【正文】 最后更要感謝我的父母，多年來以他們辛勤的勞動(dòng)培養(yǎng)并幫助我順利的完成學(xué)業(yè)。 感謝我的同學(xué)劉正紅和“振動(dòng)論壇”上那些素不相識(shí)的人，在做課題期間給我無私的幫助，感謝學(xué)校為我提供了很好的做課題的環(huán)境。 第 34 頁 共 36 頁 致謝 首先，要感謝我的導(dǎo)師韓文副教授，正是導(dǎo)師的循循善誘和悉心指導(dǎo)，使本課題畢業(yè)設(shè)計(jì)得以順利完成。 本軟件有較好的穩(wěn)定性，但是還不夠成熟、完善，欲對(duì)軟件進(jìn)一步完善，還需要做以下方面的工作： （ 1） 添加完善約束優(yōu)化方法； （ 2） 完善圖形的縮放功能； （ 3） 優(yōu)化過程的可視化，實(shí)時(shí)圖形化地顯示系統(tǒng)優(yōu)化過程，讓用戶直觀形象的了解系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。 第 33 頁 共 36 頁 5 結(jié)論 本課題研制開發(fā)了一個(gè)可視化的約束優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件，適用于教學(xué)過程中幫助學(xué)生更好的理解優(yōu)化算法的尋優(yōu)過程，主要完成了以下工作： （ 1）完成了懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和混合法程序的編制； （ 2）算法具有可 選性，即用戶可自主選擇所需優(yōu)化方法并設(shè)置優(yōu)化參數(shù)； （ 3）可求解任意維的約束優(yōu)化問題，對(duì)二維優(yōu)化問題，提供模型等值線圖和約束條件的圖象以及每次尋優(yōu)迭代的最優(yōu)點(diǎn)。 increase . 這說明優(yōu)化工具箱的使用是比較煩鎖的。圖形縮放條的作用是縮放圖形的大小，以利于更好的理解迭代尋優(yōu)的過程； 6） 如果要進(jìn)行下一次的尋優(yōu)計(jì)算，則可單擊 按鈕，把輸入?yún)?shù)、輸出參數(shù)以及圖形全部清除。 3． 1 軟件開發(fā)過程 1） 前期準(zhǔn)備：查找和收集一些與本課題相關(guān)的文章，大致了解課題目前的現(xiàn)狀； 2） 根據(jù)下達(dá)的任務(wù)書，學(xué)習(xí)并掌握優(yōu)化算法和 matlab 方面的知識(shí)； 3） 編制罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、混合和 DFP 算法的程序； 4） 制作用戶圖形界面（ GUI）并編制回調(diào)函數(shù)； 5） 調(diào)試、完善軟件系統(tǒng)。用戶通過一定的方法（如鼠標(biāo)或鍵盤）選擇、激活這些圖形對(duì)象，使計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某種動(dòng)作或變化，比如實(shí)現(xiàn)計(jì)算、繪圖等。 MATLAB 具有強(qiáng)大的圖形用戶界面 （ Graphical User Interfaces ， GUI） 開發(fā)功能。80年代中期， Mathworks 公司將 MATLAB 投向市場(chǎng)。 用于求解含有不等式約束和等式約束的中等維度的優(yōu)化問題。 用于求解含有不等式約束和等式約束的中等維度的優(yōu)化問題。 用于求解只含有不等式約束的中等維度的優(yōu)化問題。 混合法的程序框圖與內(nèi)點(diǎn)法的框圖相類似，此處略。 5) 取 ( 1)kr? =C ()kr ， (0)X ＝ ()*( )kXr ， k＝ k+1，轉(zhuǎn)向步驟 3)。 3) 求解 min ()( , )kXr? ，得 ()*( )kXr 。 2． 2． 4． 2 懲罰函數(shù)混合法的迭代步驟： 1) 選擇初始懲罰因子 (0)r 的值，在許多 SUMT 程序中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算規(guī)定允許誤差 ? ＞ o。利用上述方法構(gòu)造混合法的懲罰函數(shù)時(shí)，其求解具有內(nèi)點(diǎn)法的特點(diǎn)。 求解原目標(biāo)函數(shù) ()fX的極小值： min ()fX nXE??? x .(subject to) ( ) 0vhX? （ v=1， 2，?， p） ( ) 0ugX? （ u=1， 2，?， m） 根據(jù)混合法的基本思想，作為新目標(biāo)函數(shù)的懲罰函數(shù)，其懲罰項(xiàng)由兩部分組成，一部分反映不等式約束的影響并以內(nèi)點(diǎn)法的構(gòu)造形式列出；另一部分反映等式約 第 24 頁 共 36 頁 束的影響并以外點(diǎn)法的構(gòu)造形式列出，即混合法懲罰函數(shù)的一股表達(dá)式為 ? ? 2( ) ( ) ( ) ( )111( , , ) ( ) ( )()pmk k k kvuvuX r M f X r M h xgx? ??? ? ??? 即所構(gòu)造的混合法的懲罰函數(shù)，同時(shí)含有障礙函數(shù) ? ?2()1()mk vur h X??和衰減函數(shù)? ?2()1()pk vvM h x??。 外點(diǎn)法的計(jì)算程序框圖如下所示： 第 23 頁 共 36 頁 圖 24 外點(diǎn)法程序框圖 2． 2． 4 懲罰函數(shù)混合法 2． 2． 4． 1 懲罰函數(shù)混合法的原理 鑒于內(nèi)點(diǎn)法和外點(diǎn)法備有優(yōu)缺點(diǎn)，因此在懲罰函數(shù)法中又出現(xiàn)了所謂混合法。否則轉(zhuǎn)入下一步。 令計(jì)算 次數(shù) k＝ 1。因此，外點(diǎn)法是隨著懲罰因子 (參數(shù) ) ()kM 的遞增序列，使懲罰函數(shù)的無約束極值點(diǎn) ()*( )kXM 從可行域外部向原目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)點(diǎn)逼近，直至達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。 對(duì)懲罰函數(shù) ()( , )kXM? 求無約束極值，其結(jié)果將隨給定的懲罰因子 ()kM的值而異。 當(dāng)約束條件為 ( ) 0 ( 1 , 2 ,ug X u?? … ， m)，則函數(shù)的一般表達(dá)式為： ? ?( ) ( )1( , ) ( ) m in[ 0 , ( ) ]mkkuuX M f X M g X????? ? 一般 ? =2。因此，要使 ()( , )kXM? 極小，必須迫使懲罰項(xiàng)等于零，亦即要求滿足約束條件，即迫使 ( ) 0ugX? 。 變尺度法的計(jì)算程序框圖如圖下所示： 圖 23 變尺度法程序框圖 2． 2． 3 懲罰函數(shù)外點(diǎn)法 2． 2． 3． 1 懲罰函數(shù)外點(diǎn)法的原理 與懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)且求解無 約束問題的探索點(diǎn)總是保持在可行域內(nèi)的特點(diǎn)不同，外點(diǎn)法的特點(diǎn)是將懲罰函數(shù)定義于約束可行域 第 20 頁 共 36 頁 之外，且求解無約束問題的探索點(diǎn)是從可行域外部逼近原日標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)解的。但是計(jì)算 ()kA 的程序較復(fù)雜，且需要較大的存貯量，特別是在有舍入誤差時(shí)，也存在數(shù)值穩(wěn)定性不夠理想的情況。 DFP 變尺度法在函數(shù) ()fX的梯度向量容易求出的情況下，是非常有效的。 W． C． Davido 提出并經(jīng)過 R． F1etcher 和 M． J． D． Powell 修改的求校正矩陣 ()kE 的公式即所謂 DFP公式為 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ( ) ][][ ] [ ]() k k kkk TTTk k k k kTA g g A kXXX T g g A gEk ????? ? ? ?? ? 因 ()kA 為 n x n 階對(duì)稱正定矩陣，故上式可寫為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]() [ ] [ ]k k T k k k T kk T k k T k kX X A g g AEk X g g A g? ? ? ???? ? ? ? 式中 ( ) ( 1 ) ( )k k kX X X?? ? ? ( ) ( 1 ) ( )k k kg g g?? ? ? 第 18 頁 共 36 頁 利用上式求出校正矩陣 ()kE 后，便可按式 ( 1 ) ( ) ( )k k kA A E? ??求出下一輪迭代的 A (k+1)。 如果能利用變尺度條件構(gòu)造出一個(gè)矩陣 ()kA 來代替 1[ ( )]kHX? ，再如果 ()kA 能用 ( 1 ) ( ) ( )k k kA A E? ??來表示，而其中校正矩陣 ()kE 又可用一個(gè)統(tǒng)一的公式表示時(shí)，則只要知道 A (1)便可求出 A (2)，并依次求出 A (3)， A (4)?，或者若已知 ()kA ，則可利用上式求出 A (k+1)， A (k+2)，?。其遞推形式為 ( 1 ) ( ) ( )k k kA A E? ?? 式中： E—— 校正矩陣，它應(yīng)只依賴于本次迭代的 ( 1)kX ? ， ()kX 和相應(yīng)的梯度( 1)()kfX?? ， ()()kfX? 向量。 變尺度法的法代公式為 ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )()k k k k k k k kX X A f X X S??? ? ? ? ? ? 式中： ()k? —— 步長(zhǎng)，可由式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) m i n ( )k k k k kf X S f X S???? ? ? 第 17 頁 共 36 頁 求得； ()kS —— 探索方向 ( ) ( ) ( )[ ] ( )k k kS A f X? ? ? ()kA —— nxn 階對(duì)稱正定矩陣。 2． 2． 2． 1 DFP 變尺度法的原理 牛頓法以及修正牛頓法雖然收斂很快，但是計(jì)算較繁，需要計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣 (Hessian 矩陣 )的逆矩陣，即 1[ ( )]kHX? ，才能求得探索方向即牛頓方向： ()ks ? 1[ ( )]kHX? ()()kfX? 如果能設(shè)法構(gòu)造出一個(gè)對(duì)稱正定矩陣 ()kA 來代替 1[ ( )]kHX? ，并在迭代過程中使()kA 逐漸逼近 1[ ( )]kHX? ，那末就簡(jiǎn)化了牛頓法的計(jì)算，且保持丁牛頓法收斂快的優(yōu)點(diǎn)，這就是變尺度法的基本思想。 2． 2． 2 DFP 變尺度法 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法步驟 3）中用到的無約束優(yōu)化算法為 DFP變尺度法。但如果 (0)r 值又取得太大，則又會(huì)發(fā)生上述毛病。 當(dāng)初姑點(diǎn) (0)X 是一個(gè)接近 邊界的點(diǎn)時(shí)，按上式所求得的 (0)r 就會(huì)過小?？扇?(0)r ? l 一 50，但多數(shù)情況是取 (0)r =1。 若 (0)r 值選得太小，則在新目標(biāo)函數(shù)即懲罰函數(shù) ()( , )kXr? 中懲罰項(xiàng)的作用就會(huì)很小，這時(shí)求 ()( , )kXr? 的無約束極值，猶如求原目標(biāo)函數(shù) ()fX本身的無約束極值，而這個(gè)極值點(diǎn)又不大可能接近 ()fX的約束極值點(diǎn)，且有跑出可行域的危險(xiǎn)。 還可以采用隨機(jī)選擇初始點(diǎn)的方法來尋找可行的初始點(diǎn)。如此反復(fù)進(jìn)行下去，直到所有約束條件均滿足為止。為此可先對(duì)設(shè)計(jì)問題估計(jì) 第 14 頁 共 36 頁 一 個(gè) 初 始 點(diǎn) ， 這 一 點(diǎn) (0)X 可 能 已 滿 足 s 個(gè) 不 等 式 約 束 條 件( ) 0 ( 1 , 2 ,ug X u?? … ， s)，而剩下的 (s1)個(gè)約束條件未滿足，即 ( ) 0 ( 1 , 2 ,ug X u?? … ， s) ( ) 0 ( 1 , 2 ,ug X u s s? ? ? ? … ， s) 先求 (0 )( ) maxkgX ? { ( ) 0 ( 1 , 2 ,ug X u s s? ? ? ? … ， s) } 然后將 ()kgX作為目標(biāo)函數(shù)，求 X 使 ( ) minkgX? 受約束于 ( ) 0ugX?