【正文】 qn.∴ Sn＝1－ qn?1－ q?2＋nqn， 兩式相減得： (1－ q)Sn＝ 1＋ q＋ q2＋ ? ＋ qn－ 1＋ nq2＋ 3qn－ 1， qSn＝ 1q1＋ 3四川 )已知等差數(shù)列 {an}的前 3 項(xiàng)和為 6，前 8 項(xiàng)和為－ 4. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) bn＝ (4－ an)qn－ 1(q≠ 0， n∈ N*)，求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和 Sn. 錯(cuò)因 未對(duì) q＝ 1 或 q≠ 1 分別討論，相減后項(xiàng)數(shù)、符號(hào)均出現(xiàn)了錯(cuò)誤． 實(shí)錄 (1)由已知得 ??? a1＋ a2＋ a3＝ 6，a1＋ a2＋ ? ＋ a8＝－ 4， 即 ??? 3a1＋ 3d＝ 6，8a1＋ 28d＝－ 4， 解得 a1＝ 3， d＝－ 1， ∴ an＝ 4－ n. (2)由 (1)知 bn＝ n3n＋ 12 ＝ 34＋ ?2n－ 1?3n＋ 1 ＝－ 32(1－ 3n)－ n3 n＋ 1， ④ ∴③ － ④ 得： － 2Sn＝ 3＋ 32＋ 33＋ ? ＋ 3n－ n3 n， ∴ Sn＝ 1 3＋ 2 32＋ 3 33＋ ? ＋ nn＋ 12＝ 8n?n＋ 1? ＝ 8??? ???1n－ 1n＋ 1 . ∴ Sn＝ 8??? ?????? ???1－ 12 ＋ ??? ???12－ 13 ＋ ? ＋ ??? ???1n－ 1n＋ 1 ＝ 8??? ???1－ 1n＋ 1 ＝ 8nn＋ 1. 考向四 錯(cuò)位相減法求和 【例 4】 ?(2020an＋ 1，求數(shù)列{bn}的前 n 項(xiàng)和 Sn. 解 an＝ 1n＋ 1＋ 2n＋ 1＋ ? ＋ nn＋ 1 ＝ 1＋ 2＋ ? ＋ nn＋ 1 ＝ n?n＋ 1?2?n＋ 1?＝ n2. ∴ bn＝ 2anSn≠ 0， ① 式兩邊同除以 Sn－ 1包頭模擬 )已知數(shù)列 {xn}的首項(xiàng) x1＝ 3，通項(xiàng) xn＝ 2np＋ nq(n∈ N*，p， q 為常數(shù) )，且 x1， x4， x5成等差數(shù)列．求： (1)p， q 的值； (2)數(shù)列 {xn}前 n 項(xiàng)和 Sn 的公式． [審題視點(diǎn) ] 第 (1)問由已知條件列出關(guān)于 p、 q 的方程組求解；第 (2)問分組后用等差、等比數(shù)列的求和公式求解． 解 (1)由 x1＝ 3，得 2p＋ q＝ 3，又因?yàn)?x4＝ 24p＋ 4q， x5＝ 25p＋ 5q，且 x1＋ x5＝2x4，得 3＋ 25p＋ 5q＝ 25p＋ 8q，解得 p＝ 1， q＝ 1. (2)由 (1)，知 xn＝ 2n＋ n，所以 Sn＝ (2＋ 22＋ ? ＋ 2n)＋ (1＋ 2＋ ? ＋ n)＝ 2n＋ 1－ 2＋n?n＋ 1?2 . 對(duì)于不能由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式直接求和的問題，一般需要將數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和． 【訓(xùn)練 2】 求和 Sn＝ 1＋ ??? ???1＋ 12 ＋ ??? ???1＋ 12＋ 14 ＋ ? ＋ ??? ???1＋ 12＋ 14＋ ? ＋ 12n－ 1 . 解 和式中第 k 項(xiàng)為 ak＝ 1＋ 12＋ 14＋ ? ＋ 12k－ 1＝1－ ??? ???12 k1－ 12＝ 2??? ???1－ 12k . ∴ Sn＝ 2??? ?????? ???1－ 12 ＋ ??? ???1－ 122 ＋ ? ＋ ??? ???1－ 12n ＝ 2??? ????1＋ 1＋ ? ＋ 1 ?n個(gè) － ??? ???12＋ 122＋ ? ＋ 12n ＝ 2????????n－12??????1－ 12n1－ 12＝ 12n－ 1＋ 2n－ 2. 考向三 裂項(xiàng)相消法求和 【例 3】 ?在數(shù)列 {an}中， a1＝ 1，當(dāng) n≥ 2 時(shí)，其前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 S2n＝ an??? ???Sn－ 12 . (1)求 Sn 的表達(dá)式； (2)設(shè) bn＝ Sn2n＋ 1，求 {bn}的前 n 項(xiàng)和 Tn. [審題視點(diǎn) ] 第 (1)問利用 an＝ Sn－ Sn－ 1(n≥ 2)后，再同除 Sn－ 1沈陽六校模考 )設(shè)數(shù)列 {(－ 1)n}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，則對(duì)任意正整數(shù) n， Sn＝ ( )． [?－ 1?n－ 1]2 B.?－ 1?n－ 1＋ 12 C.?－ 1?n＋ 12 D.?－ 1?n－ 12 解析 因?yàn)閿?shù)列 {(－ 1)n}是首項(xiàng)與公比均為－ 1 的等比數(shù)列，所以 Sn＝－ 1－ ?－ 1?n ?－ 1?1－ ?－ 1? ＝?－ 1?n－ 12 . 答案 D 5．若 Sn＝ 1－ 2＋ 3－ 4＋ ? ＋ (－ 1)n－ 1濰坊模擬 )設(shè) {an}是公差不為 0 的等差數(shù)列， a1＝ 2 且 a1， a3， a6成等比數(shù)列，則 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn＝ ( )． 24 ＋7n4 B.n23 ＋5n3 C.n22 ＋3n4 D． n2＋ n 解析 由題意設(shè)等差數(shù)列公差為 d，則 a1＝ 2， a3＝ 2＋ 2d， a6＝ 2＋ ∵ a1， a3，a6成等比數(shù)列， ∴ a23＝ a1a6，即 (2＋ 2d)2＝ 2(2＋ 5d)，整理得 2d2－ d＝ 0.∵ d≠ 0， ∴ d＝ 12， ∴ Sn＝ na1＋ n?n－ 1?2 d＝ n24＋74n. 答案 A 3． (20202， ∴ a17＝－ 7＋ 16 2＝ 25， S17＝ ?a1＋ a17? 172 ＝ ?－ 7＋ 25? 172 ＝ 153. (2)由已知可得 (a1＋ a2＋ a3)＋ (a18＋ a19＋ a20)＝－ 24＋ 78? (a1＋ a20)＋ (a2＋ a19)＋(a3＋ a18)＝ 54? a1＋ a20＝ 18? S20＝ a1＋ a202 20＝ 182 20＝ 180. 答案 (1)153 (2)180 閱卷報(bào)告 6—— 忽視 an 與 Sn 中的條 件 n≥2 而致誤 【問題診斷】 在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項(xiàng) an與其前 n 項(xiàng)和 Sn之間存在下列關(guān)系：an＝ \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1?n＝ 1?， ,Sn－ Sn－ 1?n≥ 2?.))這個(gè)關(guān)系對(duì)任意數(shù)列都是成立的，但要注意的是這個(gè)關(guān)系式是分段的，在 n＝ 1 和 n≥ 2 時(shí)這個(gè)關(guān)系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中經(jīng)常出錯(cuò)的一個(gè)地方，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)要牢牢記住其 “ 分段 ” 的特點(diǎn) . 【防范措施】 由 an＝ Sn－ Sn－ 1求出 an后，一定不要忘記驗(yàn)證 n＝ 1 是否適合 an. 【 示例 】 ?(2020Sn－ 1， Sn≠ 0， ∴ 1Sn－ 1Sn－ 1＝ 2(n≥ 2)． 由等差數(shù)列的定義知 ????? ?????1Sn是以 1S1＝ 1a1＝ 2 為首項(xiàng)，以 2 為公差的等差數(shù)列． (2)解 由 (1)知 1Sn＝ 1S1＋ (n－ 1)d＝ 2＋ (n－ 1) 2＝ 2n， ∴ Sn＝ n≥ 2 時(shí)，有 an＝－ 2Sn Sn－ 1＝－ 12n?n－ 1?， 又 ∵ a1＝ 12，不適合上式， ∴ an＝????? 12， n＝ 1，－ 12n?n－ 1?， n≥ 2. 等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法，而對(duì)于通項(xiàng)公式法和前 n 項(xiàng)和公式法主要適合在選擇題中簡(jiǎn)單判斷． 【訓(xùn)練 2】 已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn 是 n 的二次函數(shù)，且 a1＝－ 2， a2＝ 2，S3＝ 6. (1)求 Sn； (2)證明：數(shù)列 {an}是等差數(shù)列． (1)解 設(shè) Sn＝ An2＋ Bn＋ C(A≠ 0)，則??? － 2＝ A＋ B＋ C，0＝ 4A＋ 2B＋ C，6＝ 9A＋ 3B＋ C， 解得： A＝ 2， B＝－ 4， C＝ 0. ∴ Sn＝ 2n2－ 4n. (2)證明 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， a1＝ S1＝－ 2. 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ 2n2－ 4n－ [2(n－ 1)2－ 4(n－ 1)] ＝ 4n－ 6. ∴ an＝ 4n－ 6(n∈ N*)． 當(dāng) n＝ 1 時(shí)符合上式，故 an＝ 4n－ 6， ∴ an＋ 1－ an＝ 4， ∴ 數(shù)列 {an}成等差數(shù)列． 考向三 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值 【例 3】 ?設(shè)等差數(shù)列 {an}滿足 a3＝ 5， a10＝－ 9. (1)求 {an}的通項(xiàng)公式； (2)求 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn 及使得 Sn 最大的序號(hào) n 的值． [審題視點(diǎn) ] 第 (1)問：列方程組求 a1與 d； 第 (2)問：由 (1)寫出前 n 項(xiàng)和公式，利用函數(shù)思想解決． 解 (1)由 an＝ a1＋ (n－ 1)d 及 a3＝ 5， a10＝－ 9 得 ??? a1＋ 2d＝ 5，a1＋ 9d＝－ 9， 可解得 ??? a1＝ 9，d＝－ 2. 數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 an＝ 11－ 2n. (2)由 (1)知， Sn＝ na1＋ n?n－ 1?2 d＝ 10n－ n2. 因?yàn)?Sn＝－ (n－ 5)2＋ 25，所以當(dāng) n＝ 5 時(shí)， Sn 取得最大值． 求等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值，常用的方法： (1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值． (2)利用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn＝ An2＋ Bn(A、 B 為常數(shù) )為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值． 【訓(xùn)練 3】 在等差數(shù)列 {an}中，已知 a1＝ 20，前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 S10＝ S15，求當(dāng)n 取何值時(shí)， Sn 取得最大值，并求出它的 最大值． 解 法一 ∵ a1＝ 20， S10＝ S15， ∴ 10 20＋ 10 92 d＝ 15 20＋ 15 142 d， ∴ d＝－ 53. ∴ an＝ 20＋ (n－ 1) ??? ???－ 53 ＝－ 53n＋ 653 . ∴ a13＝ n≤ 12 時(shí)， an＞ 0， n≥ 14 時(shí)， an＜ 0. ∴ 當(dāng) n＝ 12或 13時(shí)， Sn取得最大值，且最大值為 S12＝ S13＝ 12 20＋ 12 112 ??? ???－ 53＝ 130. 法二 同法一求得 d＝－ 53. ∴ Sn＝ 20n＋ n?n－ 1?2 Sn－ 1＝ 0(n≥ 2)， a1＝ 12. (1)求證： ????? ?????1Sn是等差數(shù)列； (2)求 an 的表達(dá)式． [審題視點(diǎn) ] (1)化簡(jiǎn)所給式子，然后利用定義證明． (2)根據(jù) Sn與 an之間關(guān)系求 an. (1)證明 ∵ an＝ Sn－ Sn－ 1(n≥ 2)，又 an＝－ 2Sn福建 )在等差數(shù)列 {an}中， a1＝ 1， a3＝－ 3. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列 {an}的前 k 項(xiàng)和 Sk＝－ 35，求 k 的值． [審題視點(diǎn) ] 第 (1)問，求公差 d； 第 (2)問，由 (1)求 Sn，列方程可求 k. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d，則 an＝ a1＋ (n－ 1)d. 由 a1＝ 1， a3＝－ 3 可得 1＋ 2d＝－ 3. 解得 d＝－ ， an＝ 1＋ (n－ 1) (－ 2)＝ 3－ 2n. (2)由 (1)可知 an＝ 3－ 2n. 所以 Sn＝ n[1＋ ?3－ 2n?]2 ＝ 2n－ n2. 進(jìn)而由 Sk＝－ 35 可得 2k－ k2＝－ 35. 即 k2－ 2k－ 35＝ 0，解得 k＝ 7 或 k＝－ 5. 又 k∈ N*，故 k＝ 7 為所求． 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量，知三可求二，如果已知兩個(gè)條件，就可以列出方程組解之．如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)、幾何意義去考慮也可以．體現(xiàn)了用方程思想解決問題的方法． 【訓(xùn)練 1】 (2020江西 )已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足： Sn＋ Sm＝ Sn＋ m，且 a1＝ a10＝ ( )． A． 1 B． 9 C． 10 D． 55 解析 由 Sn＋ Sm＝ Sn＋ m，得 S1＋ S9＝ S10? a10＝ S10－ S9＝ S1＝ a1＝ 1. 答案 A 4． (2020遼寧 )已知數(shù)列 {an}滿足 a1＝ 33， an＋ 1－ an＝ 2n，則 ann的 最小值為 ________． 【示例 2】 ? (2020? 123n－ 1， ∴ an＝ 23n－ 1. 答案 23n－ 1；當(dāng) n＝ 1時(shí)， a1＝ S1＝ 2也滿足 an＝ 2泰州月考 )數(shù)列 1,1,2,3,5,8,13， x,34,55， ? 中 x 的值為 ________． 解析 觀察數(shù)列中項(xiàng)的規(guī)律，易看出數(shù)列從第三項(xiàng)開始每一項(xiàng)都是其前兩項(xiàng)的和． 答案 21 考向一 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng) 【例 1】 ?寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)3,5,7,9， ? ；