【正文】 (1)3,5,7,9， ? ； (2)12， 34， 78， 1516， 3132， ? ； (3)－ 1， 32，－ 13， 34，－ 15， 36， ? ； (4)3,33,333,3 333， ? . [審題視點(diǎn) ] 先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn) ，然后歸納出其通項(xiàng)公式，要注意項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系． 解 (1)各項(xiàng)減去 1 后為正偶數(shù)，所以 an＝ 2n＋ 1. (2)每一項(xiàng)的分子比分母少 1，而分母組成數(shù)列 21,22,23， 24， ? ，所以 an＝ 2n－ 12n . (3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子 (－ 1)n；各項(xiàng)絕對值的分母組成數(shù)列 1,2,3,4， ? ；而各項(xiàng)絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為 1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為 2－ 1，偶數(shù)項(xiàng)為 2＋ 1，所以 an＝ (－ 1)n12福建 )在等差數(shù)列 {an}中， a1＝ 1， a3＝－ 3. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列 {an}的前 k 項(xiàng)和 Sk＝－ 35，求 k 的值． [審題視點(diǎn) ] 第 (1)問，求公差 d； 第 (2)問，由 (1)求 Sn，列方程可求 k. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d，則 an＝ a1＋ (n－ 1)d. 由 a1＝ 1， a3＝－ 3 可得 1＋ 2d＝－ 3. 解得 d＝－ ， an＝ 1＋ (n－ 1) (－ 2)＝ 3－ 2n. (2)由 (1)可知 an＝ 3－ 2n. 所以 Sn＝ n[1＋ ?3－ 2n?]2 ＝ 2n－ n2. 進(jìn)而由 Sk＝－ 35 可得 2k－ k2＝－ 35. 即 k2－ 2k－ 35＝ 0，解得 k＝ 7 或 k＝－ 5. 又 k∈ N*，故 k＝ 7 為所求． 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量，知三可求二，如果已知兩個(gè)條件，就可以列出方程組解之．如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)、幾何意義去考慮也可以．體現(xiàn)了用方程思想解決問題的方法． 【訓(xùn)練 1】 (2020濰坊模擬 )設(shè) {an}是公差不為 0 的等差數(shù)列， a1＝ 2 且 a1， a3， a6成等比數(shù)列，則 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn＝ ( )． 24 ＋7n4 B.n23 ＋5n3 C.n22 ＋3n4 D． n2＋ n 解析 由題意設(shè)等差數(shù)列公差為 d，則 a1＝ 2， a3＝ 2＋ 2d， a6＝ 2＋ ∵ a1， a3，a6成等比數(shù)列， ∴ a23＝ a1a6，即 (2＋ 2d)2＝ 2(2＋ 5d)，整理得 2d2－ d＝ 0.∵ d≠ 0， ∴ d＝ 12， ∴ Sn＝ na1＋ n?n－ 1?2 d＝ n24＋74n. 答案 A 3． (2020an＋ 1，求數(shù)列{bn}的前 n 項(xiàng)和 Sn. 解 an＝ 1n＋ 1＋ 2n＋ 1＋ ? ＋ nn＋ 1 ＝ 1＋ 2＋ ? ＋ nn＋ 1 ＝ n?n＋ 1?2?n＋ 1?＝ n2. ∴ bn＝ 2an3n＋ 1 ＝－ 32(1－ 3n)－ nqn－ 1， qSn＝ 1qn.∴ Sn＝1－ qn?1－ q?2＋nq1＋ 33 n＋ 1， ④ ∴③ － ④ 得： － 2Sn＝ 3＋ 32＋ 33＋ ? ＋ 3n－ nSn≠ 0， ① 式兩邊同除以 Sn－ 12， ∴ a17＝－ 7＋ 16 2＝ 25， S17＝ ?a1＋ a17? 172 ＝ ?－ 7＋ 25? 172 ＝ 153. (2)由已知可得 (a1＋ a2＋ a3)＋ (a18＋ a19＋ a20)＝－ 24＋ 78? (a1＋ a20)＋ (a2＋ a19)＋(a3＋ a18)＝ 54? a1＋ a20＝ 18? S20＝ a1＋ a202 20＝ 182 20＝ 180. 答案 (1)153 (2)180 閱卷報(bào)告 6—— 忽視 an 與 Sn 中的條 件 n≥2 而致誤 【問題診斷】 在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項(xiàng) an與其前 n 項(xiàng)和 Sn之間存在下列關(guān)系：an＝ \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1?n＝ 1?， ,Sn－ Sn－ 1?n≥ 2?.))這個(gè)關(guān)系對任意數(shù)列都是成立的，但要注意的是這個(gè)關(guān)系式是分段的，在 n＝ 1 和 n≥ 2 時(shí)這個(gè)關(guān)系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中經(jīng)常出錯的一個(gè)地方，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)要牢牢記住其 “ 分段 ” 的特點(diǎn) . 【防范措施】 由 an＝ Sn－ Sn－ 1求出 an后，一定不要忘記驗(yàn)證 n＝ 1 是否適合 an. 【 示例 】 ?(2020江西 )已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足： Sn＋ Sm＝ Sn＋ m，且 a1＝ a10＝ ( )． A． 1 B． 9 C． 10 D． 55 解析 由 Sn＋ Sm＝ Sn＋ m，得 S1＋ S9＝ S10? a10＝ S10－ S9＝ S1＝ a1＝ 1. 答案 A 4． (20203n－ 1， ∴ an＝ 22n－ 15北京 )在等比數(shù)列 {an}中，若 a1＝ 12， a4＝－ 4，則公比 q＝________； |a1|＋ |a2|＋ ? ＋ |an|＝ ________. 解析 設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比為 q，則 a4＝ a1q3，代入數(shù)據(jù)解得 q3＝－ 8，所以 q＝－ 2；等 比數(shù)列 {|an|}的公比為 |q|＝ 2，則 |an|＝ 12 2n－ 1，所以 |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋ ?＋ |an|＝ 12(1＋ 2＋ 22＋ ? ＋ 2n－ 1)＝ 12(2n－ 1)＝ 2n－ 1－ 12. 答案 － 2 2n－ 1－ 12 規(guī)范解答 11—— 怎樣求解等差與等比數(shù)列的綜合性問題 【問題研究】 等差數(shù)列和等比數(shù)列既相互區(qū)別，又相互聯(lián)系，高考作為考查學(xué)生綜合能力的選拔性考試，將兩類數(shù)列綜合起來考查是高考的重點(diǎn) .這類問題多屬于兩者基本運(yùn)算的綜合題以及相互之間的轉(zhuǎn)化 . 【解決方案】 首先求解出兩個(gè)數(shù)列的基本量：首項(xiàng)和公差及公比，再靈活利用性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件，以及利用等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識解決 . 【 示例 】 ?(本題滿分 12 分 )(2020a4＝ 329 ，且公比 q∈ (0,1)． (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)若該數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn＝ 21，求 n 的值． 解 (1)∵ a3qn(c， q 均是不為 0 的常數(shù)， n∈N*)，則 {an}是等比數(shù)列． 注 ：前兩種方法也可用來證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )在等比數(shù)列 {an}中，如果公比 q＜ 1，那么等比數(shù)列{an}是 ( )． A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．無法確定數(shù)列的增減性 解析 當(dāng) a1＞ 0,0＜ q＜ 1，數(shù)列 {an}為遞減數(shù)列， 當(dāng) q＜ 0，數(shù)列 {an}為擺動數(shù)列． 答案 D 2．已知 {an}是等比數(shù)列， a2＝ 2， a5＝ 14，則公比 q 等于 ( )． A．－ 12 B．－ 2 C． 2 解析 由題意知： q3＝ a5a2＝ 18， ∴ q＝ 12. 答案 D 3．在等比數(shù)列 {an}中， a4＝ 4，則 a2第 3 講 等比數(shù)列及其前 n 項(xiàng)和 【高考會這樣考】 1．以等比數(shù)列的定義及等比中項(xiàng)為背景，考查等比數(shù)列的判定． 2．考查通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式以及性質(zhì)的應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí)，緊扣等比數(shù)列的定義，掌握其通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式，求和時(shí)要注意驗(yàn)證公比 q 是否為 1；對等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用要靈活，運(yùn)算中要注意方程思想的應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．等比數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于 同一個(gè) 常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫 做等比數(shù)列的 公比 ，通常用字母 q 表示． 2． 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè)等比數(shù)列 {an}的首項(xiàng)為 a1，公比為 q，則它的通項(xiàng) an＝ a1an＋ 2(n∈ N*)，則數(shù)列 {an}是等比數(shù)列． (3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成 an＝ c3n－ 1， Sn＝ 3n－ 1. 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量 a1， n， q， an， Sn一般可以 “ 知三求二 ” ，通過列方程 (組 )可迎刃而解． 【訓(xùn)練 1】 等比數(shù)列 {an}滿足： a1＋ a6＝ 11， a3(14－ S2n)解得 S2n＝－ 4，或 S2n＝ 6. 當(dāng) S2n＝－ 4 時(shí)， Sn， S2n－ Sn， S3n－ S2n， ? 是首項(xiàng)為 2，公比為－ 3 的等比數(shù)列， 則 S6n＝ Sn＋ (S2n－ Sn)＋ ? ＋ (S6n－ S5n)＝－ 364， ∴ 再后 3n 項(xiàng)的和為 S6n－ S3n＝－ 364－ 14＝－ 378. 當(dāng) S2n＝ 6 時(shí)，同理可得再后 3n 項(xiàng)的和為 S6n－ S3n＝ 126－ 14＝ 112. 故所求的和為－ 378 或 112. 本題利用了等比數(shù)列的性質(zhì)中的第 4 條，其和 Sn， S2n－ Sn， S3n－ S2n成等比數(shù)列，若把數(shù)列 {an}平均分成若干組，其積也為等比數(shù)列． 【訓(xùn)練 3】 (20202n－ 2.(8 分 ) 所以 S1＋ 54＝ 52，Sn＋ 1＋ 54Sn＋ 54＝ 53n－ 1 數(shù)列的通項(xiàng) an與前 n項(xiàng)和 Sn的關(guān)系是 an＝ ??? S1， n＝ 1，Sn－ Sn－ 1， n≥ 2.當(dāng) n＝ 1時(shí)， a1若適合 Sn－ Sn－ 1，則 n＝ 1 的情況可并入 n≥ 2 時(shí)的通項(xiàng) an；當(dāng) n＝ 1 時(shí)，a1若不適合 Sn－ Sn－ 1，則用分段函數(shù)的形式表示． 【訓(xùn)練 2】 已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn＝ 3n2－ 2n＋ 1，則其通項(xiàng)公式為 ________． 解析 當(dāng) n＝ 1時(shí)， a1＝ S1＝ 3 12－ 2 1＋ 1＝ 2； 當(dāng) n≥ 2時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ 3n2－ 2n＋ 1－ [3(n－ 1)2－ 2(n－ 1)＋ 1]＝ 6n－ 5，顯然當(dāng)n＝ 1時(shí)，不滿足上式． 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an＝ ??? 2， n＝ 1，6n－ 5， n≥ 2. 答案 an＝ ??? 2， n＝ 16n－ 5， n≥ 2 考向三 由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng) 【例 3】 ?根據(jù)下列條件，確定數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式． (1)a1＝ 1， an＋ 1＝ 3an＋ 2； (2)a1＝ 1， an＝ n－ 1n an－ 1(n≥ 2)； (3)已知數(shù)列 {an}滿足 an＋ 1＝ an＋ 3n＋ 2，且 a1＝ 2，求 an. [審題視點(diǎn) ] (1)可用構(gòu)造等比數(shù)列法求解． (2)可轉(zhuǎn)化后利用累乘法求解． (3)可利用累加法求解． 解 (1)∵ an＋ 1＝ 3an＋ 2， ∴ an＋ 1＋ 1＝ 3(an＋ 1)， ∴ an＋ 1＋ 1an＋ 1＝ 3， ∴ 數(shù)列 {an＋ 1}為等比數(shù)列，公比 q＝ 3， 又 a1＋ 1＝ 2， ∴ an＋ 1＝ 2浙江 )若數(shù)列 ????? ?????n?n＋ 4???? ???23 n 中的最大項(xiàng)是第 k項(xiàng)，則 k＝ ________. 第 2 講 等差數(shù)列及其前 n 項(xiàng)和 【高考會這樣考】 1．考查運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問題． 2．考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前 n 項(xiàng)和公式及綜合應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．掌握等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式等． 2． 掌握等差數(shù)列的判斷方法，等差數(shù)列求和的方法． 基礎(chǔ)梳理 1．等差數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于 同一個(gè)常數(shù) ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 公差 ，通常用字母 d 表示． 2． 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列 {an}的首項(xiàng)是 a1，公差是 d，則其通項(xiàng)公式為 an＝ a1＋ (n－ 1)d. 3． 等差中項(xiàng) 如果 A＝ a＋ b2 ，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)． 4． 等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣 ： an＝ am＋ (n－ m)d(n， m∈ N*)． (2)若 {an}為等差數(shù)列，且 m＋ n＝ p＋ q， 則 am＋ an＝ ap＋ aq(m， n， p， q∈ N*)． (3)若 {an}是等差數(shù)列，公差為 d，則 ak， ak＋ m， ak＋ 2m， ? (k， m∈ N*)是公差為 md的等差數(shù)列． (4)數(shù)列 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m， ? 也是等差數(shù)列． (5)S2n－ 1＝ (2n－ 1)an. (6)若 n 為偶數(shù)，則 S 偶 － S 奇 ＝ nd2 ； 若 n 為奇數(shù)，則 S 奇 － S 偶 ＝ a 中 (中間項(xiàng) )． 5． 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 若已知首項(xiàng) a1 和末項(xiàng) an，則 Sn＝ n?a1＋ an?2 ，或等差數(shù)列 {an}的首項(xiàng)是 a1，公差是 d，則其前 n