5. 設 R 是環(huán) ,如果 R 滿足下列條件 ,則叫作整環(huán) . (1)R 是交換環(huán) ,(2)R 有單位元 ,(3)R 是無零因子環(huán) . 例 6. 整數(shù)環(huán) Z ,多項式環(huán) ,模 p 剩余類環(huán) pZ (p 為素數(shù) )都是整環(huán) .而不是整環(huán)的有 :偶數(shù)環(huán) (無 R1 ).矩陣環(huán) )(FMn (不 交 換且有零因子 ), mZ (m 為合數(shù) ,有零因子 )。{ RR ?? 是 幺 環(huán) ,也不能保證每個元素都可逆 . ③在 幺 環(huán) R 中 ,若 a 可逆 ,那么 a 的逆元必是唯一的 ,習慣上記為 1?a ,顯然aa ??? 11)( . 第 6 頁 共 6 頁 例 6. ①因為偶數(shù)環(huán) Z2 中沒有單位元 ,故 Z2 中沒有談論逆元的 “ 資格 ” . ②整數(shù)環(huán) Z 中有單位元 R1 (整數(shù) 1).但除了 1? 外 ,其余元都不可逆 . ③在 )(FMn 中 .單位元是 E .而 )(FMA n? 可逆 0|| ??A . 思考題 3.① “ 幺 環(huán) 中必有可逆元 ” 對嗎 ? ② 在 ][xF 中 , )(xf 可逆的充要條件是什么 ? ③若 }0{?R — 零環(huán)， R 中有單位元嗎？ ④若 幺 環(huán) },0{?R ,那 01?R 對嗎 ? ⑤左 (右 )零因子會是可逆元嗎 ? 0 會是可逆元嗎 ? 明示 : 設 }1,。{ RR ?? 定義 }1,。{ ??R 中若有元素 e ,使得 . Ra?? 都有 aaeea ?? ,那么 稱這個元素 e 叫做環(huán) },。{ ??R 為環(huán) ,就加法 ” +” 而言 .加法群 },{ ?R 中自然有單位元 ,習慣上換為群},{ ?R 的零元 ,并記為 . 對乘法 ” { ??R 是一個無零因子環(huán) ,那么 加 群 },{ ?R 中每個非零元素的階彼此必相同 .并且 ,若有限時必是素數(shù) . 說明 : }0{.0,0 ????? RRba 且設 (ⅰ )若每個非零元的階都是無限 ? 它的階都相同 . (ⅱ )若 0,|| ??????? ?? ??? ?? ?n aaanana ? )()(0 nbabna ?? ,? .0?a 且 R 中無零因子 . .||0 nbnb ???? 若 mb?|| 則 nm? ,重復上述的證明 ,同理 mn?? ? mn? .即 nb?||
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