【正文】 低頻分量上的信息比較豐富，能量集中；高頻分量上的信息分量多為零，細(xì)節(jié)信息豐富，能量較少。重構(gòu)時(shí)使用一組 h 和 g 合成濾波器對(duì)小波分解的結(jié)果濾波，再進(jìn)行上二采樣（相鄰兩點(diǎn)間補(bǔ)零）來(lái)生成重構(gòu)信號(hào)。 圖 剖面圖 圖 二維小波變換 Mallat二維塔式快速小波變換的分解過(guò)程如圖 10 所示 。另外瞬 33 時(shí)相位大小與反射波的振幅無(wú)關(guān)，因此利用它可研究地下深層介質(zhì)的 性質(zhì)。瞬時(shí)振幅波形反映了給定時(shí)刻反射信號(hào)能量大小及能量衰減情況，利用它可以推測(cè)地下介質(zhì)的性質(zhì)。 二維瞬時(shí) 振幅、瞬時(shí)相位 、瞬時(shí)頻率 GPR 或聲波反射信號(hào)可表示為 ? ? ? ? ? ?0c o s [ ]s t a t w t t???，對(duì) ??st 進(jìn)行 Fourier 變換，導(dǎo)出信號(hào)的頻譜，再進(jìn)行 Hilbert 變換，可求出 ??st 的 Hilbert 變換 ? ? ? ? ? ?0s in [ ]Hs t a t w t t???。 在本項(xiàng)目中，借助上面介紹的多分辨分析的手段對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行處理，利用的小波是‘ sym2’，一 31 共做了 32級(jí)分解，現(xiàn)在將小波變換后的圖像展示如下： 圖 5. 模擬 信號(hào) 12 級(jí)分解圖 圖 6. 模擬 信號(hào) 6 級(jí)分解圖 32 圖 7. 模擬 信號(hào) 1 級(jí)分解圖 從上面的圖中可以看出，隨著分解級(jí)別的逐漸降低或者說(shuō)隨著分解空間的逐漸增大，信號(hào)的高頻部分逐漸顯現(xiàn)，小波信號(hào)不僅能夠起到去噪的作用，而且還能將信號(hào)的光滑部分和奇異部分分開(kāi)，這樣對(duì)信號(hào)的認(rèn)識(shí)更加準(zhǔn)確。{ ??ngn ，使得 ?? ?? zn n nxgx )2(2)( ?? 稱(chēng)之為構(gòu)造方程。{ 2 ???? lnhn ，使得 )2(2)( nxhxzn n ?? ?? ?? 通常稱(chēng)它為尺度方程。 由于 1() ox V V? ???而且 1V? 有標(biāo)準(zhǔn)正交基 })。這樣，關(guān)鍵的問(wèn)題就是構(gòu)造函數(shù) )(x? ，使得函數(shù)族 })。{ zjWj ? 具有下述性質(zhì)： （ 1） lj WWlj ??? , ； 30 （ 2）ll WRL ????)(2； （ 3） 1)2()(, ??????? jj WxgWxgj 。為了避免混淆，我們特別強(qiáng)調(diào)：尺度參數(shù) 2j 是分辨率 2j? 的倒數(shù)。 該定義是由 Mallat和 Meyer引進(jìn)的，它詳細(xì)地闡述了多分辨率空間的數(shù)學(xué)性質(zhì)。 其中 a為尺度參數(shù)， b為平移參數(shù)。有時(shí)， ??x? 也稱(chēng)為小波母函數(shù)， 上式稱(chēng)為容許性條件。兩者統(tǒng)一考 28 慮后可以表示為： 400 0 / , [ 0 , 3 ]( ) 500 0 / , ( 3 , 6]400 0 / , ( 6 , 9]m s xc x m s xm s x????????? 所謂的瞬時(shí)相位譜就是將該信號(hào)的相位表示出來(lái)， 如圖 4 所示： 圖 4. 模擬 信號(hào)瞬時(shí)相位譜分布圖 小波變換 提到信號(hào)分析， 就不得不提小波分析，小波分析作為比 較成型的信號(hào)分析手段在很多實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域都體現(xiàn)了不可替代的作用，我們先將小波分析的概念簡(jiǎn)單介紹一下。具體變換如下， 假設(shè)原始信號(hào)為 ()xn ，頻率表示為 ()X? ， ( ) ( ) ( )X R jI? ? ???， 這里 ( ), ( )RI??分別表示頻率域信號(hào)的實(shí) 部與虛部，這兩個(gè)函數(shù)并不是孤立的，他們之間的關(guān)系就是所謂的 Hilbert 變換，具體形式如下： 1 ( )()1 ( )()IRdRId???? ? ??? ? ?????????? ??? ???。 這個(gè)變換就是圖 1 和圖 2之間的變換關(guān)系，而圖 3則是在圖 2 的基礎(chǔ)上對(duì)頻率設(shè)置閾值，降噪音部分去掉，在本信號(hào)中我們選取截止高頻為 20200MHz，截止低頻為 60MHz。 26 第三 章 信號(hào)處理 信號(hào)分析 快速傅里葉變換（ FFT） 模擬 信號(hào)在時(shí)域和頻域如圖 3所示。 圖 31. 混凝土 結(jié)構(gòu)示意圖 圖 32. 混凝土含 聲波反射 剖面圖 24 算例 18. 混凝土中含有縱向裂縫模型 ，混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見(jiàn)圖 33， 聲波反射 剖面圖見(jiàn)圖 34。 圖 27. 混凝土 結(jié)構(gòu)示意圖 圖 28. 混凝土含 聲波反射 剖面圖 22 算例 16. 混凝土中含有縱向裂縫模型 ，混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見(jiàn)圖 29， 聲波反射 剖面圖見(jiàn)圖 30。 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見(jiàn)圖 25， 縱向剖分 260 個(gè)節(jié)點(diǎn)，橫向剖分 1000 個(gè)節(jié)點(diǎn)， 聲波反射 剖面圖見(jiàn)圖 26，時(shí)間采樣 2036 個(gè)，道數(shù) 49 道。 圖 21. 混凝土中含有 四排橫向短鋼筋 圖 22. 混凝土含 有四排橫向短鋼筋 GPR 剖面圖 19 算例 12. 混凝土中含有四列縱向長(zhǎng)鋼筋， 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見(jiàn)圖 23， GPR 剖面圖見(jiàn)圖 24。 圖 17. 混凝土中含有 兩排大圓形鋼筋 圖 18. 混凝土含 有兩排大圓形鋼筋 GPR 剖面圖 17 算例 10. 混凝土中含有四排橫向長(zhǎng)鋼筋， 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見(jiàn)圖 19， GPR 剖面圖見(jiàn)圖 20。 圖 13. 混凝土中含有 兩個(gè)橫向裂縫 圖 14. 混凝土含 有兩個(gè)橫向裂縫 GPR 剖面圖 15 算例 8. 混凝土中含有兩排小圓形鋼筋， 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見(jiàn)圖 15， GPR 剖面圖見(jiàn)圖 16。 圖 9. 混凝土中含有上層小 圓形空洞 ，下層小圓形 鋼筋 圖 10. 混凝土含 GPR 剖面圖 13 算例 6. 混凝土中含有兩個(gè)豎向裂縫， 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見(jiàn)圖 11， GPR 剖面圖見(jiàn)圖 12。 圖 5. 混凝土含 小圓形鋼筋 結(jié)構(gòu)示意圖 圖 6. 混凝土結(jié) GPR 剖面圖 11 算例 4. 混凝土中含有上層小圓形鋼筋模型 ， 下層小圓形空洞， 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見(jiàn)圖 7， GPR 剖面圖見(jiàn)圖 8。 圖 1. 混凝土含空洞結(jié)構(gòu)示意圖 圖 2. 混凝土含空洞結(jié) GPR 剖面圖 9 算例 2. 混凝土中含有圓形鋼筋模型 ， 以下所有算例的參數(shù)（反演區(qū)域、空間步長(zhǎng)、時(shí)間、震源）與算例 1 相同， 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見(jiàn)圖 3， GPR 剖面圖見(jiàn)圖 4。這里用 MATLAB編程求解 AX T? 方程。00TT?????????????及 112223 3 3211 ( 1 ) ( 1 )JJJ JJABB A BB A BABBA??? ? ? ?? ?????? 22222222( 1 ) ( 1 )111 1 111111iiiii NNcccAc????? ? ???????????? 222222( 1 ) ( 1 )iiii NNccBc??? ? ? ??????????? 7 若令 ( 1 ) ( 1 )011 0 110110 NND? ? ??????????， 則 ? ?22 1iiA c E D?? ? ?， 22iiB c E??? , 其中， E 為 N1階單位矩陣。 在 (223)中當(dāng) nN? 時(shí)，我們可以設(shè) 1 0Nju ? ? ，這樣得到如下結(jié)果： 設(shè)23iiiNiuuUu?????????????，? ?? ?? ?222339。首先來(lái)消去 (226)式中的 1nu? ，為此可以在 (222)式中令0j? ，此時(shí)有 ? ?1 1 2 20 0 0 0 1 0 12 2 0n n n n n nu u u c u u u??? ?? ? ? ? ? ? 其中 h??? 為網(wǎng)格比，此式與 (226)式聯(lián)立，消去 1nu? 得到 ? ? ? ?1 2 2 1 2 2 20 0 0 0 0 1 02 2 2 2n n n n nu c u u c u h c f t? ? ???? ? ? ? ? (228) 6 再次來(lái)消去 (227)式中的 1ju? ，為此可以在 (24)式中令 0n? ，此時(shí)有 ? ?1 0 1 2 2 0 0 0112 2 0j j j j j j ju u u c u u u?? ??? ? ? ? ? ? 此式與 (226)式聯(lián)立，消去 1ju? 得到 100jjuu?? (229)利用 (223)式， (228) 式 (或 （ 224)式 )和 (229)式就可以求波動(dòng)方程初值問(wèn)題 (21)式， (22) 式和 (23)式。而 (224)式及 (225)式的截?cái)嗾`差為 ???? 。 ? ?,i j nu x z t 簡(jiǎn)記為 ,niju 。 正演數(shù)值模擬 本項(xiàng)目中對(duì)二維 TM方程及波動(dòng)方程的正問(wèn)題求解采用中心差分離散。（ 221）式與波動(dòng)方程對(duì)比可知，（ 221）式 完全與波動(dòng)方程一致。 展開(kāi)方程（ 29）和（ 210） 后可得電磁場(chǎng)六個(gè)分量的方程組 1 ()xyxx xrHEH E s tt y z ?? ?????? ? ? ???? ? ??? （ 211） 1 ()yy x z yrE H H E s tt y z ??? ??? ?? ? ? ???? ? ??? （ 212） 1 ()zy xz zrH HE E s tt y z ?? ????? ? ? ? ???? ? ??? （ 213） 1 yx zEH Et z y? ???? ?????? ? ??? （ 214） 1y xzH EEt x z?? ????????? ? ??? （ 215） 4 1 yxz EEHt x z? ????? ????? ? ??? （ 216） 在 2D 問(wèn)題中即電場(chǎng)和磁場(chǎng)均與 z 無(wú)關(guān)時(shí)，方程組就形成相互獨(dú)立的兩組方程，其中的一組電場(chǎng)只有 zE 分量，這類(lèi)電磁波稱(chēng)作橫磁波用 TM表示，本文的探地雷達(dá) 2D 正演模擬采用 TM 型電磁波求解， TM波的方程組為 1 ()zy xz zrH HE E s tt y z ?? ????? ? ? ? ???? ? ??? （ 217） 1 yx zEH Et z y? ???? ?????? ? ??? （ 218） 1y xzH EEt x z?? ????????? ? ??? （ 219） 由上面的方程組可以看出， TM 波只有 zE ， xH 和 yH 三個(gè)分量。 電磁波在混凝土介質(zhì)中的波場(chǎng)作用過(guò)程與響應(yīng)特征可以由時(shí)域 Maxwell方程近似給出 HE+ 0t? ??? ?? （ 29） EH E ( )rstt?? ?? ? ? ? ?? （ 210） 其中 E 和 H 分別是電場(chǎng)與磁場(chǎng)， ? 是介電常數(shù)， ? 是電導(dǎo)率， ? 是磁導(dǎo)率， rs 是激勵(lì)源。探地雷達(dá)測(cè)的是來(lái)自探測(cè)物不同介質(zhì)交界面的反射波，地質(zhì)雷達(dá)通過(guò)記錄反射波到達(dá)時(shí)間 t、反射波的幅度等來(lái)研究被探測(cè)介質(zhì)的分布和特性。與探空或通訊雷達(dá)技術(shù)相類(lèi)似，探地雷達(dá)也是利用高頻電磁脈沖波的反射來(lái)探測(cè)目的體 及地質(zhì)現(xiàn)象的。假設(shè)在需要測(cè)量的空間區(qū)域 ],0[],0[: HL ?? 上考慮問(wèn)題，Mur 吸收邊界