【正文】 分段平均減小了由數(shù)據(jù)樣本本身的隨機(jī)性帶來的方差，段數(shù)越多方差越小，但分辨率下降。其主要步驟如下： ① 將 N 長的數(shù)據(jù)段分成 L 個小段，每小段 M 點，相鄰小段間交疊 /2M 點，于是段數(shù)為 /2/2NML M?? (424) ② 對各小段加同樣的平滑窗 ()wn 后求傅立葉變換，得 10( ) ( ) ( ) 1 , ,Mj j niinX e x n w n e i L??? ??? ? ???? ， (425) ③ 求各小段功率譜的平均，得 2111( ) ( )Ljjx iiS e X eL M U????? ? (426) 這里， 1 201 ()MnU w nM??? ?代表窗函數(shù)平均功率，所以 1 20 ()MnMU w n????是 M 長窗函數(shù)()wn 的能量。 現(xiàn)在比較常用的方法是 Welch 法，又叫加權(quán)交疊平均法，簡記為 WOSA 法。平均就是將截取的數(shù)據(jù)段 ()Nxn再分成 L 個小段，分別計算功率譜后取功率譜的平均，這種方法叫 Bartlett 方法。 平滑是用一個適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù) ()jWe? 與算出的功率譜 ()jxSe?? 進(jìn)行卷積，使譜線平滑。于是人們研究各種改進(jìn)方法以減少方差，尤其是周期圖法。因此古典譜估計無法克服譜分辨率低的缺點。但實現(xiàn)時兩者往往是矛盾的，任何減小旁瓣的努力都要以犧牲主瓣寬度為代價，反之亦然。 為了減少泄漏和提高譜估計的分辨率，改善窗的形狀是必要的 。由于存在旁瓣，又會產(chǎn)生兩個后果，一是功率譜主瓣內(nèi)的能量“泄漏”到旁瓣使譜估計的方差增大，二是旁瓣卷積后得到的功率譜完全屬于干擾。矩形窗頻譜的幅度函數(shù)為 sin( ) / sin( )22N??，它與 ? 函數(shù)相比存在兩方面的差異，一是主瓣不是無限窄，二是有旁瓣。矩形窗頻譜等于矩形序列 ()NRn的傅立葉變換 ，即 1120sin ( )1 2( ) ( ) 1sin ( )2NjNN jj j n j nRN jnnNeW e R n e e ee? ?? ? ???????? ????? ? ? ??? ? ? ???? (423) 對功率譜有影響的是矩形窗頻譜的幅度譜 sin( ) / sin( )22N??，該函數(shù)與功率譜相卷積必然使所得的估計譜不同于真實的功率譜，因為函數(shù)不同于 ? 函數(shù)（任何函數(shù)與 ? 函數(shù)相卷積形狀不變）。 周期圖法譜估計 周期圖法又稱直接法，其具體步驟如下： 第一步：由獲得的 N 點數(shù)據(jù)構(gòu)成的有限長序列 ()Nxn直接求傅立葉變換，得頻譜 ()jNXe? ，即 10( ) ( )Nj j mNNnX e x n e??? ??? ? (421) 第二步：取頻譜幅度的平方，并除以 N ，以此作為對 ()xn 真實功率譜 ()jxSe? 的估計，即 21( ) ( )jjx NS e X eN??? ? (422) 古典譜估計的改進(jìn) 相關(guān)法和周期圖法都是用獲得的 N 個數(shù)據(jù)對隨機(jī)過程進(jìn)行譜估計，它隱含著對無限長數(shù)據(jù)加了一個矩形窗截斷。 ④ 求 (2 1)N? 點的 IFFT，得 1 22 1 2 1( 1 )11( ) ( )21N nkxNNkNR m X k WNN?? ???? ? ?? ? ? (420) ⑤ 由式 (416)便可求出 ()jxSe?? 。因為截斷后的 ()Nxn可視作能量信號，由相關(guān)卷積定理，可將式 (415)寫為 1( ) [ ( ) ( ) ]x NNR m x m x mN? ? ? ? (417) 對上式兩邊取 (2 1)N? 點的 DFT，并將時域卷積變?yōu)轭l域乘積，有 2*2 1 2 1 2 111( ) [ ( ) ( ) ] ( )jx N N NS e X k X k X kNN?? ? ? ?? ? ? (418) 于是可得用 FFT 求 ()xRm? 的完整方案如下： ① 對 N 長的 ()Nxn充 ( 1)N? 個零，成為 (2 1)N? 長的 21()nxn? 。由于 MN?? ，使得式 (416)的運算量不是很大 ， 因此，在 FFT 問世之前，相關(guān)法是最常用的譜估計方法。另一次是估計 ()jxSe?? 時僅利用了從 ( 1)M??到 ( 1)M? 的 ()xRm? ，這相當(dāng)于對 ()xRm加矩形窗截斷，將 ()xRm截成 (2 1)M? 長，這稱為加延遲窗。 第二步：由自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換求功率譜， 即 1( 1 )( ) ( )Mj j mxxmMS e R m e????? ?? ? ?? ? (416) 以上兩步中經(jīng)歷了兩次截斷，一次是估計 ()xRm? 時僅利用了 ()xn 的 N 個觀測值()Nxn，這相當(dāng)于對 ()xn 加矩形窗截斷。 ③ 為了較少地使用已知數(shù)據(jù)段之外的數(shù)據(jù)，通常取 mN?? 。對實數(shù)序列 ()Nxn，由自相關(guān)函數(shù)的偶對稱性，只需求出 0,1, , ( 1)mN? ??? ?的 ()xRm? ，另一半也就知道了。它的理論基礎(chǔ)是維納 辛欽定理，因為是由 Blackman 和 Turkey 提出的，所以又叫 BT法。 本文主要介紹了古典譜估計和最大熵譜估計，分述如下： 古典譜估計 古典譜估計主要有相關(guān)法（間接法）和周期圖法（直接法）兩種，以及由此派生出來的各種 改進(jìn)算法。這些方法主要分為兩大類。所以，利用統(tǒng)計度量對不同的譜估計方法進(jìn) 行比較是不妥當(dāng)?shù)?，只能用來對某種譜估計方法進(jìn)行描述，并且一般只用來描述古典譜估計方法，因為現(xiàn)代譜估計方法往往用于短數(shù)據(jù)記錄情況。統(tǒng)計度量是指估計的偏差、方差、均方誤差、一致性等評價指標(biāo)。在客觀度量中，譜分辨率特性是一個主要指標(biāo)。也就是說，功率譜估計是根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程一個實現(xiàn)的有限個觀測值，來估計隨機(jī)過程的功率譜密度（ PSD）。但對于許多實際應(yīng)用問題，可資利用的觀測數(shù)據(jù)往往是有限的，所以要準(zhǔn)確計算功率譜通常是不可能的。 ③ ()jxSe? 對所有的 ? 都是非負(fù)的，且是 ? 的周期函數(shù)，周期為 2? 。 平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜具有如下性質(zhì)： ① 不論 ()xn 是實序列還是復(fù)序列， ()jxSe? 都是 ? 的實函數(shù)。由于自相關(guān)函數(shù)序列 ()xRm是一個能量有限的確定性序列，故能滿足序列傅 立葉變換絕對可和的條件。 隨機(jī)信號的功率譜 對確定性能量信號，可以用 FFT（快速傅立葉變換） 作頻譜分析，得到頻域特性。 ② 在 0m? 時， ()xRm取得最大值，即 (0) ( )xxR R m? 且 (0)xR 就是序列的平均功率，即 2(0) [ ( )]xR E x n? (411) ③ 維納 辛欽定理 隨機(jī)信號自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換是信號的功率譜密度。本文計算所涉及的隨機(jī)數(shù)據(jù)均看作廣義平穩(wěn)和各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程。 可見，對各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，可以用一個樣本函數(shù)的時間平均計算隨機(jī)過程的集合平均。 寬平穩(wěn)過程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程；反過來，嚴(yán)平穩(wěn)過程也不一定是寬平穩(wěn)過程，因為寬平穩(wěn)過程必須是二階矩過程。 注意，只是分布不隨時間變化，并不涉及服從什么分布。 , , , )n n n nF x x x t t t F x x x t t t? ? ???? ??? ? ??? ? ? ??? ? (41) 對一切有限集 {}itT? 和任意 T?? 都成立，則稱為 ()Xt嚴(yán)平穩(wěn)過程（也稱狹義平穩(wěn)過程或強(qiáng)平穩(wěn)過程）。 平穩(wěn)隨機(jī)過程 1．嚴(yán)平穩(wěn)過程 —— 從 n維概率分布函數(shù)出發(fā) 設(shè) { ( ), }X t t T? 是一個隨機(jī)過程，如果對于任意的 T?? ，過程 ()Xt?? 與( )( )X t t T? 有同樣的分布，即 1 2 1 2 1 2 1 2( , , , 。隨機(jī)過程 ( , )Xt? 能以兩種方法描述 ： 表示成隨機(jī)變量族 { ( , ), }iiX t t T? ? ，對任何固定的 itT? ， ( , )iXt? 是隨機(jī)變量。 隨機(jī)過程及其特征描述 隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通常用 ( , )Xt? 表示，定義為兩個自變量 ??? 和 tT? 的一個集合函數(shù)。 第 4 章 軌道譜估計 在第 1 章已經(jīng)提到，軌道不平順影響因素的多樣性和隨機(jī)性決定了軌道不平順的隨機(jī)性，沿線路長度方向的軌道不平順可以看作一個隨機(jī)過程，軌道不平順是里程的隨機(jī)函數(shù)，任一特定區(qū)段的軌道不平順可以看作隨機(jī)過程的一個樣本。 ② 我國三大干線軌道譜的方向不平順在 7~20m 的波長范圍內(nèi)基本與美國五級線路譜相當(dāng)，在 1~7m 的波長范圍內(nèi)尚不如美國五級線路譜好，在 25m 以下波長范圍均比美國六級線路譜明顯要差。 同樣可以推斷，在德國低干擾譜激擾下列車橫向運行舒適性優(yōu)于其它兩種譜下的舒適性，而中國高速試驗譜激擾下的車輛橫向舒適性接近于德國高干擾譜激擾結(jié)果。 由于長波不平順對高速列車運行舒適性有重要影響，短波不平順對高速列車的動力特性影響較大，故 可以推斷，對于垂向舒適度，中國高速試驗譜要優(yōu)于德國高干擾譜，而比德國低干擾譜差；而對于輪軌垂向動力作用 性能，中國高速試驗譜不僅差于德國高干擾譜，更差于德國低干擾譜。 根據(jù) 圖 315 和圖 316 的結(jié)果可知： 對于高低不平順，中國高速試驗段軌道譜與德國高干擾譜互有優(yōu)劣，在 7~10m波長范圍內(nèi)，二者的功率譜密度值相差不多 ；在 10~30m 波長范圍內(nèi)，中國譜密度值要比德國高干擾譜的功率譜密度值?。欢?1~7m 波長范圍內(nèi)，中國譜密度值要比德國 高干擾譜的功率譜密度值大 一些 。 經(jīng)過單位換算后，在 MATLAB 中編寫程序可以得到以下 高速線路 軌道譜比較圖：（具體程序 詳 見附錄 1） 100101102103102101100101102103104功率譜密度/[mm2/(rad/m)]波長 /m高速線路高低不平順 德國低干擾軌道譜德國高干擾軌道譜中國高速試驗段譜 圖 315 高速線路軌道高低不平順功率譜密度 100101102104103102101100101102103功率譜密度/[mm2/(rad/m)]波長 /m高速線路方向不平順 德國低干擾軌道譜德國高干擾軌道譜中國高速試驗段譜 圖 316 高速線路軌道 方向 不平順功率譜密度 圖 31 316 分別給出了德國低干擾譜、高干擾譜和鄭武 段高速軌道譜的 高低 不平順及 方向 不平順功率譜密度在 1~30m 波長范圍內(nèi)的對比結(jié)果。 高速線路軌道譜的比較 關(guān)于高速運行條件下的軌道譜，國外最典型的標(biāo)準(zhǔn)要數(shù)德國軌道譜，包括低干擾（適合 250km/h 及其以上速度）和高干擾譜（適合 250km/h 以下速度）兩種，我國尚無高速軌道譜標(biāo)準(zhǔn)， 1998 年曾在鄭武線上按高速運行要求改造了一段 所謂高速試驗段 （試驗段從許昌至小商橋之間，曾創(chuàng)下當(dāng)時中國鐵路最高試驗速度240km/h ） ，通過軌檢車測量并擬合了軌道譜，這里就以此作為比較對象。具體比較結(jié)果如 下：與美國六級譜相比，在 1~25m 波長范圍內(nèi)，我國三大干線譜密度值明顯較大，而在 25m 以上的少許波長下，三大干線譜密度值要小些；與美國 五級譜相比，在 7~20m 波長范圍內(nèi)，二者的功率譜密度非常接近，波長大于 20m 時，三大干線譜優(yōu)于美國五級譜，波長小于 7m 時，前者差于后者。 由于長波不平順主要影響車輛運行平穩(wěn)性，短波不平順對輪軌動力作用有重要影響， 由此可推知，在我國三大干線譜激擾下，中低速列車垂向平穩(wěn)性要優(yōu)于美國五級譜下的舒適度，但較美國六級譜的舒適度要差。 由圖 313 可見，我國三大干線軌道譜的高低不平順總體 上 介于美國五級譜和六級譜之間。 對于 三大干線譜： 224 3 2 24 3 22342 2 3 411[ ( ) ]( ) 1()1 1 1 1( ) ( ) ( )()( 1 )A B CA f Bf CLLSLf Df Ef Ff G LD E F GL L L LA L BL C LL DL EL FL GL??????? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? (318) 由于 根據(jù) 上式無法推倒出 ()SL的單位 ，故利用2()( ) ( ) df S fS L S f dL L? ? ?，由 ()Sf 的單位 2mm /(1/m) 可得到 ()SL的單位為 2 2 2m m m /m =m m /m? 。我國普通線路以