【正文】 低頻分量上的信息比較豐富，能量集中；高頻分量上的信息分量多為零，細節(jié)信息豐富，能量較少。重構(gòu)時使用一組 h 和 g 合成濾波器對小波分解的結(jié)果濾波，再進行上二采樣（相鄰兩點間補零）來生成重構(gòu)信號。 圖 剖面圖 圖 二維小波變換 Mallat二維塔式快速小波變換的分解過程如圖 10 所示 。另外瞬 33 時相位大小與反射波的振幅無關(guān)，因此利用它可研究地下深層介質(zhì)的 性質(zhì)。瞬時振幅波形反映了給定時刻反射信號能量大小及能量衰減情況，利用它可以推測地下介質(zhì)的性質(zhì)。 二維瞬時 振幅、瞬時相位 、瞬時頻率 GPR 或聲波反射信號可表示為 ? ? ? ? ? ?0c o s [ ]s t a t w t t???，對 ??st 進行 Fourier 變換，導出信號的頻譜，再進行 Hilbert 變換，可求出 ??st 的 Hilbert 變換 ? ? ? ? ? ?0s in [ ]Hs t a t w t t???。 在本項目中，借助上面介紹的多分辨分析的手段對接收信號進行處理，利用的小波是‘ sym2’，一 31 共做了 32級分解，現(xiàn)在將小波變換后的圖像展示如下： 圖 5. 模擬 信號 12 級分解圖 圖 6. 模擬 信號 6 級分解圖 32 圖 7. 模擬 信號 1 級分解圖 從上面的圖中可以看出，隨著分解級別的逐漸降低或者說隨著分解空間的逐漸增大，信號的高頻部分逐漸顯現(xiàn)，小波信號不僅能夠起到去噪的作用，而且還能將信號的光滑部分和奇異部分分開，這樣對信號的認識更加準確。{ ??ngn ，使得 ?? ?? zn n nxgx )2(2)( ?? 稱之為構(gòu)造方程。{ 2 ???? lnhn ，使得 )2(2)( nxhxzn n ?? ?? ?? 通常稱它為尺度方程。 由于 1() ox V V? ???而且 1V? 有標準正交基 })。這樣，關(guān)鍵的問題就是構(gòu)造函數(shù) )(x? ，使得函數(shù)族 })。{ zjWj ? 具有下述性質(zhì)： （ 1） lj WWlj ??? , ； 30 （ 2）ll WRL ????)(2； （ 3） 1)2()(, ??????? jj WxgWxgj 。為了避免混淆，我們特別強調(diào)：尺度參數(shù) 2j 是分辨率 2j? 的倒數(shù)。 該定義是由 Mallat和 Meyer引進的，它詳細地闡述了多分辨率空間的數(shù)學性質(zhì)。 其中 a為尺度參數(shù)， b為平移參數(shù)。有時， ??x? 也稱為小波母函數(shù)， 上式稱為容許性條件。兩者統(tǒng)一考 28 慮后可以表示為： 400 0 / , [ 0 , 3 ]( ) 500 0 / , ( 3 , 6]400 0 / , ( 6 , 9]m s xc x m s xm s x????????? 所謂的瞬時相位譜就是將該信號的相位表示出來， 如圖 4 所示： 圖 4. 模擬 信號瞬時相位譜分布圖 小波變換 提到信號分析， 就不得不提小波分析，小波分析作為比 較成型的信號分析手段在很多實際應(yīng)用領(lǐng)域都體現(xiàn)了不可替代的作用，我們先將小波分析的概念簡單介紹一下。具體變換如下， 假設(shè)原始信號為 ()xn ，頻率表示為 ()X? ， ( ) ( ) ( )X R jI? ? ???， 這里 ( ), ( )RI??分別表示頻率域信號的實 部與虛部，這兩個函數(shù)并不是孤立的，他們之間的關(guān)系就是所謂的 Hilbert 變換，具體形式如下： 1 ( )()1 ( )()IRdRId???? ? ??? ? ?????????? ??? ???。 這個變換就是圖 1 和圖 2之間的變換關(guān)系，而圖 3則是在圖 2 的基礎(chǔ)上對頻率設(shè)置閾值，降噪音部分去掉，在本信號中我們選取截止高頻為 20200MHz，截止低頻為 60MHz。 26 第三 章 信號處理 信號分析 快速傅里葉變換（ FFT） 模擬 信號在時域和頻域如圖 3所示。 圖 31. 混凝土 結(jié)構(gòu)示意圖 圖 32. 混凝土含 聲波反射 剖面圖 24 算例 18. 混凝土中含有縱向裂縫模型 ，混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖 33， 聲波反射 剖面圖見圖 34。 圖 27. 混凝土 結(jié)構(gòu)示意圖 圖 28. 混凝土含 聲波反射 剖面圖 22 算例 16. 混凝土中含有縱向裂縫模型 ，混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖 29， 聲波反射 剖面圖見圖 30。 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖 25， 縱向剖分 260 個節(jié)點，橫向剖分 1000 個節(jié)點， 聲波反射 剖面圖見圖 26，時間采樣 2036 個，道數(shù) 49 道。 圖 21. 混凝土中含有 四排橫向短鋼筋 圖 22. 混凝土含 有四排橫向短鋼筋 GPR 剖面圖 19 算例 12. 混凝土中含有四列縱向長鋼筋， 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖 23， GPR 剖面圖見圖 24。 圖 17. 混凝土中含有 兩排大圓形鋼筋 圖 18. 混凝土含 有兩排大圓形鋼筋 GPR 剖面圖 17 算例 10. 混凝土中含有四排橫向長鋼筋， 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖 19， GPR 剖面圖見圖 20。 圖 13. 混凝土中含有 兩個橫向裂縫 圖 14. 混凝土含 有兩個橫向裂縫 GPR 剖面圖 15 算例 8. 混凝土中含有兩排小圓形鋼筋， 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖 15， GPR 剖面圖見圖 16。 圖 9. 混凝土中含有上層小 圓形空洞 ，下層小圓形 鋼筋 圖 10. 混凝土含 GPR 剖面圖 13 算例 6. 混凝土中含有兩個豎向裂縫， 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖 11， GPR 剖面圖見圖 12。 圖 5. 混凝土含 小圓形鋼筋 結(jié)構(gòu)示意圖 圖 6. 混凝土結(jié) GPR 剖面圖 11 算例 4. 混凝土中含有上層小圓形鋼筋模型 ， 下層小圓形空洞， 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖 7， GPR 剖面圖見圖 8。 圖 1. 混凝土含空洞結(jié)構(gòu)示意圖 圖 2. 混凝土含空洞結(jié) GPR 剖面圖 9 算例 2. 混凝土中含有圓形鋼筋模型 ， 以下所有算例的參數(shù)（反演區(qū)域、空間步長、時間、震源）與算例 1 相同， 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖 3， GPR 剖面圖見圖 4。這里用 MATLAB編程求解 AX T? 方程。00TT?????????????及 112223 3 3211 ( 1 ) ( 1 )JJJ JJABB A BB A BABBA??? ? ? ?? ?????? 22222222( 1 ) ( 1 )111 1 111111iiiii NNcccAc????? ? ???????????? 222222( 1 ) ( 1 )iiii NNccBc??? ? ? ??????????? 7 若令 ( 1 ) ( 1 )011 0 110110 NND? ? ??????????， 則 ? ?22 1iiA c E D?? ? ?， 22iiB c E??? , 其中， E 為 N1階單位矩陣。 在 (223)中當 nN? 時，我們可以設(shè) 1 0Nju ? ? ，這樣得到如下結(jié)果： 設(shè)23iiiNiuuUu?????????????，? ?? ?? ?222339。首先來消去 (226)式中的 1nu? ，為此可以在 (222)式中令0j? ，此時有 ? ?1 1 2 20 0 0 0 1 0 12 2 0n n n n n nu u u c u u u??? ?? ? ? ? ? ? 其中 h??? 為網(wǎng)格比，此式與 (226)式聯(lián)立，消去 1nu? 得到 ? ? ? ?1 2 2 1 2 2 20 0 0 0 0 1 02 2 2 2n n n n nu c u u c u h c f t? ? ???? ? ? ? ? (228) 6 再次來消去 (227)式中的 1ju? ，為此可以在 (24)式中令 0n? ，此時有 ? ?1 0 1 2 2 0 0 0112 2 0j j j j j j ju u u c u u u?? ??? ? ? ? ? ? 此式與 (226)式聯(lián)立，消去 1ju? 得到 100jjuu?? (229)利用 (223)式， (228) 式 (或 （ 224)式 )和 (229)式就可以求波動方程初值問題 (21)式， (22) 式和 (23)式。而 (224)式及 (225)式的截斷誤差為 ???? 。 ? ?,i j nu x z t 簡記為 ,niju 。 正演數(shù)值模擬 本項目中對二維 TM方程及波動方程的正問題求解采用中心差分離散。（ 221）式與波動方程對比可知，（ 221）式 完全與波動方程一致。 展開方程（ 29）和（ 210） 后可得電磁場六個分量的方程組 1 ()xyxx xrHEH E s tt y z ?? ?????? ? ? ???? ? ??? （ 211） 1 ()yy x z yrE H H E s tt y z ??? ??? ?? ? ? ???? ? ??? （ 212） 1 ()zy xz zrH HE E s tt y z ?? ????? ? ? ? ???? ? ??? （ 213） 1 yx zEH Et z y? ???? ?????? ? ??? （ 214） 1y xzH EEt x z?? ????????? ? ??? （ 215） 4 1 yxz EEHt x z? ????? ????? ? ??? （ 216） 在 2D 問題中即電場和磁場均與 z 無關(guān)時，方程組就形成相互獨立的兩組方程，其中的一組電場只有 zE 分量，這類電磁波稱作橫磁波用 TM表示，本文的探地雷達 2D 正演模擬采用 TM 型電磁波求解， TM波的方程組為 1 ()zy xz zrH HE E s tt y z ?? ????? ? ? ? ???? ? ??? （ 217） 1 yx zEH Et z y? ???? ?????? ? ??? （ 218） 1y xzH EEt x z?? ????????? ? ??? （ 219） 由上面的方程組可以看出， TM 波只有 zE ， xH 和 yH 三個分量。 電磁波在混凝土介質(zhì)中的波場作用過程與響應(yīng)特征可以由時域 Maxwell方程近似給出 HE+ 0t? ??? ?? （ 29） EH E ( )rstt?? ?? ? ? ? ?? （ 210） 其中 E 和 H 分別是電場與磁場， ? 是介電常數(shù)， ? 是電導率， ? 是磁導率， rs 是激勵源。探地雷達測的是來自探測物不同介質(zhì)交界面的反射波，地質(zhì)雷達通過記錄反射波到達時間 t、反射波的幅度等來研究被探測介質(zhì)的分布和特性。與探空或通訊雷達技術(shù)相類似，探地雷達也是利用高頻電磁脈沖波的反射來探測目的體 及地質(zhì)現(xiàn)象的。假設(shè)在需要測量的空間區(qū)域 ],0[],0[: HL ?? 上考慮問題，Mur 吸收邊界