【正文】 我們預(yù)計(jì)，在這里提出的統(tǒng)計(jì)工具會導(dǎo)致 UTE 更好地了解次擴(kuò)散運(yùn)輸和動態(tài)基礎(chǔ) 。 所提出的方法，因?yàn)檫@是一個(gè)很大的優(yōu)勢只能根據(jù)已知的精確解的 FFPE ，?？怂构δ?，此功能可以在數(shù)值上只有在一些特殊的情況下進(jìn)行評估。將得到的隨機(jī)表示是至關(guān)重要的構(gòu)建的模擬樣本路徑的算法反常擴(kuò)散 X（ s） ，其中，反過來，使我們能夠檢測和研究許多相關(guān)的系統(tǒng)屬性考慮。 其中 x 是由方程描述的標(biāo)準(zhǔn)的 擴(kuò)散。這使得調(diào)查的分?jǐn)?shù)階?？? 普朗克動力學(xué)的復(fù)雜系統(tǒng)的蒙特卡羅方法。 24 圖 5. （有顏色的線） 實(shí)現(xiàn)的異常樣本擴(kuò)散 （ b）正常擴(kuò)散 和（ c） 中的反時(shí)限擴(kuò)散 。 超過規(guī)定值 。參數(shù)是 和 它的時(shí)間間隔是 保持不變 ， 表明底層 CTRW 重 合 停留時(shí)間。 在這種情況下 ， 。 在這里， L 是等于第一整數(shù) 。 從該算法的第一步驟中，我們已經(jīng)有我們所掌握的近似值 。 現(xiàn)在，對于 的每一個(gè)元素，我們都能找到元素屬于 ，并且最后，從（ 4）中自定 義，我們得到這樣一個(gè)例子（見圖 2） 22 值得強(qiáng)調(diào)的是， 是一個(gè)嚴(yán)格的增加功能，找到值的上述步驟，可以有效實(shí)現(xiàn)。因此，我們開始實(shí) 21 現(xiàn)嚴(yán)格的增加逼近 列維變換 在使用標(biāo)準(zhǔn)方法， 求和的過程中的增量 我們得出 由[1719]: 中他的隨機(jī)變量 V 是均勻分布在區(qū)間上的 . 圖 2.（有顏色的線） 用可視化的方法發(fā)現(xiàn)的值 ，該算法在第一個(gè)步驟中使用。 該算法的 近似過程 在集合 中， 和 之間是時(shí)間跨度，有兩個(gè)步驟組成。 我們的方法源于不同的概念 ；它明顯的用（ 2）式表示。在他們的方法中，它是必要的粒子，這是米塔格 萊弗勒 的計(jì)算機(jī)生成的米塔格 萊弗勒分布式的隨機(jī)變量是麻煩產(chǎn)生連續(xù)的停留時(shí)間， 者是 作者認(rèn)為 所有 人都無法取代的米塔格 萊弗勒分布帕累托一個(gè) 重要原因 。 下面，我們將展示如何 得到 數(shù)值近似樣品的反常擴(kuò)散 模型 的 路徑 。 不幸的是，這些功能都可以在數(shù)值上只在一些特殊情況下評估。 在特殊情況下的恒定可能 =常數(shù)， 的傅里葉變換是，就 的米格塔 萊夫勒函數(shù)來看，是由下式得出 [10,11]所示，同樣的公式適用于 中的 PDF ， 這證實(shí)了 [10]的一般結(jié)果是符合物理規(guī)律的。 這一結(jié)果提供了物理的更換操作的時(shí)間 ? [12]的過程通過以下方式獲得的反常擴(kuò)散現(xiàn)象的解釋 ，在標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)散 中，由 從屬 的反時(shí)限 。 現(xiàn)在，我們已知 ，我們計(jì)算了拉普拉斯變換： 使用總概率公式并且獨(dú)立于 和 ，我們得到 的 是由下式給 其中 和 是 PDF 的 和 分別給出的。（該符號的使用見于表 1）。讓 潛在的一個(gè)任意的非恒定功能。 [] 下面從 的反常擴(kuò)散模型的計(jì)算機(jī)模擬中研究。值得一提的是 可以以自然的方式 明確出現(xiàn)并 在考慮 CTRW 情況下，等待時(shí)間 重合 分布連續(xù)跳躍的顆粒之間的導(dǎo)出。為了找到可以觀察粒子的時(shí)間 t，我們就來介紹反時(shí)限 的從屬 有關(guān)的內(nèi)部時(shí)刻 ? 和觀察到的時(shí)間 t。觀察 和 這兩個(gè)過程在 ? 時(shí)刻的內(nèi)部就被索引。 [1]. 本節(jié)的主要目的是要表明該解決方案 FFPE（ 1）中的 是和PDF (見圖 1)次級過程 相同， 通過以下方式獲得的時(shí)間隨機(jī)變化 ， 其中過程 是隨機(jī)微分方程的解決方法 17 由標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動 驅(qū)動。 按照平均平方位移 得出無用區(qū)間，它 遵循一些通用的漲落耗散定理 。 FFPE 介紹了 16 圖 1. （有顏色的線）（ a）中 PDF 的時(shí)間變化的反常擴(kuò)散 與參數(shù),2/1,)( ??? Kc on stxV ?和 1?? 和（ b）標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)散（布朗運(yùn)動）。 在 ， 通過 表示PDF 的主要立場的衍生工具有關(guān)的空間坐標(biāo)的力量和潛力 。在這里，操作 是 Riemann Liouville 型的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) [8]。 本文的結(jié)構(gòu)如下所示 ，第二節(jié)中，我們提出了一個(gè)隨機(jī)過程，它的概率密度函數(shù)滿足分?jǐn)?shù)階 FokkerPlanck 方程的概率密度函數(shù)，這個(gè)隨機(jī)過程有兩個(gè)基本過程復(fù)合而成： 某一 Ito 隨機(jī)微分方程的解和 ? 穩(wěn)定從屬過程的首達(dá)時(shí)，利用所得到的表示，在第三節(jié)中，我們構(gòu)建了一個(gè)模擬反常擴(kuò)散過程樣本路徑的有效方法，所引進(jìn)的算法和蒙特卡洛方法讓我們可以檢測和研究分?jǐn)?shù)階 FokkerPlanck 方程的許多相 關(guān)的統(tǒng)計(jì)特征，比如 分量線 ， PDF 隨時(shí)間變化情況， 漸近平穩(wěn)，自相似性，等 等。在 L233。此外， ()X? 描述了 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動 的 Langevin 型動力系統(tǒng)，給分?jǐn)?shù)動力系統(tǒng)也提供了一些指引。這讓我們 可以數(shù)值化地研究所考慮物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué) 統(tǒng)計(jì)特性，如分量線和相應(yīng)的概率密度函數(shù)隨時(shí)間的演化 。然而，這種方法的局限性是，它不允許構(gòu)造和分析 潛在 隨機(jī)過程 的 樣本路徑。在文 [5]中提出了在周期外力下的 FFPE 的反常擴(kuò)散模型的數(shù)值模擬。為了處理這類受外力影響的反常擴(kuò)散問題 ,分?jǐn)?shù)階 FookerPlanck 方程被提了出來，它為那些由反常擴(kuò)散和非指數(shù)松弛模式導(dǎo)致的復(fù)雜系統(tǒng)中的動態(tài)運(yùn)輸問題描述提供了一個(gè)有效的方法。這是基于分?jǐn)?shù)FookerPlanck 方程的隨機(jī)表示，其中方程是用來描述一個(gè)非常數(shù)外力下的反常擴(kuò)散現(xiàn)象 .對上面提出的算法引入了 蒙特卡羅方法 ，這將會為我們研究分?jǐn)?shù)階FookerPlanck 動力系統(tǒng)的很多相關(guān)統(tǒng)計(jì)特征 提供 有力 工具。 12 進(jìn)度安排 起始年月 進(jìn)度目標(biāo)要求 ～ 查閱文獻(xiàn)， 撰寫報(bào)告和文獻(xiàn)綜 述的初稿 ～ 對開題報(bào)告和文獻(xiàn)綜述初稿進(jìn)行修改 ，外文翻譯 ～ 準(zhǔn)備 PPT，開題報(bào)告答辯 ～ 完成論文分析設(shè)計(jì)和模型設(shè)計(jì) ～ 論文的撰寫與整理，提交畢業(yè)論文，答辯 13 參考文獻(xiàn) [1] M. Magdziarz, A. Weron, Fractional FokkerPlanck dynamics: Stochastic representation and puter simulation[J], Physical Review E 75, 016708(2020) [5] Mandelbrot ., The Fractal Geometry of Nature[M], 1983. [6] Chaves ., A fractional diffusion equation to describe Levy flights[J], Physics Letters A, 1998,239: 1316. [7] Benson ., Wheatcraft . and Meerschaert ., Application of a Factional AdvectionDispersion Equation[J], Water Resour. Res., 2020, 36: 14031412. [8] Schumer R., Benson D