【導(dǎo)讀】設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1·qn－1.若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n，則ak·al＝am·an.等比數(shù)列，其公比為qn.等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn，同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋?兩式相減得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a1?由an＋1＝qan，q≠0并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.解析由等比數(shù)列的性質(zhì)得：a2a6＝a24＝16.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，5．等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，解析設(shè){an}的公差為d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋9×82d＝4×1＋4×32d，設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.當(dāng)a1＝3，q＝2時(shí)，an＝3·2n－1，Sn＝3·；等比數(shù)列{an}滿足：a1＋a6＝11，a3·a4＝329，且公比q∈(0,1)．。求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解∵a3·a4＝a1·a6＝329，故a1，a6看作方程x2－11x＋329＝0的兩根，令bn＝an＋1－an，證明：{bn}是等比數(shù)列；[審題視點(diǎn)]第問把bn＝an＋1－an中an＋1換為an－1＋an2整理可證；第問可用疊

　　

【正文】 ，其前 n 項(xiàng)的和為Sn，則數(shù)列 ????? ?????Snn 的前 10 項(xiàng)的和為 ( )． A． 120 B． 70 C． 75 D． 100 解析 ∵ Sn＝ n?3＋ 2n＋ 1?2 ＝ n(n＋ 2)， ∴ Snn＝ n＋ 2. ∴ 數(shù)列 ????? ?????Snn 前 10項(xiàng)的和為： (1＋ 2＋ ? ＋ 10)＋ 20＝ 75. 答案 C 4． (2020沈陽(yáng)六校?？?)設(shè)數(shù)列 {(－ 1)n}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，則對(duì)任意正整數(shù) n， Sn＝ ( )． [?－ 1?n－ 1]2 B.?－ 1?n－ 1＋ 12 C.?－ 1?n＋ 12 D.?－ 1?n－ 12 解析 因?yàn)閿?shù)列 {(－ 1)n}是首項(xiàng)與公比均為－ 1 的等比數(shù)列，所以 Sn＝－ 1－ ?－ 1?n ?－ 1?1－ ?－ 1? ＝?－ 1?n－ 12 . 答案 D 5．若 Sn＝ 1－ 2＋ 3－ 4＋ ? ＋ (－ 1)n－ 1n， S50＝ ________. 解析 S50＝ 1－ 2＋ 3－ 4＋ ? ＋ 49－ 50 ＝ (－ 1) 25＝－ 25. 答案 － 25 考向一 公式法求和 【例 1】 ?已知數(shù)列 {an}是首項(xiàng) a1＝ 4，公比 q≠ 1 的等比數(shù)列， Sn 是其前 n 項(xiàng)和，且 4a1， a5，－ 2a3成等差數(shù)列． (1)求公比 q 的值； (2)求 Tn＝ a2＋ a4＋ a6＋ ? ＋ a2n 的值． [審題視點(diǎn) ] 求出公比，用等比數(shù)列求和公式直接求解． 解 (1)由題意得 2a5＝ 4a1－ 2a3. ∵ {an}是等比數(shù)列且 a1＝ 4，公比 q≠ 1， ∴ 2a1q4＝ 4a1－ 2a1q2， ∴ q4＋ q2－ 2＝ 0， 解得 q2＝－ 2(舍去 )或 q2＝ 1， ∴ q＝－ 1. (2)∵ a2， a4， a6， ? ， a2n 是首項(xiàng)為 a2＝ 4 (－ 1)＝－ 4， 公比為 q2＝ 1 的等比數(shù)列 ，∴ Tn＝ na2＝－ 4n. 應(yīng)用公式法求和時(shí)，要保證公式使用的正確性，尤其要區(qū)分好等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式． 【訓(xùn)練 1】 在等比數(shù)列 {an}中， a3＝ 9， a6＝ 243，求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 an 及前n 項(xiàng)和公式 Sn，并求 a9和 S8的值． 解 在等比數(shù)列 {an}中，設(shè)首項(xiàng)為 a1，公比為 q，由 a3＝ 9， a6＝ 243，得 q3＝ a6a3＝2439 ＝ 27， ∴ q＝ 3. 由 a1q2＝ a3，得 9a1＝ 9， ∴ a1＝ 1. 于是，數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 an＝ 1 3n－ 1＝ 3n－ 1， 前 n 項(xiàng)和公式為 Sn＝ 1 ?1－ 3n?1－ 3 ＝3n－ 12 . 由此得 a9＝ 39－ 1＝ 6 561， S8＝ 38－ 12 ＝ 3 280. 考向二 分組轉(zhuǎn)化求和 【例 2】 ?(2020包頭模擬 )已知數(shù)列 {xn}的首項(xiàng) x1＝ 3，通項(xiàng) xn＝ 2np＋ nq(n∈ N*，p， q 為常數(shù) )，且 x1， x4， x5成等差數(shù)列．求： (1)p， q 的值； (2)數(shù)列 {xn}前 n 項(xiàng)和 Sn 的公式． [審題視點(diǎn) ] 第 (1)問由已知條件列出關(guān)于 p、 q 的方程組求解；第 (2)問分組后用等差、等比數(shù)列的求和公式求解． 解 (1)由 x1＝ 3，得 2p＋ q＝ 3，又因?yàn)?x4＝ 24p＋ 4q， x5＝ 25p＋ 5q，且 x1＋ x5＝2x4，得 3＋ 25p＋ 5q＝ 25p＋ 8q，解得 p＝ 1， q＝ 1. (2)由 (1)，知 xn＝ 2n＋ n，所以 Sn＝ (2＋ 22＋ ? ＋ 2n)＋ (1＋ 2＋ ? ＋ n)＝ 2n＋ 1－ 2＋n?n＋ 1?2 . 對(duì)于不能由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式直接求和的問題，一般需要將數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和． 【訓(xùn)練 2】 求和 Sn＝ 1＋ ??? ???1＋ 12 ＋ ??? ???1＋ 12＋ 14 ＋ ? ＋ ??? ???1＋ 12＋ 14＋ ? ＋ 12n－ 1 . 解 和式中第 k 項(xiàng)為 ak＝ 1＋ 12＋ 14＋ ? ＋ 12k－ 1＝1－ ??? ???12 k1－ 12＝ 2??? ???1－ 12k . ∴ Sn＝ 2??? ?????? ???1－ 12 ＋ ??? ???1－ 122 ＋ ? ＋ ??? ???1－ 12n ＝ 2??? ????1＋ 1＋ ? ＋ 1 ?n個(gè) － ??? ???12＋ 122＋ ? ＋ 12n ＝ 2????????n－12??????1－ 12n1－ 12＝ 12n－ 1＋ 2n－ 2. 考向三 裂項(xiàng)相消法求和 【例 3】 ?在數(shù)列 {an}中， a1＝ 1，當(dāng) n≥ 2 時(shí)，其前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 S2n＝ an??? ???Sn－ 12 . (1)求 Sn 的表達(dá)式； (2)設(shè) bn＝ Sn2n＋ 1，求 {bn}的前 n 項(xiàng)和 Tn. [審題視點(diǎn) ] 第 (1)問利用 an＝ Sn－ Sn－ 1(n≥ 2)后，再同除 Sn－ 1Sn 轉(zhuǎn)化為 ????? ?????1Sn的等差數(shù)列即可求 Sn. 第 (2)問求出 {bn}的通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消求和． 解 (1)∵ S2n＝ an??? ???Sn－ 12 ， an＝ Sn－ Sn－ 1(n≥ 2)， ∴ S2n＝ (Sn－ Sn－ 1)??? ???Sn－ 12 ， 即 2Sn－ 1Sn＝ Sn－ 1－ Sn， ① 由題 意 Sn－ 1Sn≠ 0， ① 式兩邊同除以 Sn－ 1Sn，得 1Sn－ 1Sn－ 1＝ 2， ∴ 數(shù)列 ????? ?????1Sn是首項(xiàng)為 1S1＝ 1a1＝ 1，公差為 2 的等差數(shù)列． ∴ 1Sn＝ 1＋ 2(n－ 1)＝ 2n－ 1， ∴ Sn＝ 12n－ 1. (2)又 bn＝ Sn2n＋ 1＝ 1?2n－ 1??2n＋ 1? ＝ 12??? ???12n－ 1－ 12n＋ 1 ， ∴ Tn＝ b1＋ b2＋ ? ＋ bn ＝ 12??? ?????? ???1－ 13 ＋ ??? ???13－ 15 ＋ ? ＋ ??? ???12n－ 1－ 12n＋ 1 ＝ 12??? ???1－ 12n＋ 1 ＝ n2n＋ 1. 使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的． 【訓(xùn)練 3】 在數(shù)列 {an}中， an＝ 1n＋ 1＋ 2n＋ 1＋ ? ＋ nn＋ 1，又 bn＝ 2anan＋ 1，求數(shù)列{bn}的前 n 項(xiàng)和 Sn. 解 an＝ 1n＋ 1＋ 2n＋ 1＋ ? ＋ nn＋ 1 ＝ 1＋ 2＋ ? ＋ nn＋ 1 ＝ n?n＋ 1?2?n＋ 1?＝ n2. ∴ bn＝ 2anan＋ 1＝ 2n2n＋ 12＝ 8n?n＋ 1? ＝ 8??? ???1n－ 1n＋ 1 . ∴ Sn＝ 8??? ?????? ???1－ 12 ＋ ??? ???12－ 13 ＋ ? ＋ ??? ???1n－ 1n＋ 1 ＝ 8??? ???1－ 1n＋ 1 ＝ 8nn＋ 1. 考向四 錯(cuò)位相減法求和 【例 4】 ?(2020遼寧 )已知等差數(shù)列 {an}滿足 a2＝ 0， a6＋ a8＝－ 10. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列??????????an2n－ 1 的前 n 項(xiàng)和． [審題視點(diǎn) ] 第 (1)問列出關(guān)于首項(xiàng) a1與公差 d 的方程組可求解；第 (2)問觀察數(shù)列??????????an2n－ 1 的通項(xiàng)采用 錯(cuò)位相減法． 解 (1)設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d，由已知條件可得 ??? a1＋ d＝ 0，2a1＋ 12d＝－ 10，解得??? a1＝ 1，d＝－ 1. 故數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 an＝ 2－ n. (2)設(shè)數(shù)列??????????an2n－ 1 的前 n 項(xiàng)和為 Sn， ∵ an2n－ 1＝ 2－ n2n－ 1 ＝ 12n－ 2－ n2n－ 1， ∴ Sn＝ ??? ???2＋ 1＋ 12＋ 122＋ ? ＋12n－ 2 － ??????1＋ 22＋322＋ ? ＋n2n－ 1 . 記 Tn＝ 1＋ 22＋ 322＋ ? ＋ n2n－ 1， ① 則 12Tn＝ 12＋ 222＋ 323＋ ? ＋ n2n， ② ① － ② 得： 12Tn＝ 1＋ 12＋ 122＋ ? ＋ 12n－ 1－ n2n， ∴ 12Tn＝1－ 12n1－ 12－ n2n. 即 Tn＝ 4??? ???1－ 12n － n2n－ 1. ∴ Sn＝2??? ???1－ ??? ???12 n1－ 12－ 4??? ???1－ 12n ＋ n2n－ 1 ＝ 4??? ???1－ 12n － 4??? ???1－ 12n ＋ n2n－ 1 ＝ n2n－ 1. 用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意 (1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形； (2)在寫出 “Sn”與 “qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式 “ 錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊 ” 以便下一步準(zhǔn)確寫出 “ Sn－ qSn” 的表達(dá)式． 【訓(xùn)練 4】 設(shè)數(shù)列 {an}滿足 a1＋ 3a2＋ 32a3＋ ? ＋ 3n－ 1an＝ n3， n∈ N*. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) bn＝ nan，求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和 Sn. 解 (1)a1＋ 3a2＋ 32a3＋ ? ＋ 3n－ 1an＝ n3， ① ∴ 當(dāng) n≥ 2 時(shí) ， a1＋ 3a2＋ 32a3＋ ? ＋ 3n－ 2an－ 1＝ n－ 13 ， ② ① － ② 得 ： 3n－ 1an＝ n3－ n－ 13 ＝ 13， ∴ an＝ 13n. 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， a1＝ 13也適合上式， ∴ an＝ 13n. (2)bn＝ nan＝ n3 n， ∴ Sn＝ 1 3＋ 2 32＋ 3 33＋ ? ＋ n3 n， ③ 則 3Sn＝ 32＋ 2 33＋ 3 34＋ ? ＋ n3 n＋ 1， ④ ∴③ － ④ 得： － 2Sn＝ 3＋ 32＋ 33＋ ? ＋ 3n－ n3 n＋ 1 ＝ 3?1－ 3n?1－ 3 － n3n＋ 1 ＝－ 32(1－ 3n)－ n3 n＋ 1. ∴ Sn＝ 34(1－ 3n)＋ n3n＋ 12 ＝ 34＋ ?2n－ 1?3n＋ 14 . 閱卷報(bào)告 7—— 未對(duì) q＝ 1 或 q≠1 討論出錯(cuò) 【問題診斷】 錯(cuò)位相減法適合于一個(gè)由等差數(shù)列 {an}及一個(gè)等比數(shù)列 {bn}對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列．考生在解決這類問題時(shí)，都知道利用錯(cuò)位相減法求解，也都能寫出此題的解題過(guò)程，但由于步驟繁瑣、計(jì)算量大導(dǎo)致了漏項(xiàng)或添項(xiàng)以及符號(hào)出錯(cuò)等． 【防范措施】 兩邊乘公比后，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的冪指數(shù)會(huì)發(fā)生變化，應(yīng)將相同冪指數(shù)的項(xiàng)對(duì)齊，這樣有一個(gè)式子前面空出一項(xiàng)，另外一個(gè)式子后面就會(huì)多了 一項(xiàng)，兩項(xiàng)相減，除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，剩下的 n－ 1 項(xiàng)是一個(gè)等比數(shù)列． 【 示例 】 ?(2020四川 )已知等差數(shù)列 {an}的前 3 項(xiàng)和為 6，前 8 項(xiàng)和為－ 4. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) bn＝ (4－ an)qn－ 1(q≠ 0， n∈ N*)，求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和 Sn. 錯(cuò)因 未對(duì) q＝ 1 或 q≠ 1 分別討論，相減后項(xiàng)數(shù)、符號(hào)均出現(xiàn)了錯(cuò)誤． 實(shí)錄 (1)由已知得 ??? a1＋ a2＋ a3＝ 6，a1＋ a2＋ ? ＋ a8＝－ 4， 即 ??? 3a1＋ 3d＝ 6，8a1＋ 28d＝－ 4， 解得 a1＝ 3， d＝－ 1， ∴ an＝ 4－ n. (2)由 (1)知 bn＝ nqn－ 1， ∴ Sn＝ 1＋ 2q1＋ 3q2＋ ? ＋ nqn－ 1， qSn＝ 1q＋ 2q2＋ 3q3＋ ? ＋ nqn， 兩式相減得： (1－ q)Sn＝ 1＋ q＋ q2＋ ? ＋ qn－ 1＋ nqn ＝ 1－ qn1－ q ＋ nqn.∴ Sn＝1－ qn?1－ q?2＋nqn1－ q. 正解 (1)設(shè) {an}的公差為 d，則由已知得 ??? a1＋ a2＋ a3＝ 6，a1＋ a2＋ ? ＋ a8＝－ 4， 即 ??? 3a1＋ 3d＝ 6，8a1＋ 28d＝－ 4， 解得 a1＝ 3， d＝－ 1，故 an＝ 3－ (n－ 1)＝ 4－ n. (2)由 (1)知， bn＝ n