差分方程滯后運算與動態(tài)模型(參考版)
2024-09-02 10:16本頁面
【正文】 圖 差分方程的特征根 與單位圓 與特征方程僅有一字之差的逆特征方程，也經(jīng)常被許多教材和相關(guān)文獻使用，所以這里同樣給出逆特征方程的概念。 可以證明，如果特征方程的所有根（或者根的模）均落在單位圓內(nèi)，那么差分方程系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這里需要介紹與差分方程相關(guān)的特征方程和逆特征方程。由此 可知， 。從而，模型可以寫成： 1122( 1 ( 122ty L L c L L? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?11 )) t12(1 c????1 )2 2+(1 (1t 2yLL??? ????? ??111) ) tc 利用滯后算子，還可以簡化高階差分方程的表達式。 () tLy??? t 一個非常有用的性質(zhì)： 1 2 2( ) ( 1 ) ,L L L? ? ???? ? ? ? ??假 定11 其中， c表示常數(shù)項。 2()2tty L L y? ? ?? ? ?1 t2( 1 )2tL L y? ? ?? ? ?1 t2( ) ( 12L L L? ? ?? ? ?1 ) 因此，差分方程也可以寫成： 初次學習滯后算子，可以把滯后算子與經(jīng)濟學中常用的期望聯(lián)系起來理解。 （ 4） 交換律 ， 即 。 )(11jf jF()11 , 0 , 1 ,tj jtyfj??? ??? 滯后算子與滯后運算法 滯后算子定義與性質(zhì) 滯后算子以英文單詞“ lag” 的大寫首字母 L表示，基本的運算規(guī)則如下 : 12t t 2t t pt t pL y = yL y = yL y = y 根據(jù)這個定義，二階差分方程： 可以寫成： 1 2 2t t t y = y y? ? ???1 t22t t ty = L y L y? ? ???1 t 滯后算子運算還符合標準的“結(jié)合律”與“交換律”等如下運算法則： （ 1） （ 2） 對任何常數(shù) A取滯后運算還等于原常數(shù) ， 即 。這樣，對比 F矩陣與 Y矩陣的定義，可以獲得 p階差分方程的動態(tài)乘數(shù)，即： 111 1 1j j jt j t t t t j t jY F Y F e F e F e e??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?jF()11 , 0 , 1 ,tj jtyfj??? ??? 對比 F矩陣與 Y矩陣的定義，可以獲得 p階差分方程的動態(tài)乘數(shù)，即： 其中： 為矩陣 的第 1行第 1列位置上的元素。 1??1???1?? 高階差分方程 一階差分方程可以拓展到二階以及更高階的差分方程，為方便起見，把高于一階的差分方程統(tǒng)一稱為高階差分方程。而當 時，動態(tài)乘數(shù)表現(xiàn)出震蕩式不斷上升的變化。這樣， 一個單位的變化將導致序列 永久性地變化一個單位。 這樣，對于 的情況，從脈沖響應(yīng)函數(shù)圖來看，隨機擾動因素對序列 的沖擊將最終消失，而對應(yīng)的一階差分方程在這種情況下就是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。歸納來說： 在 的情況下，如 (a)和 (b)情形，體現(xiàn)在脈沖響應(yīng)函數(shù)中的動態(tài)乘數(shù)隨時間跨度 j
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